专题07三角函数的图象与性质综合（原卷版）

专题07三角函数的图象与性质综合一、知识速览二、考点速览知识点1三角函数的图象与性质1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)．(2)在余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)．2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RReq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠kπ＋\f(π,2)))))值域[－1,1][－1,1]R周期性2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))[2kπ－π，2kπ]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))递减区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))[2kπ，2kπ＋π]无对称中心(kπ，0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))对称轴方程x＝kπ＋eq\f(π,2)x＝kπ无知识点2函数Asin(ωx＋φ)1、y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)振幅周期频率相位初相(A>0，ω>0)AT＝eq\f(2π,ω)f＝eq\f(1,T)＝eq\f(ω,2π)ωx＋φeq\a\vs4\al(φ)2、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πx－eq\f(φ,ω)eq\f(π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(3π,2ω)－eq\f(φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)y＝Asin(ωx＋φ)0eq\a\vs4\al(A)0－A0知识点3三角函数图象变换由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法一、三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数图象来求解．【注意】解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略．【典例1】（2022·全国·高三专题练习）函数的定义域为（）A．B．且C．D．或【典例2】（2023·全国·高三专题练习）函数的定义域为．【典例3】（2022·全国·高三专题练习）函数定义域为（）A．B．C．D．二、三角函数值域或最值的3种求法1、直接法：形如y＝asinx＋k或y＝acosx＋k的三角函数，直接利用sinx，cosx的值域求出；2、化一法：形如y＝asinx＋bcosx＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)；3、换元法：（1）形如y＝asin2x＋bsinx＋k的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；（2）形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)【典例1】（2023·全国·高三对口高考）的最小值为.【典例2】（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）函数在区间上的最小值是.【典例3】（2022秋·重庆·高三重庆一中校考）函数的最小值是．【典例4】（2022·全国·高三专题练习）函数，的值域为．三、求三角函数单调区间的2种方法1、代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解；2、图象法：画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域．【典例1】（2023·全国·模拟预测）将函数的图象上各点向右平移个单位长度得函数的图象，则的单调递增区间为（）A．B．C．D．【典例2】（2023·吉林·梅河口市第五中学校考模拟预测）下列区间中，函数单调递减的区间是（）A．B．C．D．【典例3】（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递增区间为（）A．，B．，C．，D．，四、已知单调区间求参数范围的3种方法1、子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；2、反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解；3、周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过eq\f(1,4)周期列不等式(组)求解。【典例1】（2023秋·重庆·高三统考开学考试）已知函数在区间上是单调的，则的取值范围是（）A．B．C．D．【典例2】（2023·山东烟台·统考二模）已知函数在上单调递增，则的取值范围为（）．A．B．C．D．【典例3】（2022·全国·高三专题练习）已知函数在内是减函数，则（）A．B．C．D．五、与三角函数奇偶性相关的结论三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．常见的结论有：（1）若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．（2）若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)．（3）若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．【典例1】（2023·河北沧州·校考模拟预测）若函数为奇函数，则的最小值为.【典例2】（2022秋·重庆·高三重庆实验中学校考期中）已知函数是偶函数，则的值为（）A．B．1C．1或-1D．【典例3】（2022秋·河南·高三郑州外国语学校校考）已知，则“函数的图象关于轴对称”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件六、三角函数对称性问题的2种求解方法1、定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点；2、公式法：（1）函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝eq\f(kπ,ω)－eq\f(φ,ω)＋eq\f(π,2ω)，对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,ω)－\f(φ,ω)，0))；（2）函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝eq\f(kπ,ω)－eq\f(φ,ω)，对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,ω)－\f(φ,ω)＋\f(π,2ω)，0))；（3）函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2ω)－\f(φ,ω)，0)).上述k∈Z【典例1】（2023秋·重庆·高三万州第二高级中学校考）函数图象的对称轴是（）A．B．C．D．【典例2】（2023·陕西安康·统考一模）设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（）A．B．C．D．【典例3】（2023·河南开封·校考模拟预测）已知函数的图象关于点对称，那么的最小值为．七、三角函数图象的变换函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)中，参数A，ω，φ，k的变化引起图象的变换：（1）A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换；（2）ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；（3）φ的变化引起左右平移变换，k的变化引起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．【注意】（1）平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值；（2）余弦型、正切型函数的图象变换过程与正弦型函数的图象变换过程相同。【典例1】（2023·四川南充·统考三模）已知点是函数的一个对称中心，则为了得到函数的图像，可以将图像（）A．向右平移个单位，再向上移动1个单位B．向左平移个单位，再向上移动1个单位C．向右平移个单位，再向下移动1个单位D．向右平移个单位，再向下移动1个单位【典例2】（2023·西藏林芝·校考模拟预测）为了得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度易错点1忽视正、余弦函数的有界性点拨：许多三角函数问题可以通过换元的方法转化为代数问题解决，在换元时注意正、余弦函数的有界性．【典例1】（2022·全国·高三专题练习）函数y＝cos2x－sinx的值域是【典例2】（2023春·河丘·高三临颍县第一高级中学校联考）函数的最小值为（）A．B．0C．2D．6【典例3】（2023·全国·高三专题练习）设，则的最小值为.【典例4】（2023·全国·高三专题练习）求函数的值域．易错点2三角函数单调性判断错误点拨：对于函数来说，当时，由于内层函数是单调递增的，所以函数的单调性与函数的单调性相同，故可完全按照函数的单调性来解决；但当时，内层函数是单调递减的，所以函数的单调性与函数的单调性正好相反，就不能按照函数的单调性来解决。一般来说，应根据诱导公式将的系数化为正数加以解决，对于带有绝对值的三角函数宜根据图象从直观上加以解决。【典例1】（2023·全国·高三专题练习）函数的单调递减区间是（）A．B．C．D．【典例2】（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数，，则的单调递增区间是（）A．B．C．，D．，易错点3图象变换的方向把握不准点拨：图像的平移变换，伸缩变换因先后顺序不同平移的量不同，平移的量为，平移的量为。【典例1】（2023春·重庆·高三重庆巴蜀中学校考）函数的图象经过下列哪个变换可以得到的图象，这个变换是（）A．先将函数的图象向左平移个单位，再把图象上每个点的横坐标扩大为原来的2倍B．先将函数的图象向左平移个单位，再把图象上每个点的横坐标缩小为原来的C．先把函数的图象上每个点的横坐标缩小为原来的，再将图象向左平移个单位D．先把函数的图象上每个点的横坐标扩大为原来的2倍，再将图象向左平移个单位【典例2】（2023·河北唐山·统考三模）（多选）为了得到函数的图象，只需把余弦曲线上所有的点（）A．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移C．向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D．向右平移，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变【典例3】（2023春·广西·高三鹿寨县鹿寨中学校联考）已知函数的部分图象如下所示，其中，为了得到的图象，需将（）A．函数的图象的横坐标伸长为原来的倍后，再向左平移个单位长度B．函数的图象的横坐标缩短为原来的后，再向右平移个单位长度C．函数的图象向左平移个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的倍D．函数的图象向右平移个单位长度后，再将横坐标伸长为原来的倍易错点4用零点确定的,忽略图象的升降点拨：确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突