浙教版八年级数学上册第2章《特殊三角形》单元集训卷（原卷+解析卷）

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浙教版八年级数学上册第2章《特殊三角形》单元集训卷

一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）

1．（2023秋·浙江宁波·八年级校考期末）下面是科学防控新冠知识的图片，其中的图案是轴对称图形的是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．

【详解】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；

故选：A．

【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

2．（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，已知，补充下列哪一个条件，仍不能判定和全等的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【分析】根据全等三角形的判定，逐项判断即可求解．

【详解】解：，

，

，

添加，

，

故选项不符合题意；

添加，

，

故选项不符合题意；

添加，

，

故选项不符合题意；

添加，不能判定，

故选项符合题意，

故选：．

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．

3．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州市青春中学校考期中）已知等腰三角形的两边长为x，y，且满足，则三角形的周长为（）

A．B．C．D．或

【答案】C

【分析】先根据非负数的性质求出x、y的值，再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．

【详解】∵，

∴，，

解得：，，

4是腰长时，三角形得三边分别为4、4、8，

∵，

∴不能组成三角形；

4是底边时，三角形得三边分别为4、8、8，

可以组成三角形，

周长，

所以三角形得周长为20．

故答案选：D

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，绝对值的非负性和平方非负性的性质，根据几个非负数的和等于零，则每一个算式都等于零求出x、y的值是解此类题的关键．

4．（2023秋·浙江·八年级期末）如图所示，是等边三角形，且，，则的度数为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【分析】易证，可得，根据可以求得的度数，即可解题．

【详解】解：在和中，

，

，

，

，

．

故选：．

【点睛】本题考查了全等三角形的证明，全等三角形对应角相等的性质，等边三角形内角为的性质，本题中求证是解题的关键．

5．（2022秋·浙江绍兴·八年级统考期末）在中，的度数之比为，边上的中线长是2，则的面积是（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【分析】过点作，利用三角形内角和以及三个角的比求出各角的度数，再利用直角三角形中线定理求出的长，再根据含角的直角三角形的性质求出，最后利用面积公式求解即可．

【详解】解：如图所示：

过点作

∵

是边上的中线，

故选B．

【点睛】本题主要考查三角形内角和，直角三角形中线定理以及含角的直角三角形的性质，运用内角和求各角的度数以及中线性质求解面积是解决本题的关键．

6．（2023春·浙江台州·八年级统考期末）如图，分别以直角三角形的三边为边画三个正方形，较长两个正方形的面积分别为144和169，则最小正方形A的面积是（）

A．5B．12C．13D．25

【答案】D

【分析】根据勾股定理和正方形的面积求解即可．

【详解】解：根据图形，直角三角形的边长的平方刚好为对应正方形的面积，

∴直角三角形的斜边平方为169，一条直角边的平方为144，

∴另一条直角边的平方为，

∴最正形A的积是25，

故选：D．

【点睛】此题考查了勾股定理，关键是借助勾股定理将正方形的面积联系起来.

7．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在中，，，的平分线交于点D，点E，F分别是上的动点，则的最小值为（）

A．4B．C．5D．6

【答案】B

【分析】过点A作于H，在上截取，证明，则，可得，由得到的最小值是的长，由勾股定理得到，根据等积法求出的长即可．

【详解】解：过A作于H，在上截取，

∵的平分线交于点D，

∴，

在和中，

，

∴，

∴

∴，

∵，

∴的最小值是的长．

∵，

∴，

∴，

∴，

∴．

∴的最小值为．

故选：B．

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及角平分线的定义，正确作出辅助线是解题关键．

8．（2022秋·浙江金华·八年级义乌市绣湖中学教育集团校考期中）如图，在等边中，已知，，将沿折叠，点与点对应，且，则等边的边长为（）

A．B．4C．D．

【答案】A

【分析】设于G,交于H，由等边三角形的性质可得，根据折叠的性质可得，根据垂直的定义得到，根据勾股定理得到，设,根据等边三角形的性质列方程求解即可．

【详解】解：设于G,交于H，

∵是等边三角形，

∴，

∵将沿折叠，点与点对应，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴

∴，

设,

∴，

∴

∴，

∴．

故选：A．

【点睛】本题主要考查了翻折变换（折叠问题）、等边三角形的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．

9．（2023春·浙江温州·八年级校联考期中）图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成，其中．若，则的值为（）

A．B．2C．D．1

【答案】A

【分析】根据勾股定理得到，，找到的规律，列方程即可得到结论．

【详解】解：∵，，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

故选：A．

【点睛】本题考查了勾股定理，图形类找规律，本题中找到的规律是解题的关键．

10．（2023秋·浙江温州·八年级统考期末）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在弦图中（如图2），连接，并延长交于点K，连接．若，则的长为（）

A．B．2C．D．

【答案】C

【分析】过点K作，与的延长线交于点M，由图形关系求得，再求得，，求得与，进而由勾股定理求得结果．

【详解】解：过点K作，与的延长线交于点M，

∵，，

∴，

∵是正方形，

∴，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，，，

∵，

∴，

又∵，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∴中，．

故选：C．

【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的性质，关键是构造直角三角形．

二、填空题（本题有7个小题，每小题3分，共21分）

11．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）在一个直角三角形中，如果一个锐角为，则另一个锐角为度．

【答案】40

【分析】根据直角三角形两锐角互余进行求解即可．

【详解】解：在一个直角三角形中，如果一个锐角为，则另一个锐角为，

故答案为：40．

【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，熟知直角三角形两锐角互余是解题的关键．

12．（2023秋·浙江杭州·八年级期末）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接，若，，则的大小为度．

【答案】80

【分析】根据三角形的内角和得出∠B=180°-∠BAC-∠C=20°，由作图可得：再根据等腰三角形两底角相等得出∠BAD=∠ADB=（180°-∠B）÷2=80°．

【详解】解：∵∠BAC=120°，∠C=40°，

∴∠B=180°-∠BAC-∠C=20°，

由作图可得：AB=BD，

∴∠BAD=∠ADB=（180°-∠B）÷2=80°，

故答案为：80．

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等边对等角是解题的关键．

13．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在中，，，，垂足为E，，则的面积．

【答案】

【分析】先证明，作交的延长线于点F，由角平分线的性质得到，即可得到的面积．

【详解】解：∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

作交的延长线于点F，

∵，

∴，

∴．

故答案为：

【点睛】此题主要考查了角平分线的性质定理、平行线的性质、等边对等角等知识，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．

14．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，折叠长方形的一边使点落在边的点处，已知，，则的长为．

【答案】3

【分析】由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求的长，的长．

【详解】解：设的长为则

折叠后的图形是，

，，．

，

，

又

在中，根据勾股定理，得，

，

，

，

在中，根据勾股定理，得：，

，

即，

化简，得．

．

即的长为

故答案为：3．

【点睛】本题考查了勾股定理与折叠问题，掌握勾股定理是解题的关键．

15．（2022秋·浙江丽水·八年级校考期中）如图，图1是一个儿童滑梯，，，是滑梯的三根加固支架（如图二），且和都垂直地面，是滑道的中点，小周测得米，米，米，通过计算，他知道了滑道长为米.

【答案】

【分析】连接，过作于，由直角三角形斜边上的中线性质得，再由等腰三角形的性质得米，然后由勾股定理得米，即可解决问题．

【详解】解：如图，连接，过作于，

米，米，

（米），

，

，

是滑道的中点，

，

，

（米），

（米），

在中，由勾股定理得：（米），

在中，由勾股定理得：（米），

故答案为：．

【点睛】本题考查了勾股定理的应用、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握所学知识，属于中考常考题型．

16．（2023秋·浙江湖州·八年级校考期中）如图，有一个，，，，一条线段，、两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，问点运动到离的距离等于时，和全等.

【答案】5或10/10或5

【分析】当或时，和全等，根据定理推出即可．

【详解】解：∵，

∴，

①当时，

在和中，

∵，

∴，

②当时，

在和中

，

∴，

故答案为：5或10．

【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的方法有．

17．（2022秋·浙江金华·八年级义乌市绣湖中学教育集团校考期中）如图，在等腰梯形中，，，，等腰直角三角形中，含角的顶点放在边上移动，直角边始终经过点，斜边与交于点，若为等腰三角形，则的长为．

【答案】4或或2．

【分析】分三种情况讨论：①当时，过点D作于点G，根据等腰梯形的性质，易证四边形是矩形，进而证明，得到，，由勾股定理求得，然后证明是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求出的长；②当时，利用等腰梯形的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，求得，进而得到，再利用，即可求出得长；③当时，利用等腰梯形的性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，求得，进而利用勾股定理，得出，再利用三角形内角和定理，易证是等腰直角三角形，得到，最后由勾股定理即可求出的长．

【详解】解：①如图1，当时，过点D作于点G，

等腰梯形中，，

，，

，

，

，

，

四边形是矩形，

，，

，

，

在和中，

，

，

，

，

，

，

在中，，

，，

，

，

，

是等腰直角三角形，

，

在中，，

；

②如图2，当时，

，

等腰梯形中，，

，

，

，

，

，

，

，

，，

；

③如图3，当时，

等腰梯形中，，

，

，

，

，

在中，，

，

，

，

是等腰直角三角形，

，

在中，；

综上所述，CF的长为3或5﹣4或2．

故答案为：4或或2．

【点睛】本题考查了等腰梯形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．

三、解答题（请写出必要的解题过程，本题共6个小题，共49分）

18．（本题6分）（2022秋·浙江杭州·八年级期末）在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，CD＝12，AD＝13．

（1）求AC的长；

（2）求四边形ABCD的面积．

【答案】（1）5；（2）36

【分析】（1）由勾股定理可得：，从而可得答案；

（2）先证明是直角三角形，再利用四边形的面积等于两个直角三角形的面积和，从而可得答案．

【详解】解：（1）∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，

∴；

（2）由（1）知，AC＝5，

∵CD＝12，AD＝13，

∴AC2+CD2＝AD2，

∴是直角三角形，∠ACD＝90°，

∵AB＝4，BC＝3，∠B＝90°，AC＝5，CD＝12，∠ACD＝90°，

∴四边形ABCD的面积是，

即四边形ABCD的面积是36．

【点睛】本题考查的是勾股定理及勾股定理逆定理的应用，算术平方根的含义，掌握以上知识是解题的关键．

19．（本题8分）（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上．

(1)请在图中作出关于直线成轴对称的．

(2)在线段上找一点（点在格点上），使得为等腰三角形．

【答案】(1)见解析；

(2)见解析．

【分析】（1）分别找到关于直线的对称点，然后顺次连接对称点即可；

（2）与关于直线成轴对称，且，故的中点即为所求．

【详解】（1）解：如图，

（2）解：如图，

【点睛】本题考查了网格作轴对称图形、网格作等腰三角形；解题的关键是按要求找到对应点．

20．（本题8分）（2023秋·浙江金华·八年级统考期末）在中，是边上的高线，是边上的中线，是的中点，．

(1)求证：．

(2)若，，求的长．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据三角形高线和中线的定义可知是等腰三角形，最后利用等腰三角形的三线合一性质解答即可；

（2）根据三角形高线和中线的定义可知是等腰三角形，再利用等腰三角形的三线合一性，最后利用勾股定理即可解答．

【详解】（1）解：连接，

∵是的高线，

∴，

∵是的中线，

∴在中，，

∵，

∴，

∴是等腰三角形，

∵点是的中点，

∴；

（2）解：连接，作，垂足为，

∵是的高线，

∴，

∵是的中线，

∴在中，，

∵，

∴，

∴是等腰三角形，

∴，

∵，，

∴在中，，，

∴，

∴在中，，

∴，

∴在中，．

【点睛】本题考查了三角形中线的定义，高线的定义，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．

21．（本题8分）（2022秋·浙江丽水·八年级校考期中）如图，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，，连接．

(1)求的度数；

(2)求线段，，之间的数量关系，并说明理由．

【答案】(1)

(2)，见解析

【分析】（1）首先证明，由全等三角形的性质可知，由可求得的度数；

（2）由等腰三角形三线合一的性质可知，即，最后依据可得到、、之间的数量关系．

【详解】（1）解：和均是等腰直角三角形，

，，，

，

，

在和中，

，

，

，

是等腰直角三角形，

，

，

，

；

（2）解：，理由如下：

同（1）的方法得，，

，

在等腰中，，M为DE中点，

，

．

【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质．证明出是解答本题的关键．

22．（本题9分）（2022秋·浙江金华·八年级校考期中）如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且．

(1)求证：

(2)求证：

(3)若，，求的周长．

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3)

【分析】（1）根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出，求出和，再根据外角性质即可得出答案；

（2）根据三线合一，可得；

（3）根据勾股定理求出，由已知能推出，即可得出答案．

【详解】（1），，垂直平分，

，

，，

．

（2），

；

（3）在直角三角形中，

，

，

，，垂直平分，

，，

，

的周长．

【点睛】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．

23．（本题10分）（2022秋·浙江温州·八年级校联考期中）在等腰中，，是边上的高线，，．

(1)求的长．

(2)若点是射线上的一动点，作于点，连接，

①当点在线段上是，若是以为腰的等腰三角形，请求出所有符合条件的的长度；

②设交直线于点，连接，若，则长为______（直接写出结果）．

【答案】(1)，

(2)①或者；②或

【分析】（1）由勾股定理即可计算出的长，从而计算出的长；

（2）①分两种情况：当时；当时，分别进行求解即可；②分两种情况：当在线段上；当在射线上，进行计算即可求解．

【详解】（1）解：，，

，

；

（2）解：①分两种情况：

Ⅰ．当时，则，

，

，，

，

，

Ⅱ．当时，

，

在和中，

，

，

，

，

综上，或者；

②17或41，

分两种情况：

Ⅰ．当在线段上，连接，

，

，，

，得，

，

，

，

，

，

，

，

是等腰三角形，

，，

；

Ⅱ．当在射线上，连接，

，

同理可得，

，

，

综上，的长为或．

【点睛】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，采用分类讨论的解题思想，是解题的关键．中小学教育资源及组卷应用平台

浙教版八年级数学上册第2章《特殊三角形》单元集训卷

一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）

1．（2023秋·浙江宁波·八年级校考期末）下面是科学防控新冠知识的图片，其中的图案是轴对称图形的是（）

A．B．C．D．

2．（2022秋·浙江温州·八年级校考期中）如图，已知，补充下列哪一个条件，仍不能判定和全等的是（）

A．B．C．D．

3．（2022秋·浙江杭州·八年级杭州市青春中学校考期中）已知等腰三角形的两边长为x，y，且满足，则三角形的周长为（）

A．B．C．D．或

4．（2023秋·浙江·八年级期末）如图所示，是等边三角形，且，，则的度数为（）

A．B．C．D．

5．（2022秋·浙江绍兴·八年级统考期末）在中，的度数之比为，边上的中线长是2，则的面积是（）

A．1B．2C．3D．4

6．（2023春·浙江台州·八年级统考期末）如图，分别以直角三角形的三边为边画三个正方形，较长两个正方形的面积分别为144和169，则最小正方形A的面积是（）

A．5B．12C．13D．25

7．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在中，，，的平分线交于点D，点E，F分别是上的动点，则的最小值为（）

A．4B．C．5D．6

8．（2022秋·浙江金华·八年级义乌市绣湖中学教育集团校考期中）如图，在等边中，已知，，将沿折叠，点与点对应，且，则等边的边长为（）

A．B．4C．D．

9．（2023春·浙江温州·八年级校联考期中）图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽，主体图案是由如图2的一连串直角三角形演化而成，其中．若，则的值为（）

A．B．2C．D．1

10．（2023秋·浙江温州·八年级统考期末）如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在弦图中（如图2），连接，并延长交于点K，连接．若，则的长为（）

A．B．2C．D．

二、填空题（本题有7个小题，每小题3分，共21分）

11．（2022秋·浙江杭州·八年级校考期中）在一个直角三角形中，如果一个锐角为，则另一个锐角为度．

12．（2023秋·浙江杭州·八年级期末）如图，以的顶点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连接，若，，则的大小为度．

13．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，在中，，，，垂足为E，，则的面积．

14．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）如图，折叠长方形的一边使点落在边的点处，已知，，则的长为．

15．（