双曲线的简单几何性质2

【课题】双曲线的简单几何性质(1)【教学目标】1、能用对比的方法分析双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线和离心率).2、能说明离心率的大小对双曲线形状的影响,领会双曲线与渐近线的关系.3、明确标准方程中、、的几何意义.abc4、了解等轴双曲线的概念和特征.5、能运用双曲线发几何性质或图形特征,确定焦点的位置,会求双曲线的标准方程.【教学重点】双曲线的简单几何性质及其性质的讨论方法.【教学难点】双曲线的渐近线【教学过程】一、复习引入22复习回顾椭圆xy1(a＞b＞0)的几何性质及其研究方法a2b2二、讲解新课我们依照研究椭圆的简单几何性质的方法和步骤来研究双曲线的简单几何性质。22对于双曲线y1(a＞0,b＞0)的几何性质x22bayB2MA1F1OA2F2xB1（一）范围，|x|≥a,即x≥a,x≤-a2x2x由标准方程可知与一个非负数的差等于a21，所以≥1，由此推得x的范围.a2y除受到式子本身的制约外，没有任何限制，说明双曲线位于x≥a与x≤-a的区域内.（二）对称性：双曲线关于坐标轴、原点都是对称的，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，即双曲线的中心.讨论方法是以-y代y，方程不变，所以双曲线关于x轴对称；以-x代x，方程不变，所y轴对称；同时以-y代y，以-x代x，方程不变，所以双曲线关于原点对称±a,0）.令y=0,得x=±a,因此双曲线以双曲线关于.（三）顶点：只有两个，即（讨论方法是和它的一条对称轴——x轴有两个交点A1（－a,0），A2(a,0)，所以双曲线的顶点是（令x=0时，=-b,无实数解，说明双曲线与它的另一条对称轴——y轴没有交点，±a,0）.解得2y2故双曲线顶点只有两个.2x2注意：双曲线y1(a＞0,b＞0)与y轴没有交点，但我们也把B1（0，－b),B2（0，22bab）画在y轴上.线段A1A2叫做双曲线的实轴，线段BB叫做双曲线的虚轴，实轴的长为2a,虚轴的长12为2b，a是实半轴的b是虚半轴的长，长，焦点始终在实轴上.cc离心率：双曲线的焦距与实轴长的叫做双曲线的离心率.e=且e∈(1,+比eaa（四）∞)，这是因为c＞a＞0.（五）渐线近：经过A2、A1作y轴的平行线x=±a,经过B2、B1作x轴的平行线y=±b，这四条直线围成一个矩形，矩形的两b条对角线所在的直线的方程是y=±x，从图中可以看a出，双曲线y1的各支向外延伸时，与条直线逐渐接近.2x2这两22ba证明：先取双曲线在第一象限的设M（x,y）是它上面的点，N（x,y）是部分进行证明，这一部分的方程可写成y=b2(x＞a)2xaa直线y=bx上与aM有相同横坐标的点，则y=bxa∵y=ba2=bx1(a)2b2xaxYaax∴|MN|=Y－y=b(2)2xxaa∴|MN|=b(xx2a2)(xx2a2)axxa22ab∴|MN|=xxa22b设|MQ|是点x无限增大，|MN|接近于下方逐渐接近于ON.M到直线y=x的距离，则|MQ|＜|MN|，当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，a0，|MQ|也接近于0，就是说，双曲线在第一象限部分从射线ON的在其他象限内，也可以证明类似的情况.by=±x叫做双曲线的渐近线.a我们把两条直线【注1】等轴双曲线221中，如果a=b，那么双曲线的方程为x2－y在方程xy=ax=±a,y=±a围成正方形.渐近线方程为y=±x，它们且平分双曲线实轴和虚轴所成的角，实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线,它的实轴和虚轴的长22a2b2都等于2a，这时四条直线互相垂直，并.【注2】双曲线的画法利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图，具体做法：画出双曲线的渐近线，先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置，然后再过这两个点并根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分.最后根据双曲线的对称画性出完整的双曲线.【注3】离心率与双曲线的张口的大小有了双曲线的渐近线，我们再来讨论离心率对双曲线张口大小的影响，就方便了.由等式c－a=b可得222bac2a2a(c)21e21abb由上式可以看出，e越大，也越大，即渐近线y=±x的斜率的绝对值越大，这时双aa曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔，由此可知，双曲线的离心率越大，它的张口就越大.三、例题讲解【例1】（课本110页例1）求双曲线9y标、离心率、渐近线方程.解：把方程化为标准方程：yx1.－16x=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐22224232由此可知，实半轴长a=4，虚半轴长b=3.ca2b242325.焦点的坐标是（0，－5），（0，5）.c5离心率e.a4渐近线方程为3，即34x.xyy4【注意】根据双曲线的标准方程写出渐近线方程的方法有两种：1、画出以实轴长、虚轴长为邻边的矩形，写出其对角线方程，特别要注意对角线的斜率的确定.2、将双曲线标准方程等号右边的1改为0，即得双曲线的渐近线方程，再据此推出y=kx的形式.另外需要注意的是：若已知双曲线的标准方程则可以写出其渐近线方程，但若已知双曲线的渐近线方程，则不能仅据此确定a、b的值，只能确定a、b的关系，这点与离心率是类同的.【例2】（课本110页例2）双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m，上口半径为13m，下口半径为25m，高55m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m）.解：如图8—17，建立角直坐标系xOy，使A圆的径直AA′在x轴上，圆心与原点重合.这时上、下口的径直CC′、BB′平行于x轴，且=13×2(m)，BB=25×2(m).CCyO1312C'CA'Ax25B'B(1)(2)2x2设双曲线的方程为y1（a>0,b>0）2b2a令点C的坐标为（13，y），则点B的坐标为（25，y－55）.因为点B、C在双曲线上，所以252(y55)21,b2122132y1.2122b2252(y55)21(1)(2)122b2解方程组1322y1122b2由方程（y2）得5（负值舍去）.b12代入方程（1）得5b(55)22521221,12b2化简得19b+275b－18150=0（3）2解方程（3）得b≈25(m).2xy21.所以所求双曲线方程为：144625【例3】设椭圆与双曲线有共同焦点F(─4,0),F2(4,0),并且椭圆长轴长是双曲线实轴1长的2倍，试求椭圆与双曲线的交点的轨迹.解法1：设交点为P(x,y)，双曲线的实半轴长为a(2<a<4)，则椭圆长半轴长为2a,2y22xy2x由半焦距为4,得它们的方程分别为：1(1)和=1(2)22a16a24a4a216(a24)(16a2)(2)4─(1)得：y2(3)化简得：(x─5)2：用定义法求解.|FP|+|F2P|=2||F1P|─F2P||,解得：(3),代入(1)得：a2=2|x|4再代入2+y2=9或(x+5)+y=9.22解法|FP|=3|F2P|或3|F1P|=|F2P|.11即：(x4)2y23(x4)2y2或(x4)2y23(x4)2y2,化简得：(x─5)+y=9或(x+5)+y=9.2222【备用例题】【例4】已知双曲线C的实半轴长与虚半轴长的乘积为3,C的两个焦点分别为F，F，12直线l过F且与直线FF的夹角为，tg=21，l与线段FF的中垂线交点为P，线段PF1121222与双曲线C的交点为Q，且PQ：QF2=2：1，求双曲线的方程.22F(c,0),ab=3,直线l的斜率k=tg=21，2解：设双曲线的方程为：y=1，焦点为x222ba∴l的方程是：y=21(x─c)。令x=0,得P(0,21c)，22x02c12Q221∵=PQ=2:1，∴21c0,即Q(c)，且cc=,2ab2.36QF22y12Q4(a2b2)7(a2b2)将Q点的坐标代入双曲线的方程得：=1，9a212b2b16()4─41()aab化简得：2─21=0,()=3或(b)2=─7(舍).即b=3a(1)b解得：216aa又ab=3(2)由(1),(2)解得：a=1,b=3.2∴所求双曲线的方程为：y=12x322C：y1(a＞0,b＞0)上任意一点xP，作x轴的平行线，交双曲【例5】过双曲线2b2a线的两条渐近线于Q、R两点。求证：｜PQ｜·｜PR｜为定值.22=1P（x,y0),则yx证明：设00b202aby=±xa双曲线渐近线方程为yy0a由，得R(y,y0)byx0bayy0b由，得Q（－ay0,y0）byxa∴|PQ|·|PR|=|－ay－x0|·|ay－x0|00bb=|x02－a2y02|b2=|x02－x02+a2|=a2∴|PQ|·|PR|为定值四、课堂练习1、方程mx2＋ny2＋mn=0(m<n<0)所表示的曲线的焦点坐标是B(A)(0,mn)(B)(0,nm)(C)(mn,0)(D)(nm,0)2、下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是Dx2y2x2x2x2-y2=1和y2-=1(A)-y2=1和-=1(B)(D)39333x2y2x2x2y2(C)y2-=1和x2-3=1-y2=1和9-3=133x2y21(3,23}A的双曲线的一个焦3、与双曲线有共同的渐近线，且经过点916点到一条渐近线的距离是(C)（A）8（B）4（C）2（D）14、以y3x为渐近线，一个焦点是F（0，2）的双曲线方程为(A)x21（B）xy21（C）2y1（D）2y1yx2x2（A）223322335、双曲线kx2+4y2=4k的离心率小于2，则k的取值范围是(C)（A）（-∞,0）（B）(-3,0)（C）(-12,0)（D）(-12,1)6、已知平面内有一固定线段AB,其长度为4，动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为D(A)1.5(B)3(C)0.5(D)3.57、已知双曲线b2x2－a2y2=a2b2的两渐近线的夹角为2，则离心率e为(C)acosb(D)tg2(A)arcsin(B)(C)sec8、一条直线与双曲线两支交点个数最多为(B)(A)1(B)2(C)3(D)49、双曲线顶点为（2，－1），（2，5），一渐近线方程为3x－4y＋c=0，则准线方程为(D)1616(C)x29(D)y29(A)x25(B)y255510、与双曲线x2y2mn=1(mn<0)共轭的双曲线方程是(D)xyxyxyxy222222(A)(B)(C)(D)221mn111mnmnmn五、小结六、课后练习1.求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点和焦点坐标、离心率、渐近线方程：y21（1）x-8y=32；(2)9x-y=81；(3)x-y=-4；(4)x22222224925答案：（1）2a=82,2b=4;顶点坐标为（42，0），（-42，0）；焦点坐标为(6,0),(-6,0);e=32;渐近线方程为y=±2x.44（2）2a=6,2b=18;顶点坐标（3，0），（-3，0）；焦点坐标（310，0），（-3