上海崇明县建设中学2022年高三数学文测试题含解析

上海崇明县建设中学2022年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知y=f（x）是奇函数，且满足f（x+2）+3f（﹣x）=0，当x∈[0，2]时，f（x）=x2﹣2x，则当x∈[﹣4，﹣2]时，f（x）的最小值为(

)A．﹣1 B．﹣ C．﹣ D．参考答案：C【考点】二次函数在闭区间上的最值．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】设x∈[﹣4，﹣2]，则x+4∈[0，2]，再根据题意可得f（x）=f（x+4）=，由此求得它的最小值．【解答】解：设x∈[﹣4，﹣2]，则x+4∈[0，2]．∵y=f（x）是奇函数，则由f（x+2）+3f（﹣x）=0，可得f（x+2）=﹣3f（﹣x）=3f（x），∴f（x+4）=3f（x+2），故有f（x）=f（x+2）=．故f（x）=f（x+4）=[（x+4）2﹣2（x+4）]=[x2﹣6x+8]=，故当x=3时，函数f（x）取得最小值为﹣，故选：C．【点评】本题主要考查求函数的解析式，二次函数在闭区间上的最值，得到f（x）=f（x+4），是解题的关键，属于中档题．2.已知，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是(

▲

)A．若，，则 B．若，，则C．若，，则 D．若，，则参考答案：C3.已知lga+lgb=0，函数f（x）=ax与函数g（x）=﹣logbx的图象可能是(

)A． B． C． D．参考答案：B【考点】对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质．【专题】数形结合．【分析】先求出a、b的关系，将函数g（x）进行化简，得到函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减，再进行判定．解：∵lga+lgb=0∴ab=1则b=从而g（x）=﹣logbx=logax，f（x）=ax与∴函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减结合选项可知选B，故答案为B【点评】本题主要考查了对数函数的图象，以及指数函数的图象和对数运算等有关知识，属于基础题．4.已知复数，则对应的点在

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限参考答案：B5.如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆。在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是A.

B..

C.

D.10.参考答案：C如图，不妨设扇形的半径为2a,如图,记两块白色区域的面积分别为S1,S2,两块阴影部分的面积分别为S3,S4，

则S1+S2+S3+S4=S扇形OAB=①,而S1+S3与S2+S3的和恰好为一个半径为a的圆，即S1+S3+S2+S3②.①-②得S3=S4,由图可知S3=,所以..由几何概型概率公式可得，此点取自阴影部分的概率P=.【点评】本题考查古典概型的应用以及观察推理的能力.本题难在如何求解阴影部分的面积，即如何巧妙地将不规则图形的面积化为规则图形的面积来求解.来年需注意几何概型在实际生活中的应用.6.下列说法正确的是（）A．任何事件的概率总是在（0，1）之间B．频率是客观存在的，与试验次数无关C．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率D．概率是随机的，在试验前不能确定参考答案：C【考点】概率的意义．【分析】利用频率与概率的意义及其关系即可得出．【解答】解：由于必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故A不正确．频率的数值是通过实验完成的，频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，故B、D不正确．频率是不能脱离n次试验的实验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值，随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率，故C正确．故选：C．7.设为抛物线的焦点，为该抛物线上三点，若，则的值为

（

）

A．

B．

C．

D．12参考答案：B略8.等差数列{an}的通项为an=2n﹣1，其前n项和为Sn，若Sm是am，am+1的等差中项，则m的值为（）A．1 B．2 C．4 D．8参考答案：B【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列知Sm=?m=m2，am=2m﹣1，am+1=2m+1；从而求得．【解答】解：∵等差数列{an}的通项为an=2n﹣1，∴Sm=?m=m2，am=2m﹣1，am+1=2m+1；∴2m﹣1+2m+1=2m2，解得，m=2；故选：B．9.已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略10.已知集合，则等于

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在平面直角坐标系中，设点，定义，其中为坐标原点．对于以下结论：①符合的点的轨迹围成的图形的面积为2；②设为直线上任意一点，则的最小值为；③设为直线上的任意一点，则“使最小的点有无数个”的必要不充分条件是“”；其中正确的结论有________(填上你认为正确的所有结论的序号)参考答案：①③12.已知O为坐标原点，过双曲线上的点P（1，0）作两条渐近线的平行线，交两渐近线分别于A，B两点，若平行四边形OBPA的面积为1，则双曲线的离心率为．参考答案：【考点】双曲线的简单性质．【分析】作出对应的图象，求出交点坐标，结合平行四边形的面积建立方程关系求出a的值进行求解即可．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±ax，（不妨设a＞0），设与y=﹣ax平行且过P的直线方程为y=﹣a（x﹣1）=﹣ax+a，由，得，即A（，a），则平行四边形OBPA的面积S=2S△OBP=2××1×a=a=1，得a=2，即双曲线的方程为x2﹣=1，则双曲线的a1=1，b1=2，则c==，即双曲线的离心率e===，故答案为：13.设和是抛物线上的两个动点，在和处的抛物线切线相互垂直，已知由及抛物线的顶点所成的三角形重心的轨迹也是一抛物线，记为．对重复以上过程，又得一抛物线，以此类推．设如此得到抛物线的序列为，若抛物线的方程为，经专家计算得， 则

.参考答案：-114.已知方程ln|x|﹣ax2+=0有4个不同的实数根，則实数a的取值范围是．参考答案：【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据函数与方程的关系，利用参数分离式进行转化，构造函数，求出函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由ln|x|﹣ax2+=0，得ax2=ln|x|+，∵x≠0，∴方程等价为a=，设f（x）=，则函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=，则f′（x）==，由f′（x）＞0得﹣2x（1+lnx）＞0，得1+lnx＜0，即lnx＜﹣1，得0＜x＜，此时函数单调递增，由f′（x）＜0得﹣2x（1+lnx）＜0，得1+lnx＞0，即lnx＞﹣1，得x＞，此时函数单调递减，即当x＞0时，x=时，函数f（x）取得极大值f（）==（﹣1+）e2=e2，作出函数f（x）的图象如图：要使a=，有4个不同的交点，则满足0＜a＜，故答案为：．15.已知实数满足不等式组，那么函数的最大值是

．参考答案：416.设，则二项式的展开式中，项的系数为

参考答案：60略17.若tanα=，则tan（α+）=．参考答案：3【考点】两角和与差的正切函数．【专题】计算题．【分析】根据tanα的值和两角和与差的正切公式可直接得到答案．【解答】解：∵tanα=∴tan（α+）===3故答案为：3．【点评】本题主要考查两角和与差的正切公式．属基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数在点处的切线斜率为．（1）求实数的值；（2）设，若对恒成立，求的取值范围；（3）已知数列满足，，求证：当时（为自然对数的底数，)．参考答案：（1）；（2）；（3）证明略.试题分析：（1）利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程，注意这个点的切点，利用导数的几何意义求切线的斜率；（2）对于恒成立的问题，常用到两个结论：（1）恒成立，（2）恒成立；（3）利用导数方法证明不等式在区间上恒成立的基本方法是构造函数，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数，其中一个重要的技巧就是找到函数在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口，观察式子的特点，找到特点证明不等式；（4）定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”步骤解决“无限”问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”.试题解析：（1），…1分由，得．…………3分（2）．（3）∵，∴，又，∴时，，对也成立，∴．……………10分∵当时，，∴在上单调递增，且．又∵表示长为，宽为的小矩形的面积，∴，∴．……12分又由（2），取，得，∴，∴，∴．…………14分考点：1、导数的几何意义；2、恒成立的问题；3、证明不等式.19.如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆的右顶点和上顶点分别为点A，B，M是线段AB的中点，且．．（1）求椭圆的离心率；（2）若a=2，四边形ABCD内接于椭圆，AB∥CD，记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：k1?k2为定值．参考答案：【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）A（a，0），B（0，b），线段AB的中点M．利用与离心率的计算公式即可得出．（2）由a=2，可得b=1，可得椭圆的标准方程为：+y2=1，A（2，0），B（0，1）．直线BC的方程为：y=k2x+1，直线AD的方程为：y=k1（x﹣2），分别于同一方程联立解得C，D，坐标，利用kCD==﹣，即可得出．【解答】（1）解：A（a，0），B（0，b），线段AB的中点M．=（﹣a，b），=．∵．∴+=﹣b2，化为：a=2b．∴椭圆的离心率e===．（2）证明：由a=2，可得b=1，∴椭圆的标准方程为：+y2=1，A（2，0），B（0，1）．直线BC的方程为：y=k2x+1，联立，化为：（1+）x2+8k2x=0，解得xC=，∴yC=．即C（，）．直线AD的方程为：y=k1（x﹣2），联立，化为：x2﹣16x+﹣4=0，∴2xD=，解得xD=，yD=，可得D（，）∴kCD==﹣，化为：1﹣16+2k1﹣2k2+8﹣8=0．∴（4k1k2+4k1﹣4k2+1）=0，∴k1k2=．【点评】本题考查了椭圆的标准方程与性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.（2014?濮阳二模）已知函数f（x）=|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6；（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：．参考答案：【考点】不等式的证明；绝对值不等式；绝对值不等式的解法．【专题】不等式．【分析】（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法解不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6即可；（Ⅱ）利用分析法进行证明不等式．【解答】解：（I）∵f（x）=|x﹣1|．∴不等式f（x﹣1）+f（x+3）≥6等价|x﹣2|+|x+2|≥6，若当x≥2时，不等式等价为x﹣2+x+2≥6，即2x≥6，解得x≥3．当﹣2＜x＜2时，不等式等价为2﹣x+x+2≥6，即4≥6，此时不成立．当x≤﹣2时，不等式等价为2﹣x﹣x﹣2≥6，即2x≤﹣6，即x≤﹣3．综上不等式的解集为（﹣∞，﹣3]∪[3，+∞）．（II）要证，只需证|ab﹣1|＞|b﹣a|，只需证（ab﹣1）2＞（b﹣a）2而（ab﹣1）2﹣（b﹣a）2=a2b2﹣a2﹣b2+1=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，∵|a|＜1，|b|＜1，∴a2＜1，b2＜1，即a2﹣1＜0，b2﹣1＜0，即（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，成立，从而原不等式成立．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，要注意进行分段讨论．21.（12分）（2015?青岛一模）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱AA1⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，BC=1，AB=，AD=AA1=3，E1为A1B1中点．（Ⅰ）证明：B1D∥平面AD1E1；（Ⅱ）证明：平面ACD1⊥平面BDD1B1．参考答案：【考点】：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【专题】：空间位置关系与距离．【分析】：（Ⅰ）连结A1D交AD1于G，证明B1D∥E1G，利用直线与平面平行的判定定理证明B1D∥平面AD1E1．（Ⅱ）设AC∩BD=H，通过△BHC～△DHA，结合BC=1，AD=3，求出，，证明AC⊥BD，然后证明BB1⊥AC，得到AC⊥平面BDD1B1，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ACD1⊥平面BDD1B1．（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）连结A1D交AD1于G，因为ABCD﹣A1B1C1D1为四棱柱，所以四边形ADD1A1为平行四边形，所以G为A1D的中点，又E1为A1B1中点，所以E1G为△A1B1D的中位线，所以B1D∥E1G…（4分）又因为B1D平面AD1E1，E1G平面AD1E1，所以B1D∥平面AD1E1．

…（6分）（Ⅱ）设AC∩BD=H，因为AD∥BC，所以△BHC～△DHA又BC=1，AD=3，所以，∵AD∥BC，∠BAD=90°，所以∠ABC=90°∴，从而，，所以CH2+BH2=BC2，CH⊥BH，即AC⊥BD…（9分）因为ABCD﹣A1B1C1D1为四棱柱，AA1⊥底面ABCD所以侧棱BB1⊥底面ABCD，又AC底面ABCD，所以BB1⊥AC…（10分）因为BB1∩BD=B，所以AC⊥平面BDD1B1…（11分）因为AC平面ACD1，所以平面ACD1⊥平面BDD1B1．…（12分）【点评】：本题考查直线与平面平行，平面与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理