北师大版九年级数学下册 （垂径定理）圆教育教学课件

第三章圆3.3垂径定理

教学目标1.通过手脑结合，充分掌握圆的轴对称性.2.运用探索、推理，充分把握圆中的垂径定理及其逆定理.3.拓展思维，与实践相结合，运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明.新课导入情境引入点在圆外,这个点到圆心的距离大于半径点在圆上,点在圆内,这个点到圆心的距离等于半径这个点到圆心的距离小于半径ABCO点与圆的位置关系新课导入2.它的对称轴是什么?是圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线3.你能找到多少条对称轴？它有无数条对称轴.●O1.圆是轴对称图形吗？新知探究③AM=BM,AB是⊙O的一条弦.作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M.你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.●O小明发现图中有:ABCDM└①CD是直径②CD⊥AB可推得【问题】④AC=BC,⑤AD=BD,新知探究连接OA,OB,则OA=OB.●OABCD└在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,理由：MAC和BC重合，AD和BD重合，∴AC=BC,AD=BD.新知探究垂直于平分这条弦，并且平分弦所对的弧.弦的直径在⊙O中，直径CD⊥弦AB，

定理：AC=BC,AD=BD.ABCDOM新知探究┗在⊙O中，直径CD平分弦AB,∴CD⊥AB,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.定理：AC=BC,AD=BD.新知探究弦（不是直径）并且平分弦所对的弧.

平分的直径垂直于弦，结论：新知探究1.在⊙O中，OC垂直于弦AB，AB=8，OA=5，则AC=

，OC=

.┏58432.在⊙O中，OC平分弦AB，AB=16，OA=10，则∠OCA=

°，OC=

.1610906【巩固练习】新知探究例1.如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，已知CD=20，CM=4，求AB.└新知探究解：连接OA，在⊙O中，直径CD⊥AB，∴AB=2AM，△OMA是直角三角形.∵CD=20，∴AO=CO=10.∴OM=OC–CM=10–4=6.在Rt△OMA中，AO=10，OM=6，根据勾股定理，得：AO2=OM2+AM2,∴AB=2AM=2

×8=16.└

新知探究例2.如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上.你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？G└解:作OG⊥AB，∵AG=BG,CG=DG，∴AC=BD.G新知探究└解:连接OC.例3.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中CD,点O是CD所在圆的圆心),其中CD=600m,E是CD上一点,且OE⊥CD,垂足为F,EF=90m,求这段弯路的半径.设弯路的半径为Rm，则OF=(R-90)m.根据勾股定理，得OC2=CF2+OF2,即解这个方程，得R=545，∴这段弯路的半径为545m.新知探究1.判断：（1）垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）（2）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（）（3）经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）（4）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧（）对错错对【跟踪训练】新知探究●O●M2.如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.解：连接OM,过M作AB⊥OM，交⊙O于A，B两点.AB课堂小结1.圆的相关概念，弦、弧、优弧、劣弧.2.垂径定理及推论、圆的对称性.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.

通过本课时的学习，需要我们掌握：规律方法：课堂小结运用垂径定理及其推论解决一些数学问题.最常见的辅助线是连接圆上的点与圆心构成半径，及过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题.课堂小测1.如图，AB，AC都是圆O的弦，OM⊥AB，ON⊥AC，垂足分别为M，N，如果MN＝3，那么BC＝________.解析：由垂径定理得AN=CN，AM=BM，

所以BC=2MN=6.6课堂小测2.如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为（）A．19

B．16

C．18

D．20D课堂小测B

有课堂小测4.如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（）

B课堂小测5.如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于D点，且AB＝6cm，OD＝4cm，则DC的长为（）A．5cm

B．2.5cm

C．2cm

D．1cmD

OBACD垂径定理第三章圆

知识点1

垂径定理及推论1.下列命题中错误的有

(C)①弦的垂直平分线经过圆心;②平分弦的直径垂直于弦;③平分弦的直径平分弦所对的两段弧.A.0个 B.1个 C.2个 D.3个2.如图,AB,BC是☉O的两条弦,AO⊥BC,垂足为D.若☉O的半径为10,BC=16,则AB的长为

(D)3.(泸州中考)如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E.若AB=8,AE=1,则弦CD的长是

(B)【变式拓展】(安顺中考)已知☉O的直径CD=10cm,AB是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为M,且AB=8cm,则AC的长为

(C)知识点2

垂径定理的应用4.位于黄岩西城的五洞桥桥上老街目前正在修复,如图1是其中一处中式圆形门,图2是它的平面示意图.已知AB过圆心O,且垂直CD于点B,测得门洞高度AB为1.8米,门洞下沿CD宽为1.2米,则该圆形门洞的半径为

(A)

A.1米 B.1.2米C.1.6米 D.1.8米5.一条排水管的横截面如图所示,已知排水管的半径OA=1m,水面宽AB=1.2m.若某天下雨后,水管水面上升了0.2m,则此时排水管水面宽CD等于

1.6

m.

6.如图,已知AD是☉O的直径,AB,BC是☉O的弦,AD⊥BC,垂足是点E,BC=8,DE=2,求☉O的半径和sin∠BAD的值.7.过☉O内一点M的最长弦长为10cm,最短弦长为8cm,则OM的长为

(C)A.9cm B.6cm C.3cm D.8.(广州中考)如图,在☉O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD,垂足为E,连接CO,AD,∠BAD=20°,则下列说法中正确的是

(D)A.AD=2OB B.CE=EOC.∠OCE=40° D.∠BOC=2∠BAD9.(衢州中考)如图,AC是☉O的直径,弦BD⊥AO于点E,连接BC,过点O作OF⊥BC于点F.若BD=8cm,AE=2cm,则OF的长度是

(D)11.如图,AB是半圆O的直径,AC是弦,点P从点B开始沿BA边向点A以1cm/s的速度移动.若AB的长为10cm,点O到AC的距离为4cm.(1)求弦AC的长;(2)问经过几秒后,△APC是等腰三角形.解:(1)过点O作OD⊥AC于点D,易知OD平分AC,AO=5cm,OD=4cm,从而AD=3cm,AC=6cm.(2)经过

后,AC=PC,△APC是等腰三角形;经过4s后,AP=AC,△APC是等腰三角形;经过5s后,AP=CP,△APC是等腰三角形.12.(安徽中考)筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1,明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2,筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方,且圆被水面截得的弦AB的长为6米,∠OAB=41.3°.若点C为运行轨道的最高点(C,O的连线垂直于AB),求点C到弦AB所在直线的距离.(参考数据:sin41.3°≈0.66,cos41.3°≈0.75,tan41.3°≈0.88)解:连接CO并延长,交AB于点D,则CD⊥AB,∴D为AB的中点.所求运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离即为线段CD的长.∴CD=CO+OD=AO+OD=2.64+4=6.64.答:运行轨道的最高点C到弦AB所在直线的距离约为6.64米.13.(金华中考)如图1是小明制作的一副弓箭,A,D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点,弓弦BC=60cm.沿AD方向拉弓的过程中,假设弓臂BAC始终保持圆弧形,弓弦不伸长.如图2,当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时,有AD1=30cm,∠B1D1C1=120°.(1)图2中,求弓臂两端B1,C1的距离.(2)如图3,将弓箭继续拉到点D2,使弓臂B2AC2为半圆,则D1D2的长为多少?解: