最优控制理论考试重点

1．最优控制问题的性能指标(1)积分型性能指标(拉格朗日型)：J(u)=ItfL[x(t),u(t),t]dtt0反映控制进程误差在某种意义下的平均或控制进程的快速性，同时能反映燃料或能量的消耗。(2)末值型性能指标(梅耶型)：J(u)=0[x(t),t]，接近目标集程度，即末态控制精度的气宇。⑶综合性能指标(鲍尔扌L型)：J(u)二机x(t),t]+ItfL[x(t),u(t),t]dto2．最优控制问题的数学模型fft02．最优控制问题的数学模型•It=t,x(t)=x给定系统的状态方程：x(t)=f[x(t),心];状态方程的边界条件：[=t0,x(t0)e&给定性能指标：J(u)=0[x(t),t]+1tfL[x(t),u(t),t]dt；允许控制域u(t)：u(t)eU。fft03．最优控制应用的几种类型：最短时刻控制，最小能量控制，线性调节器，最少燃料消耗控制，线性跟踪器。4．选取性能指标注意：应能反映对系统的主要技术条件要求，便于对最优控制进行求解，所导出最优控制易于实现。5．边界条件：指状态向量在起点或终点的所有允许值的集合。6．横截条件：依据性能指标的要求，从允许值的集合当选择哪一点作为始态或终态的问题。泛函：对于某一类函数y(・)中的每一个函数y(x),变量J都有一个值与之相对应，那么变量J称作依赖于函数y(x)的泛函。记为：J=J[y(x)],y(x)称为泛函的宗量。宗量的变分：5y二y(x)-y0(x)。泛函的持续性：对任意给定的正数£,总存在另一个正数5，当|y(x)—y0(x)|<5,|y(x)—y0(x)|<5y(k)(x)—y(k)(x)<5，…时，|J[y(x)]—J[y0(x)]|<£，贝9称泛函J[y(x)]在点y0(x)处是持续的，而现在y(x)与y0(x)具有k阶接近度。J[y(x)]知足：(1)J[y(x)+y(x)]=J[y(x)]+J[y(x)]，(2)J[ay(x)]=aJ[y(x)]1212贝称其为线性泛函。泛函的变分(计算题)设泛函J[y(x)]为持续泛函，则泛函增量的线性主部称为泛函的变分，记为：5J。泛函的变分是唯一的。泛函J[y(x)]的求解：5J[y(x)]=J[y(x)+eSy(x)]。des=0dx(t)dx(t)J=ftfL[t,x(t),x(t)]dt，则J=Itf{dL[t，x(())x(t)]5x(t)+dL[t，x(()：x(t)]5x(dx(t)dx(t)t0t0性能指标为=IQ性能指标为=IQ丄+龙'dt*0由欧拉方程cl例=确定点A(0,1>至给定直践回门=2-f的最短的曲线方程•解：由A至甲的弧长层=J3亍+(dx)2=Vl+x2dt■?丫(£、一¥十■?丫(£、一¥十1对于与y0(x)接近的曲线y(x),泛函J[y(x)]的增量2)可变端点：欧拉方程：L—£■L=0，横截条件：xdtx积分律a/13-</)=E+b抿据始踹条件抿揺终端横戳条件，[£I(i^r—x)Z.^]f_JlI0I(—1—◎、jp—°pi亠-L得最优轨线方程；±一°一丄泛函的极值AJ=J[y(x)]—J[y0(x)]'0或人丿=J[y(x)]-J[y0(x)]<0，则泛函J[y(x)]在曲线y0(x)上达到极值。泛函极值定理:若可微泛函J[y(x)]在y0(x)上达到极值，则在y=y0(x)上的变分为零，即5J=0。欧拉方程：(1)一()]=。或厶一L=0，展开形式为L一L一xL一xL=0。exdtexxdtxxxtxxxx(2)L中不显含t时，即L=L(x,x)，现在L—xL=C。x无约束条件的最优化问题(思路)(解题步骤)(计算)(1)端点固定：欧拉方程：L—dL=0。xdtx),),t]+JtfL[x(t),u(t),t]dt，泛函极值ft0[L+帥—x)L]二0;x(t)二x,x(t)二屮(txtf00ff[L+伸—x)L]二0;x(t)=Q(t),x(t)二x

Ixt000ft7.具有等式约束条件的最优化问题：J(u)=0[x(t必要条件为：6H.0h0h状态方程：x=-=f[x,u,t]，协态方程：九=——，控制方程(极值条件)：―~=0,弘excu

cQ©QgT叫—册吞v，cQ©QgT叫—册吞v，横截条件：端点约束：00端点约束.g[x(t),t]二0ffH(t)++vt二0。fdtdt8．应用变分法求解最优控制问题步骤如上，第一列写哈密尔顿函数H=L+九Tf,横截条件用于补充所缺少的边界条件。dFddF—0dFddF—0dFdxdtdx，横截条件：n(t)dx7oQ2L.Q2Lx—0^或L—L—Lx—Lx—0xtxxxxx(1)J(x)取极值的必要条件为：欧拉方程:(2)欧拉方程的展开形式：学-些—x—:—QxQtQxQxQxQx2(3)不同函数F的欧拉方程：QFQ2FQ2FQ2F1)F[x(t),t]：亍—0；2)F[x(t),t]:—x—0；3)F[x(t),t]:—x+-—0；4)—[x(t),x(t)]:QaQ卩——04)—[x(t),x(t)]:QaQ卩——0oQxQtx+——0；5)—[x(t),x(t),t]—a(x,t)+P(x,t)x:Qx2QxQtQx持续系统的最小值原理沿最优轨线函数H相对最优控制u*(t)取绝对极小值，这是极小值原理的一个重要结论。H[x*(t),九(t),u*(t),t]—minH[x*(t),九(t),u(t),t]u(t)gU设系统的状态方程为x(t)—f[x(t),u(t),t]，控制u(t)是有第一类中断点的分段持续函数，属于p维空间中的有界闭集Q,知足不等式约束：G[x(t),u(t),t]>0，在终端时刻tf未知的情形下，为使状态自初态x(t)—x，转移到知足边界条件M[x(t),t]—0的终态，00ff并使性能指标J—0[x(t),t]+ftfF[x(t),u(t),t]dt达极小值。fftt0设哈密而顿函数为H—F(x,u,t)+九Tf(x,u,t)则最优控制u*(t)，最优轨线x*(t)和最优伴随向量入*(t)必需知足下列条件：QHQHQG(1)沿最优轨线知足正则方程：x—，九--—()Tr，式中r是与时刻t无Q九QxQxQH关的拉格朗日乘子向量，其维数与G相同，若G中不包括X,贝y：九--〒oQx[H(x,u,九,t)+QQ0+()T[H(x,u,九,t)+QQ0+()TV]QtQtt=tfx(t)—x，00fQxQxt—tM[x(t),t]—0o(3)在最优轨线x*(t)上与最优控制u*(t)相对应的H函数取绝对极小值，即H(x*,X*,u*,t)<H(x*,X*,u,t)，QHQG而且沿最优轨线，下式成立=-()troQuQu上述条件与不等式约束下的最优控制的必要条件相较较，横截条件及端点边界条件没有QH改变，仅亍—0这一条件不成立，而代之以与最优控制相对应的函数为绝对极小，第二是Qu正则方程略有改变，仅当G中不包括x时，方程才不改变。1．砰-砰控制原理：若线性定常系统X(t)=Ax+Bu属于普通情形，则其最短时刻控制为u*(t)二-Msgn[Bt九*(t)]，u*(t)的各个分量都是时刻的分段恒值函数,并均取边界值，称此为Bang-Bang原理。即u*(t)二-sgn[q*(t)]二一sgn{^b(t”*(t)},(j二1,2,...,m)jjijiJi=1或u*(t)=—sgn[Q(t)]=—sgn{BT[x*(t),t]X*(t)}。2.普通最短时刻控制系统：q*只是在各个孤立的瞬刻才取零值，u*是有第一类中断点的分段恒值函数。3．奇异(非普通)最短时刻控制系统：q*在一段区间取零值。并非意味着在该区间内最优控制不存在，仅表明，从必要条件不能推出确切关系式。若是九*t(t)b在某一时刻区间内维持为零，则u*(t)为不肯定值，这种情形称为奇异问题或非普通问题，相应的时刻区段称为奇异区段。当整个时刻区间内不出现奇异区段时，则称为非奇异问题或普通问题，对于普通问题，有以下几个概念及定理。砰--砰控制原理也称为继电器型控制或开关控制，其主要特点是控制向量的分量都取控制域的边界，而且不断的从一个边界值切换到另一个边界值，从而组成一种最强的控制作用。砰-砰控制实质是普通时刻最优问题，其最优解也就是控制器的输出是一个类似于继电器动作的开关式动作。最短时刻控制存在定理：若线性定常系统X(t)=Ax+Bu完全能控，矩阵A的特征值均具有非正实部，控制变量知足不等式约束lu(t)IWM,贝y最短时刻控制存在。最短时刻控制的唯一性定理：若线性定常系统X(t)=Ax+Bu属于普通情形，若时刻最优控制存在，则一定是唯一的。开关次数定理：若线性定常系统X(t)=Ax+Bu控制变量知足不等式约束Iu(t)IWM,矩阵A的特征值全数为实数，若最短时刻控制存在。则必为Bang-Bang控制，而且每一个控制分量在两个边界值之间的切换次数最多不超过n-1次。切换点为q*(t)=b九=0。jj系统普通的充要条件：当且仅当m个矩阵G=气,Abj,A2b,...,An-ib]中全数为非奇异矩阵时，系统是普通的。(至少有一个为奇异矩阵时，系统是奇异的。)双积分模型的物理意义：惯性负载在无阻力环境中运动。fx(t)=x(t)双积分模型仁12的最短时刻控制问题，求解进程为：Ix(t)=u(t)21)应用最小值原理得出最优控制表达式u*=—sgn[九2(t)]；2)解协态方程，结合开关次数定理，列出最优控制的候选函数序列(4种)；3)在状态平面上分析状态转移轨线，寻觅开关曲线，总结控制规律；4)计算状态转移的最短时刻。解题步骤：1)判断系统是不是能控：rank(G)=rank([b,Ab,A2b,...,An-"])是不是等于n，A的特征值是不是全数有jjjjj非正实部。.QH2)列写H函数：H=L+九Tf；3)伴随方程：九=-丁；4)极值条件：QxH(x*,X*,u*,t)<H(x*,X*,u,t)。

5)最优控制规律：u*(t)线。-5)最优控制规律：u*(t)线。-M,q>0

=<+M,q<0；6)、不定,q=0Iu=+M时，求解x*(t)

u=-M时，求解x*(t)7)肯定开关曲聚散原理：若燃料控制是平凡的，则最优控制各分量u*都是时刻分段横值函数，并在-1,0,+1三个值之间切换。q(t)~j—在某个(或jq(t)~j—在某个(或j普通燃料最优问题：甘只在孤立点等于1；非普通燃料最优问题:某些)区间内等于1。‘普通最少燃料控制的充分条件：det[G;AT]丰0o最优解唯一性定理：系统是普通的且最少燃料控制存在，则最少燃料控制必然是唯一的，且目标泛函的相对极小值也是唯一的。Ix(t)=x(t)双积分模型<的最少燃料控制问题：Ix(t)=u(t)21)判断其普通性：该系统是奇异的(则最少燃料控制不必然是唯一的)。最优控制表达式：u*=-dez{~c^~}=-dez{BT九}=-dez(九?)。3)利用协态方程求解九2(t)，肯定u(t)9种可能的控制序列作为候选函数。5)计算在状态转移进程中燃料的消耗。燃料消耗量的下限|x20|，所以，若是能找到一个控制，差遣状态从初态转移到原点的燃料消耗为|x20|，则该控制肯定是燃料最优控制。6)以此为依据来选择最优控制序列(最优轨线)双积分模型的最少燃料控制问题，求解进程为：1)应用最小值原理得出最优控制表达式；2)解协态方程，列出最优控制的候选函数序列(9个)；燃料消耗量的下限为；4)在状态平面上分析状态转移轨线，寻觅开关曲线，总结控制规律；计算状态转移的所需时刻、消耗燃料。结论：⑴(x1o,x20)刊+普通情形：只有{+1}序列可差遣系统状态抵达原点，故为问题的解。非普通情形：因为u*(t)=-sgn仏)•v(t)，v(t)<1，则系统状态不可能抵达原点。u*u*(t)dt=ftfu*(t)dt=xo2t0f=-x201)u*=1为最优解；2)消耗燃料P(x,t0f=-x2010200⑵(x10,x20)GR4

非普通情形：u*(t)二—sgn(X20)•v(t),v(t)vl，能够找到许多v(t)，使系统状态转移到原点。且燃料消耗为|x20|，因此都是最优控制。普通情形：只有序列｛0,+1｝和｛-1,0，+1｝可差遣系统状态抵达原点。其中：｛0,+1｝控制下，燃料消耗为|x20|，｛-1，0，+1｝，燃料消耗大于忆讣。结论：｛0,+1｝为最优控制序列，且在各类情形下其响应时刻最短。(3)(X,x)GR10201普通情形：只有序列｛-1，0,+1｝可差遣系统状态抵达原点。结论：燃料控制问题无解(£-燃料最优控制)。双积分装置最少燃料问题的控制规律如下：;(H=-1T.；<0}Y;(H=-1T.；<0}Y：==+1rrh=+1工、纭严打=—](工)，x_rf+=OO：i*芯)ml_J不仔在(“亠工)芒尺LJ冬根据什么原则选取状态转移轨迹°最少燃料控制为三位式控制，存在(+1，0，-1)三种控制状态，与最短时刻控制相较，多1个u=0的控制状态，这意味着：在状态转移的某些阶段，可借助系统中积存的能量来维持运动，根本不需要消耗能量。双积分装置最少燃料系统的最优解取决于初态的位置。即可无解，也可唯一解或多个解。这意味着，同一个问题，在某些初值下是普通的，在另一些初值下是非普通的。单考虑燃料最少，相应可能太慢，应与时刻综合考虑。如：采历时刻燃料综合最优的指标函数，J[u(t)]=Jtf[K+|u(t)|]dt。0

兀B!■2：2：I/；r-j.杲短时间控制与最少燃料控制的相互关系本质：虽短时间控制宪消耗燃料減少时间.最少时间控制则克延长时间来节省燃料=占兀B!■2：2：I/；r-j.杲短时间控制与最少燃料控制的相互关系本质：虽短时间控制宪消耗燃料減少时间.最少时间控制则克延长时间来节省燃料=占最少燃料控制时间、燃料综合最优虽短时间腔制看=[ABFl，ACEO时间最短珀三.方式只少烬•注3—11養性二次型问题的提濫询二押询+即加)3—11设践性时娈系统的状态方程为wmw、個设控制向量川门不受约束.用叫⑴表示期望输出、则误差向量关e(/t-yjf)-y(/)(G-2)求最优控制/⑴*使下列二次型性能指标最小、JW=斗/(»恥厲)+*『［eT(f)Q(f)e(t)+吹)5(加⑴］出(6-3：胃一半正定对称常数加权矩阵Q(t)—半正定对称时变加权矩阵血⑴一正定对称时变加权矩阵⑰及“固定正定二次型甘v尹彷…-捫掬半正-定二次型……恢■护召----屛禺色勺-；实对称阵A为正定(半正是)的充要条件屋全部特征值X)<「加权矩阵总可化为对秫形式.OOO■J\u)-£严(/,)脍(rJ丨*『疔0r1^(/14-u(t)TR(t)n(f)］dt〔〔、一m性能指标的物理含义’兀=寺貞。7"。©kG)>0—状态转移过程中斷量v("大小的代价函数/„=歸加门汕一:弋却朝缈兀L盘量讯f)丿•••■•、勺氏仃环|•轅心=\YF叩—坯卒吭血I.佔连己滙J线性二氏型问题的本质：用不大的腔制「来保持较屮的误差’以达到能虽和误差综合最优的目的线性二次型问题的三种重要情形：対)=占⑴心+哄加("(6-1).vtn-cX；j.v(/>曲)=卞卫)一讥0(6-2)I)Ci7)-2__v,(/)-0__y(i)-xih--e(!)__曲侗磚口九芒)—0'■⑴—W)输匚词弓器卜I-@"1亘〕_“匚亦卜吊压问辽矩阵F,Q(t),R(t)的每一元素，都是对应二次项的系数。意义：是借以衡量各个误差分量和控制分量重要程度的加权矩阵。对于重要的误差分量或控制分量，其系数取较大值；对于次要的误差分量或控制分量，系数取较小值；而对于互不相关的误差分量或控制分量，系数取零值。状态调节器：用不大的控制能量，使状态维持在零值周