江苏省扬州市江都市2017届九年级（上）期末数学试卷（解析版）

第1页（共32页）2016-2017学年江苏省扬州市江都市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．扬州1月某日的最高气温是8°C，最低气温是1°C，这天气温的极差是（）A．﹣7°C B．7°C C．﹣9°C D．9°C2．若x=2是方程x2﹣mx﹣6=0的一个解，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．23．一个不透明的盒子中装有2个白球，5个红球和8个黄球，这些球除颜色外都相同，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为（）A． B． C． D．4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC=42°，则∠A的度数是（）A．42° B．48° C．52° D．58°5．如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A． B． C． D．6．在正方形网格中，∠BAC如图所示放置，则cos∠BAC等于（）A．3 B． C． D．7．如图，直线l与以线段AB为直径的圆相切于点C，AB=6，AC=3，点P是直线l上一个动点．当∠APB的度数最大时，线段BP的长度为（）A．6 B． C．9 D．8．二次函数y=a（x﹣4）2﹣4（a≠0），当2＜x＜3时对应的函数图象位于x轴的下方，当6＜x＜7时对应的函数图象位于x轴的上方，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．一元二次方程x2﹣5x+6=0的两根分别是x1，x2，则x1+x2=．10．若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为．11．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为．12．用半径为6cm的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径等于cm．13．如图，AB、CD是水平放置的轮盘（俯视图）上两条互相垂直的直径，一个小钢球在轮盘上自由滚动，该小钢球最终停在阴影区域的概率为．14．如果关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是．15．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是．16．如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m=．17．如图，矩形OABC中，OA在x轴上，OC在y轴上，且OA=2，AB=4，把△ABC沿着AC对折得到△AB'C，AB'交y轴于点D，则B'点的坐标为．18．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（4）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确结论的序号是．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．解下列方程（1）（x﹣3）2=3﹣x；（2）2x2+1=4x．20．已知：如图，在△ABC中，D是AC上一点，==，△BCD的周长是24cm．（1）求△ABC的周长；（2）求△BCD与△ABD的面积比．21．某校九年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写”大赛预赛，各参赛选手的成绩如下：A班：88，91，92，93，93，93，94，98，98，100B班：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99通过整理，得到数据分析表如下：班级最高分平均分中位数众数方差A班100a9393cB班9995b938.4（1）直接写出表中a、b、c的值；（2）依据数据分析表，有人说：“最高分在A班，A班的成绩比B班好”，但也有人说B班的成绩要好，请给出两条支持B班成绩好的理由．22．某种电子产品共4件，其中有正品和次品．已知从中任意取出一件，取得的产品为次品的概率为．（1）该批产品有正品件；（2）如果从中任意取出2件，利用列表或树状图求取出2件都是正品的概率．23．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（﹣1，3）、（﹣4，1）、（﹣2，1），先将△ABC沿一确定方向平移得到△A1B1C1，点B的对应点B1的坐标是（1，2），再将△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2，点A1的对应点为点A2．（1）画出△A1B1C1和△A2B2C2；（2）求出在这两次变换过程中，点A经过点A1到达A2的路径总长；（3）求线段B1C1旋转到B2C2所扫过的图形的面积．24．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查发现：在一段时间内，当销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．若商场要获得10000元销售利润，该玩具销售单价应定为多少元？售出玩具多少件？25．如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P．点C在OP上，且BC=PC．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若OA=3，AB=2，求BP的长．26．若二次函数y=a1x2+b1x+c1的图象记为C1，其顶点为A，二次函数y=a2x2+b2x+c2的图象记为C2，其顶点为B，且满足点A在C2上，点B在C1上，则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”．（1）写出二次函数y=x2的一个“伴侣二次函数”；（2）设二次函数y=x2﹣2x+3与y轴的交点为P，求以点P为顶点的二次函数y=x2﹣2x+3的“伴侣二次函数”；（3）若二次函数y=2x2﹣1与其“伴侣二次函数”的顶点不重合，试求该“伴侣二次函数”的二次项系数．27．如图，⊙A的圆心A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，且与x轴、y轴相切于点B、C，一次函数y=x+b的图象经过点C，且与x轴交于点D，与⊙A的另一个交点为点E．（1）求b的值及点D的坐标；（2）求CE长及∠CBE的大小；（3）若将⊙A沿y轴上下平移，使其与y轴及直线y=x+b均相切，求平移的方向及平移的距离．28．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求二次函数的表达式；（2）设上述抛物线的对称轴l与x轴交于点D，过点C作CE⊥l于E，P为线段DE上一点，Q（m，0）为x轴负半轴上一点，以P、Q、D为顶点的三角形与△CPE相似；①当满足条件的P点有且只有一个时，求m的取值范围；②若满足条件的P点有且只有两个，直接写出m的值．

2016-2017学年江苏省扬州市江都市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．扬州1月某日的最高气温是8°C，最低气温是1°C，这天气温的极差是（）A．﹣7°C B．7°C C．﹣9°C D．9°C【考点】极差．【分析】用最大值减去最小值即可求得极差．【解答】解：极差为8﹣1=7℃，故选B．2．若x=2是方程x2﹣mx﹣6=0的一个解，则m的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．2【考点】一元二次方程的解．【分析】将x=2代入方程x2﹣mx﹣6=0，解关于m的方程即可得．【解答】解：根据题意，将x=2代入方程x2﹣mx﹣6=0，得：4﹣2m﹣6=0，解得：m=﹣1，故选：A．3．一个不透明的盒子中装有2个白球，5个红球和8个黄球，这些球除颜色外都相同，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为（）A． B． C． D．【考点】概率公式．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：根据题意可得：一个不透明的盒子中装有2个白球，5个红球和8个黄球，共15个，摸到红球的概率为=，故选：B．4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC=42°，则∠A的度数是（）A．42° B．48° C．52° D．58°【考点】圆周角定理．【分析】首先连接OC，由等腰三角形的性质，可求得∠OCB的度数，继而求得∠BOC的度数，然后利用圆周角定理求解，即可求得答案．【解答】解：连接OC，∵OB=OC，∠OBC=42°，∴∠OCB=∠OBC=42°，∴∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB=96°，∴∠A=∠BOC=48°．故选B．5．如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A． B． C． D．【考点】相似三角形的判定．【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．故选C．6．在正方形网格中，∠BAC如图所示放置，则cos∠BAC等于（）A．3 B． C． D．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据余弦=邻边：斜边进行计算即可．【解答】解：cos∠BAC==，故选D．7．如图，直线l与以线段AB为直径的圆相切于点C，AB=6，AC=3，点P是直线l上一个动点．当∠APB的度数最大时，线段BP的长度为（）A．6 B． C．9 D．【考点】切线的性质．【分析】连接BC，由题意可知当P和C重合时，∠APB的度数最大，根据勾股定理求出BC即可．【解答】解：连接BC，∵直线l与以线段AB为直径的圆相切于点C，∴∠ACB=90°，当∠APB的度数最大时，则P和C重合，∴∠APB=90°，∵AB=6，AC=3，由勾股定理得：BP=BC==3，故选D．8．二次函数y=a（x﹣4）2﹣4（a≠0），当2＜x＜3时对应的函数图象位于x轴的下方，当6＜x＜7时对应的函数图象位于x轴的上方，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据抛物线顶点式得到对称轴为直线x=4，利用抛物线对称性得到抛物线在1＜x＜2这一段位于x轴的上方，而抛物线在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，于是可得抛物线过点（2，0），然后把（2，0）代入y=a（x﹣4）2﹣4（a≠0）可求出a的值．【解答】解：∵抛物线y=a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的对称轴为直线x=4，而抛物线在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，∴抛物线在1＜x＜2这一段位于x轴的上方，∵抛物线在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，∴抛物线过点（2，0），把（2，0）代入y=a（x﹣4）2﹣4（a≠0）得4a﹣4=0，解得a=1．故选A．二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）9．一元二次方程x2﹣5x+6=0的两根分别是x1，x2，则x1+x2=5．【考点】根与系数的关系．【分析】一元二次方程x2﹣5x+6=0的两根分别是x1，x2，根据根与系数的关系即可直接得出答案．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣5x+6=0的两根分别是x1，x2，∴根据根与系数的关系得：x1+x2=5．故答案为：5．10．若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为y=（x﹣2）2+3．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移2个单位，再向上平移3个单位后得到的点的坐标为（2，3），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式．【解答】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向上平移2个单位，再向右平移3个单位得到的点的坐标为（2，3），所以平移后抛物线的解析式为y=（x﹣2）2+3．故答案为：y=（x﹣2）2+3．11．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB的值为．【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】根据题意作出直角△ABC，然后根据sinA=，设一条直角边BC为5x，斜边AB为13x，根据勾股定理求出另一条直角边AC的长度，然后根据三角函数的定义可求出tan∠B．【解答】解：∵sinA=，∴设BC=5x，AB=13x，则AC==12x，故tan∠B==．故答案为：．12．用半径为6cm的半圆围成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面半径等于3cm．【考点】圆锥的计算．【分析】由于半圆的弧长=圆锥的底面周长，那么圆锥的底面周长为6πcm，底面半径=6π÷2π．【解答】解：由题意知：底面周长=6πcm，∴底面半径=6π÷2π=3cm．故答案为：3．13．如图，AB、CD是水平放置的轮盘（俯视图）上两条互相垂直的直径，一个小钢球在轮盘上自由滚动，该小钢球最终停在阴影区域的概率为．【考点】几何概率．【分析】首先确定阴影的面积在整个轮盘中占的比例，根据这个比例即可求出小钢球最终停在阴影区域的概率．【解答】解：因为AB、CD是水平放置的轮盘（俯视图）上两条互相垂直的直径，故它们把轮盘4等分，每一块阴影的面积在这一圈中都占，∴该小钢球最终停在阴影区域的概率为．14．如果关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m=0没有实数根，那么m的取值范围是m＜﹣4．【考点】根的判别式．【分析】根据关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m=0没有实数根，得出△=16﹣4×（﹣m）＜0，从而求出m的取值范围．【解答】解：∵一元二次方程x2+4x﹣m=0没有实数根，∴△=16﹣4×（﹣m）＜0，∴m＜﹣4，故答案为：m＜﹣4．15．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣3，6），B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（﹣1，2）或（1，﹣2）．【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】把点A的横纵坐标分别乘以或﹣即可得到点A′的坐标．【解答】解：∵位似中心为原点，相似比为，∴点A的对应点A′的坐标为（﹣3×，6×）或[﹣3×（﹣），6×（﹣）]，即（﹣1，2）或（1，﹣2）．故答案为（﹣1，2）或（1，﹣2）．16．如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，直至得到C6，若点P（11，m）在第6段抛物线C6上，则m=﹣1．【考点】二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．【分析】将这段抛物线C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质可以知道C1与C2的顶点到x轴的距离相等，且OA1=A1A2，照此类推可以推导知道点P（11，m）为抛物线C6的顶点，从而得到结果．【解答】解：∵y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2），∴配方可得y=﹣（x﹣1）2+1（0≤x≤2），∴顶点坐标为（1，1），∴A1坐标为（2，0）∵C2由C1旋转得到，∴OA1=A1A2，即C2顶点坐标为（3，﹣1），A2（4，0）；照此类推可得，C3顶点坐标为（5，1），A3（6，0）；C4顶点坐标为（7，﹣1），A4（8，0）；C5顶点坐标为（9，1），A5（10，0）；C6顶点坐标为（11，﹣1），A6（12，0）；∴m=﹣1．故答案为：﹣1．17．如图，矩形OABC中，OA在x轴上，OC在y轴上，且OA=2，AB=4，把△ABC沿着AC对折得到△AB'C，AB'交y轴于点D，则B'点的坐标为（，）．【考点】翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；坐标与图形变化﹣对称．【分析】作B′E⊥x轴，设OD=x，在Rt△AOD中，根据勾股定理列方程，可求得D点的坐标，然后依据△ADO∽△AB′E可求得B′E、AE的长，从而可求得点B′的坐标．【解答】解：作B′E⊥x轴，∵∠BAC=∠B′AC，∠BAC=∠OCA，∴∠B′AC=∠OCA，∴AD=CD，设OD=x，AD=4﹣x，在Rt△AOD中，根据勾股定理列方程得：22+x2=（4﹣x）2，解得：x=1.5，∴OD=1.5．∴AD=CD=4﹣1.5=2.5．∵CO⊥AO，B′E⊥AO，∴DO∥B′E．∴△ADO∽△AB′E．∴==，即==．解得：B′E=，AE=．∴OE=﹣2=∴点B′的坐标为（，）．故答案为：（，）．18．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（4）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确结论的序号是①④．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的对称轴方程得到b=﹣4a＞0，则可对①进行判断；由于x=﹣3时，y＜0，则可对②进行判断；【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，∴b=﹣4a＞0，即4a+b=0，所以①正确；∵x=﹣3时，y＜0，∴9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b，所以②错误；∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=2，图象与x轴交于（﹣1，0），∴抛物线x轴的另一个交点是（5，0），∵点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3），∵﹣2=，2﹣（﹣）=，∴＜∴点C离对称轴的距离近，∴y3＞y2，∵a＜0，﹣3＜﹣＜2，∴y1＜y2∴y1＜y2＜y3，故（4）错误．如图，∵a＜0，∴（x+1）（x﹣5）=﹣3/a＞0，即（x+1）（x﹣5）＞0，故x＜﹣1或x＞5，故（5）正确．故答案为：①④．三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．解下列方程（1）（x﹣3）2=3﹣x；（2）2x2+1=4x．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣公式法．【分析】（1）因式分解法求解可得；（2）公式法求解可得．【解答】解：（1）∵（x﹣3）2+（x﹣3）=0，∴（x﹣3）（x﹣3+1）=0，即（x﹣3）（x﹣2）=0，则x﹣3=0或x﹣2=0，解得：x=3或x=2；（2）方程整理可得：2x2﹣4x+1=0，∵a=2，b=﹣4，c=1，∴△=16﹣4×2×1=8＞0，则x==．20．已知：如图，在△ABC中，D是AC上一点，==，△BCD的周长是24cm．（1）求△ABC的周长；（2）求△BCD与△ABD的面积比．【考点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的性质．【分析】（1）根据相似三角形的周长的比等于相似比进行计算即可；（2）根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方进行计算即可．【解答】解：（1）∵==，且∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB，∴=，∴△ABC的周长=×24=36cm；（2）∵△BCD∽△ACB，∴=（）2=，∴△BCD与△ABD的面积比=4：5．21．某校九年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写”大赛预赛，各参赛选手的成绩如下：A班：88，91，92，93，93，93，94，98，98，100B班：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99通过整理，得到数据分析表如下：班级最高分平均分中位数众数方差A班100a9393cB班9995b938.4（1）直接写出表中a、b、c的值；（2）依据数据分析表，有人说：“最高分在A班，A班的成绩比B班好”，但也有人说B班的成绩要好，请给出两条支持B班成绩好的理由．【考点】方差；加权平均数；中位数；众数．【分析】（1）求出A班的平均分确定出a的值，求出A班的方差确定出c的值，求出B班的中位数确定出b的值即可；（2）分别从平均分，方差，以及中位数方面考虑，写出支持B成绩好的原因．【解答】解：（1）A班的平均分==94，A班的方差=，B班的中位数为（96+95）÷2=95.5，故答案为：a=94b=95.5c=12；（2）①B班平均分高于A班；②B班的成绩集中在中上游，故支持B班成绩好；22．某种电子产品共4件，其中有正品和次品．已知从中任意取出一件，取得的产品为次品的概率为．（1）该批产品有正品3件；（2）如果从中任意取出2件，利用列表或树状图求取出2件都是正品的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）根据概率公式先求出次品的件数，再用总件数减去次品的件数，即可得出该批产品正品的件数；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取出2件都是正品的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）根据题意得：该批产品中有次品有：4×=1（件），则该批产品有正品有：4﹣1=3（件）．故答案为：3；（2）根据题意画树状图如下：∵结果共有12种情况，且各种情况都是等可能的，其中两次取出的都是正品共6种，∴P（两次取出的都是正品）==．23．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（﹣1，3）、（﹣4，1）、（﹣2，1），先将△ABC沿一确定方向平移得到△A1B1C1，点B的对应点B1的坐标是（1，2），再将△A1B1C1绕原点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2，点A1的对应点为点A2．（1）画出△A1B1C1和△A2B2C2；（2）求出在这两次变换过程中，点A经过点A1到达A2的路径总长；（3）求线段B1C1旋转到B2C2所扫过的图形的面积．【考点】作图﹣旋转变换；扇形面积的计算；轨迹；作图﹣平移变换．【分析】（1）由B点坐标和B1的坐标得到△ABC向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到△A1B1C1，则根据点平移的规律写出A1和C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；利用网格特点和旋转的性质画出点A1的对应点为点A2，点B1的对应点为点B2，点C1的对应点为点C2，从而得到△A2B2C2；（2）先利用勾股定理计算平移的距离，再计算以OA1为半径，圆心角为90°的弧长，然后把它们相加即可得到这两次变换过程中，点A经过点A1到达A2的路径总长；（3）用扇形C1C2的面积﹣扇形B1B2的面积即可得．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1、△A2B2C2为所作；（2）OA1==4，点A经过点A1到达A2的路径总长=+=+2π；（3）∵OB1==，OC1==，∴线段B1C1旋转到B2C2所扫过的图形的面积为﹣=2π．24．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查发现：在一段时间内，当销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．若商场要获得10000元销售利润，该玩具销售单价应定为多少元？售出玩具多少件？【考点】一元二次方程的应用．【分析】设该玩具销售单价应定为x元，则售出玩具[600﹣10（x﹣40）]件，根据单件利润×销售数量=总利润即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设该玩具销售单价应定为x元，则售出玩具[600﹣10（x﹣40）]件，根据题意得：（x﹣30）[600﹣10（x﹣40）]=10000，整理得：x2﹣130x+4000=0，解得：x1=50，x2=80．当x=50时，600﹣10（x﹣40）=500；当x=80时，600﹣10（x﹣40）=200．答：该玩具销售单价应定为50元或80元，售出玩具为500件或200件．25．如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P．点C在OP上，且BC=PC．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若OA=3，AB=2，求BP的长．【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）连结OB．由等腰三角形的性质得到∠A=∠OBA，∠P=∠CBP，由于OP⊥AD，得到∠A+∠P=90°，于是得到∠OBA+∠CBP=90°，求得∠OBC=90°结论可得；（2）连结DB．由AD是⊙O的直径，得到∠ABD=90°，推出Rt△ABD∽Rt△AOP，得到比例式=，即可得到结果．【解答】（1）证明：连结OB．∵OA=OB，∴∠A=∠OBA，又∵BC=PC，∴∠P=∠CBP，∵OP⊥AD，∴∠A+∠P=90°，∴∠OBA+∠CBP=90°，∴∠OBC=180°﹣（∠OBA+∠CBP）=90°，∵点B在⊙O上，∴直线BC是⊙O的切线，（2）解：如图，连结DB．∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD=90°，∴Rt△ABD∽Rt△AOP，∴=，即=，AP=9，∴BP=AP﹣BA=9﹣2=7．26．若二次函数y=a1x2+b1x+c1的图象记为C1，其顶点为A，二次函数y=a2x2+b2x+c2的图象记为C2，其顶点为B，且满足点A在C2上，点B在C1上，则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”．（1）写出二次函数y=x2的一个“伴侣二次函数”；（2）设二次函数y=x2﹣2x+3与y轴的交点为P，求以点P为顶点的二次函数y=x2﹣2x+3的“伴侣二次函数”；（3）若二次函数y=2x2﹣1与其“伴侣二次函数”的顶点不重合，试求该“伴侣二次函数”的二次项系数．【考点】二次函数的性质．【分析】（1）根据解析式求得顶点坐标和经过的任意点的坐标，根据“伴侣二次函数”定义，设关系式为y=a（x﹣2）2+4，代入顶点坐标，即可求得系数a，可得答案；（2）令x=0，则y=x2﹣2x+3=3，得到与y轴的交点坐标，然后求得顶点坐标，然后根据“伴侣二次函数”的定义，可求解；（3）根据“伴侣二次函数”的顶点在对方的图象上，列出关系式，进而得出ax2=﹣2h2，可得a=﹣2．【解答】解：（1）∵y=x2，∴顶点坐标为（0，0）且经过点（2，4）．设以（2，4）为顶点且经过（0，0）的抛物线的函数关系式为y=a（x﹣2）2+4，将x=0，y=0代入y=a（x﹣2）2+4，解得a=﹣1．∴二次函数y=x2的一个“伴侣二次函数”为y=﹣（x﹣2）2+4；（2）令x=0，则y=x2﹣2x+3=3，所以二次函数y=x2﹣2x+3与y轴的交点P坐标为（0，3）；∵y=x2﹣2x+3=（x﹣1）2+2，∴顶点坐标为（1，2）．设以（0，3）为顶点且经过（1，2）的抛物线的函数关系式为y=ax2+3，将x=1，y=2代入y=ax2+3，解得a=﹣1．∴以点P为顶点的二次函数y=x2﹣2x+3的“伴侣二次函数”为y=﹣x2+3；（3）y=2x2﹣1，其顶点为（0，﹣1），y=a2（x+h）2+k，其顶点为（﹣h，k），∵二次函数y1=a1x2+b1x+c1与其伴侣二次函数y2=a2x2+b2x+c2的顶点不重合，∴h≠0时k≠﹣1，根据“伴侣二次函数”定义可得﹣1=ah2+k，k=2h2﹣1，∴ax2=﹣2h2∴a=﹣2，∴该“伴侣二次函数”的二次项系数为﹣2．27．如图，⊙A的圆心A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，且与x轴、y轴相切于点B、C，一次函数y=x+b的图象经过点C，且与x轴交于点D，与⊙A的另一个交点为点E．（1）求b的值及点D的坐标；（2）求CE长及∠CBE的大小；（3）若将⊙A沿y轴上下平移，使其与y轴及直线y=x+b均相切，求平移的方向及平移的距离．【考点】圆的综合题．【分析】（1）如图1中，连接AC、AB．首先证明四边形ABOC是正方形，求出点C坐标，利用待定系数法即可解决问题．（2）如图2中，连接BC、BE，作AM⊥CE于M．在Rt△DOC中，由tan∠CDO==，推出∠CDO=30°，由AC∥BD，推出∠ECA=∠CDO=30°，∠CAM=60°，由AM⊥CE，推出∠CAM=∠EAM=60°，推出∠CAE=120°，在Rt△AMC中，根据CM=AC•cos30°=，推出CE=2CM=3，可得∠CBE=∠CAE=60°，由此即可解决问题．（3）分两种情形求解如图3中，当⊙A″与直线y=x+相切于点E，AB与直线CD交于点K，想办法求出AA″，即可解决问题．同法求出AA′．【解答】解：（1）如图1中，连接AC、AB．∵⊙A与x轴、y轴相切于点B、C，∴AC⊥OC，AB⊥OB