【解析】2023-2024学年初中数学八年级上册 24.1 一元二次方程 同步分层训练基础卷(冀教版)

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一、选择题

1．（2023九上·南宁期末）一元二次方程的二次项系数是（）

A．B．C．D．

2．（2023九上·南宁期末）已知一元二次方程的一个根是1，则b的值是（）

A．B．C．D．

3．（2023九上·赵县期末）方程x2=4的解是（）

A．x=2B．x=-2C．x1=1，x2=4D．x1=2，x2=-2

4．（2023九上·内江期末）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）

A．B．C．D．

5．（2023九上·陈仓期末）我国快递业务逐年增加，2023年至2023年我国快递业务收入由7500亿元增加到9000亿元.设我国2023年至2023年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（）

A．

B．

C．

D．

6．（2022九上·聊城期末）下列方程中：①；②；③；④；⑤；⑥．一元二次方程共有（）个．

A．1B．2C．3D．4

7．（2022九上·河东期末）将方程5x2+1＝4x化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（）

A．5，4，1B．5，4，﹣1C．5，﹣4，1D．5，﹣4，﹣1

8．（2022九上·杨村月考）若关于x的一元二次方程的两个根为3，-6，则二次三项式可分解为（）

A．B．

C．D．

二、填空题

9．（2023九上·礼泉期末）已知关于x的方程x2+3x-m=0的一个根为-2，则m的值是.

10．（2023九上·新邵期末）若m是方程的一个根，则代数式的值等于.

11．（2023九上·灌南期末）若非零实数a、b、c满足4a﹣2b+c=0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0一定有一个根为．

12．（2023九上·阆中期中）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长为.

13．（2023九上·广安期末）已知方程有一个根是m，则代数式的值为.

三、解答题

14．（2022九上·惠阳月考）把方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．

15．（2022九上·海淀期中）已知是方程的一个根，求代数式的值．

四、综合题

16．（2023九上·赵县期末）规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，

（1）解方程x2+2x-8=0，

（2）方程x2+2×-8=0(填“是”或“不是”)“倍根方程”，请你写出一个“倍根方程”

17．（2023九上·南昌期末）已知关于的一元二次方程．其中分别为三边的长．

（1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由．

答案解析部分

1．【答案】A

【知识点】一元二次方程的定义及相关的量

【解析】【解答】解：∵一元二次方程中的二次项为：，

∴一元二次方程的二次项系数是.

故答案为：.

【分析】一元二次方程一般形式（a≠0），其中a为二次项系数，据此解答即可.

2．【答案】C

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：∵一元二次方程的一个根是，

∴，

∴，

故答案为：C

【分析】将x=1代入方程中即可求出b值.

3．【答案】D

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【解答】x2=4

x1=2，x2=-2

故答案为：D

【分析】正数的平方根有两个

4．【答案】D

【知识点】一元二次方程的定义及相关的量

【解析】【解答】由题知，是一元一次方程，是分式方程，是二元二次方程，是一元二次方程；

故答案为：D.

【分析】只含有一个未知数，未知数项的最高次数是2次，且二次项的系数不为0的整式方程，就是一元二次方程，据此一一判断即可得出答案.

5．【答案】C

【知识点】列一元二次方程

【解析】【解答】解：设平均增长率为x，

根据题意得：，

故答案为：C.

【分析】设平均增长率为x，则2023年我国快递业务收入为7500(1+x)亿元，2023年我国快递业务收入为7500(1+x)2亿元，然后结合到2023年增加到9000亿元就可列出方程.

6．【答案】C

【知识点】一元二次方程的定义及相关的量

【解析】【解答】解：①满足概念，是一元二次方程；

②满足概念，是一元二次方程；

③含有分式，不满足概念，不是一元二次方程；

④满足概念，是一元二次方程；

⑤含有两个变量，不满足概念，不是一元二次方程；

⑥，化简后为，不含二次项，不满足概念，不是一元二次方程；

一元二次方程有①②④，

故答案为：C．

【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可。

7．【答案】C

【知识点】一元二次方程的定义及相关的量

【解析】【解答】解：5x2+1=4x可化为5x2-4x+1=0，

它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为5，-4，1．

故答案为：C．

【分析】先将方程化为一般式，再求出a、b、c的值即可。

8．【答案】B

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程的两个根为3，-6，

∴，

即二次三项式可分解为．

故答案为：B．

【分析】利用一元二次方程的根直接列出代数式即可。

9．【答案】-2

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2+3x-m=0的一个根为-2，

∴4-6-m=0

解之：m=-2.

故答案为：-2

【分析】将x=-2代入方程，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.

10．【答案】2023

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：∵m是方程的一个根，

∴，

∴，

∴.

故答案为：2023.

【分析】根据方程根的概念得m2+m=2023，进而将待求式子去括号后整体代入可得答案.

11．【答案】-2

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【解答】∵4a﹣2b+c=0，

∴当x=-2时，ax2+bx+c=0，

∴一元二次方程ax2+bx+c=0一定有一个根为-2.

故答案为：-2.

【分析】根据4a﹣2b+c=0知ax2+bx+c=0一定有一个根为-2.

12．【答案】12

【知识点】一元二次方程的根；三角形三边关系

【解析】【解答】解：∵x2-12x+35=0，解得x=5或x=7

∵x=7时，3+4=7，∴x=7（舍去）

∴x=5

∴三角形的周长为3+4+5=12.

【分析】根据题意，解出方程的两个解，根据三角形的三边关系，得到符合题意的方程的解，计算周长即可。

13．【答案】2023

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：∵有一个根是m，

∴，即，

∴，

故答案为：.

【分析】根据方程解的概念可得m2-3m=-1，待求式可变形为4(m2-3m)+2022，然后代入计算即可.

14．【答案】解：去括号，得

移项、合并同类项，得

二次项系数化为1，得

所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为1，16，0．

【知识点】一元二次方程的定义及相关的量

【解析】【分析】先将方程化为一般式，再利用二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解即可。

15．【答案】解：∵是方程的一个根，

∴．

∴．

原式

．

【知识点】代数式求值；一元二次方程的根

【解析】【分析】先求出，再求解即可。

16．【答案】（1）解：方程x2+2x-8=0，可化为(x+4)(x-2)=0，解得x=-4或2

（2）解：不是；x2+9x+18=0．(答案不唯一)

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【解答】（1）原方程化为：（x+4）（x﹣2）＝0，

则x+4＝0或x﹣2＝0，

∴x1＝﹣4，x2＝2；

（2）解：∵x1＝﹣4，x2＝2，

∴两个根不满足其中一个根是另一个根的2倍，则该方程不是“倍根方程”，

“倍根方程”可以为x2+9x+18＝0，因为它的两个根是x1＝﹣3，x2＝﹣6，满足x2＝2x1．

故答案为：不是；x2+9x+18＝0（答案不唯一）．

【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；

（2）根据所给“倍根方程”的定义判断解答即可．

17．【答案】（1）解：△ABC为等腰三角形，理由如下：

把x=1代入方程得b-c-2a+c+b=0，

则a=b，

所以△ABC为等腰三角形

（2）解：△ABC为直角三角形，理由如下：

根据题意得Δ=（-2a）2-4（b-c）（b+c）=0，

整理得b2-c2=a2，即b2=a2+c2，

所以△ABC为直角三角形．

【知识点】一元二次方程的根；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理

【解析】【分析】（1）根据题意先求出a=b，再判断三角形即可；

（2）先求出Δ=0，再求出b2=a2+c2，最后作答即可。

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一、选择题

1．（2023九上·南宁期末）一元二次方程的二次项系数是（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】一元二次方程的定义及相关的量

【解析】【解答】解：∵一元二次方程中的二次项为：，

∴一元二次方程的二次项系数是.

故答案为：.

【分析】一元二次方程一般形式（a≠0），其中a为二次项系数，据此解答即可.

2．（2023九上·南宁期末）已知一元二次方程的一个根是1，则b的值是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：∵一元二次方程的一个根是，

∴，

∴，

故答案为：C

【分析】将x=1代入方程中即可求出b值.

3．（2023九上·赵县期末）方程x2=4的解是（）

A．x=2B．x=-2C．x1=1，x2=4D．x1=2，x2=-2

【答案】D

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【解答】x2=4

x1=2，x2=-2

故答案为：D

【分析】正数的平方根有两个

4．（2023九上·内江期末）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知识点】一元二次方程的定义及相关的量

【解析】【解答】由题知，是一元一次方程，是分式方程，是二元二次方程，是一元二次方程；

故答案为：D.

【分析】只含有一个未知数，未知数项的最高次数是2次，且二次项的系数不为0的整式方程，就是一元二次方程，据此一一判断即可得出答案.

5．（2023九上·陈仓期末）我国快递业务逐年增加，2023年至2023年我国快递业务收入由7500亿元增加到9000亿元.设我国2023年至2023年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【知识点】列一元二次方程

【解析】【解答】解：设平均增长率为x，

根据题意得：，

故答案为：C.

【分析】设平均增长率为x，则2023年我国快递业务收入为7500(1+x)亿元，2023年我国快递业务收入为7500(1+x)2亿元，然后结合到2023年增加到9000亿元就可列出方程.

6．（2022九上·聊城期末）下列方程中：①；②；③；④；⑤；⑥．一元二次方程共有（）个．

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【知识点】一元二次方程的定义及相关的量

【解析】【解答】解：①满足概念，是一元二次方程；

②满足概念，是一元二次方程；

③含有分式，不满足概念，不是一元二次方程；

④满足概念，是一元二次方程；

⑤含有两个变量，不满足概念，不是一元二次方程；

⑥，化简后为，不含二次项，不满足概念，不是一元二次方程；

一元二次方程有①②④，

故答案为：C．

【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可。

7．（2022九上·河东期末）将方程5x2+1＝4x化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（）

A．5，4，1B．5，4，﹣1C．5，﹣4，1D．5，﹣4，﹣1

【答案】C

【知识点】一元二次方程的定义及相关的量

【解析】【解答】解：5x2+1=4x可化为5x2-4x+1=0，

它的二次项系数，一次项系数和常数项分别为5，-4，1．

故答案为：C．

【分析】先将方程化为一般式，再求出a、b、c的值即可。

8．（2022九上·杨村月考）若关于x的一元二次方程的两个根为3，-6，则二次三项式可分解为（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程的两个根为3，-6，

∴，

即二次三项式可分解为．

故答案为：B．

【分析】利用一元二次方程的根直接列出代数式即可。

二、填空题

9．（2023九上·礼泉期末）已知关于x的方程x2+3x-m=0的一个根为-2，则m的值是.

【答案】-2

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2+3x-m=0的一个根为-2，

∴4-6-m=0

解之：m=-2.

故答案为：-2

【分析】将x=-2代入方程，可得到关于m的方程，解方程求出m的值.

10．（2023九上·新邵期末）若m是方程的一个根，则代数式的值等于.

【答案】2023

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：∵m是方程的一个根，

∴，

∴，

∴.

故答案为：2023.

【分析】根据方程根的概念得m2+m=2023，进而将待求式子去括号后整体代入可得答案.

11．（2023九上·灌南期末）若非零实数a、b、c满足4a﹣2b+c=0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0一定有一个根为．

【答案】-2

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【解答】∵4a﹣2b+c=0，

∴当x=-2时，ax2+bx+c=0，

∴一元二次方程ax2+bx+c=0一定有一个根为-2.

故答案为：-2.

【分析】根据4a﹣2b+c=0知ax2+bx+c=0一定有一个根为-2.

12．（2023九上·阆中期中）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2－12x＋35＝0的根，则该三角形的周长为.

【答案】12

【知识点】一元二次方程的根；三角形三边关系

【解析】【解答】解：∵x2-12x+35=0，解得x=5或x=7

∵x=7时，3+4=7，∴x=7（舍去）

∴x=5

∴三角形的周长为3+4+5=12.

【分析】根据题意，解出方程的两个解，根据三角形的三边关系，得到符合题意的方程的解，计算周长即可。

13．（2023九上·广安期末）已知方程有一个根是m，则代数式的值为.

【答案】2023

【知识点】一元二次方程的根

【解析】【解答】解：∵有一个根是m，

∴，即，

∴，

故答案为：.

【分析】根据方程解的概念可得m2-3m=-1，待求式可变形为4(m2-3m)+2022，然后代入计算即可.

三、解答题

14．（2022九上·惠阳月考）把方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．

【答案】解：去括号，得

移项、合并同类项，得

二次项系数化为1，得

所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为1，16，0．

【知识点】一元二次方程的定义及相关的量

【解析】【分析】先将方程化为一般式，再利用二次项系数、一次项系数和常数项的定义求解即可。

15．（2022九上·海淀期中）已知是方程的一个根，求代数式的值．

【答案】解：∵是方程的一个根，

∴．

∴．

原式

．

【知识点】代数式求值；一元二次方程的根

【解析】【分析】先求出，再求解即可。

四、综合题

16．（2023九上·赵县期末）规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，

（1）解方程x2+2x-8=0，

（2）方程x2+2×-8=0(填“