高二数学（理）空间向量及其运算人教实验版（A）知识精讲

高二数学（理）空间向量及其运算人教实验版（A）【本讲教育信息】一.教学内容：空间向量及其运算二.重点、难点：1.在同一个平面内平面向量的所有结论均可使用。2.A、B、C三点共线3.共面向量均在平面内（x，y唯一）4.空间向量的坐标表示（1）（2）（3）【典型例题】[例1]已知，且，，，求证：A、B、D三点共线。解：A、B、D三点共线∴A、B、D三点共线[例2]已知，如果，，，求证：A、B、C、D四点共面。解：A、B、C、D四点共面∴∴A、B、C、D四点共面[例3]空间不共面四点O、A、B、C，点P满足，求证：P、A、B、C四点共面。证：∵∴∴P、A、B、C四点共面结论：O、A、B、C空间不共面四点P、A、B、C四点共面且[例4]正方体AC1中，M为DD1中点，N在AC上，，求证：A1、M、N、B四点共面证：∴∴∴、M、N、B四点共面[例5]已知夹角夹角，且，求的模。解：∴[例6]正三棱锥P—ABC，M、N为PA、BC中点，G为MN中点，求证：PG⊥BC。证：设，模均为1∴PG⊥BC[例7]正方体AC1中，E、F为D1C1，D1D中点。（1）求A1B与AC所成角；（2）求AF与CE所成角。解：设由设，夹角均为90°（1）∴同理∴（2）[例8]四面体P—ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC，求证：PC⊥AB。证：∴PC⊥AB[例9]（1）若，求；（2）若，求。解：（1）∴∴∴（2）∴∴[例10]A（1，0，1）B（4，4，6）C（2，2，3）D（10，14，17），求证A、B、C、D四点共面。解：∴∴∴共面∴A、B、C、D共面。[例11]，求：。解：∵∴，∴[例12]正方体AC1中棱长为1，E、F为D1D，BD中点，G在CD上，且，H为C1G中点。（1）求证：EF⊥B1C；（2）EF与C1G所成角的余弦；（3）求FH的长；（4）E到面AB1C的距离。解：建立坐标系∴A（1，0，0）E（0，0，）F（，，0）C（0，1，0）C1（0，1，1）B（1，1，0）G（0，，0）解：（1）∴EF⊥B1C（2）（3）（4）过E作EQ⊥面AB1C于Q∴且∴，∴∴，∴【模拟试题】1.若为任意向量，，下列等式不一定成立的是（）A. B.C. D.2.若向量夹角的余弦值为，则等于（）A.2B.－2C.－2或D.2或3.空间四点A、B、C、D每两点的连线长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则点P与Q的最小距离为（）A.B.C.D.4.在以下命题中，不正确的个数为（）①是共线的充要条件②若，则存在唯一的实数，使③对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若，则P、A、B、C四点共面④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底⑤A.2B.3C.4D.55.设，且，则等于（）A.－4B.9C.－9D.6.在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若，则与所成角的大小为（）A.60°B.90°C.105°D.75°7.在中，AB=AC=5，BC=6，PA⊥平面ABC，PA=8，则P到BC的距离是（）A.B.C.D.8.一条长为的线段，夹在互相垂直的两个平面之间，它和这两个平面所成的角分别是45°和30°，由这条线段两端向两平面的交线引垂线，垂足间的距离是（）A.B.C.D.9.正方体的棱长为，E、F分别是BB1、CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为（）A.B.C.D.10.已知平行六面体中，ABCD是边长为的正方形，，，则AC1的长=。11.已知，向量与轴垂直，且满足，则。12.在长方体中，和与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线和所成角的余弦值为