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文档简介
2024届河北省高阳县数学九年级第一学期期末统考试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1.若+10x+m=0是关于x的一元二次方程,则m的值应为()A.m="2" B.m= C.m= D.无法确定2.如图所示,在中,,若,,则的值为()A. B. C. D.3.通过对《一元二次方程》全章的学习,同学们掌握了一元二次方程的三种解法:配方法、公式法、因式分解法,其实,每种解法都是把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解,体现的基本思想是()A.转化 B.整体思想 C.降次 D.消元4.一次函数y=bx+a与二次函数y=ax2+bx+c(a0)在同一坐标系中的图象大致是()A. B. C. D.5.二次函数y=3(x-2)2-1的图像顶点坐标是()A.(-2,1) B.(-2,-1) C.(2,1) D.(2,-1)6.如图,一张矩形纸片ABCD的长BC=xcm,宽AB=ycm,以宽AB为边剪去一个最大的正方形ABEF,若剩下的矩形ECDF与原矩形ABCD相似,则的值为()A. B. C. D.7.如图,与是以坐标原点为位似中心的位似图形,若点是的中点,的面积是6,则的面积为()A.9 B.12 C.18 D.248.方程变为的形式,正确的是()A. B.C. D.9.如图,在△ABC中,点D在AB上、点E在AC上,若∠A=60°,∠B=68°,AD·AB=AE·AC,则∠ADE等于A.52° B.62° C.68° D.72°10.在RtABC中,∠C=90°,如果,那么的值是()A.90° B.60° C.45° D.30°二、填空题(每小题3分,共24分)11.如图,网格中的四个格点组成菱形ABCD,则tan∠DBC的值为___________.12.如图,两个半径相等的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上,半径AE、CF交于点G,半径BE、CD交于点H,且点C是弧AB的中点,若扇形的半径为,则图中阴影部分的面积等于_____.13.如图,P是抛物线y=﹣x2+x+2在第一象限上的点,过点P分别向x轴和y轴引垂线,垂足分别为A,B,则四边形OAPB周长的最大值为__14.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,过D点作AB的垂线交AC于点E,BC=6,sinA=,则DE=_____.15.在△ABC中,若AB=5,BC=13,AD是BC边上的高,AD=4,则tanC=_____.16.如图,起重机臂长,露在水面上的钢缆长,起重机司机想看看被打捞的沉船情况,在竖直平面内把起重机臂逆时针转动到的位置,此时露在水面上的钢缆的长度是___________.17.方程的根是________.18.如图,是一个半径为6cm,面积为12πcm2的扇形纸片,现需要一个半径为R的圆形纸片,使两张纸片刚好能组合成圆锥体,则R等于_____cm.三、解答题(共66分)19.(10分)如图,在中,D、E分别为BC、AC上的点.若,AB=8cm,求DE的长.20.(6分)解一元二次方程:.21.(6分)已知抛物线y=﹣x2+mx+m﹣2的顶点为A,且经过点(3,﹣3).(1)求抛物线的解析式及顶点A的坐标;(2)将原抛物线沿射线OA方向进行平移得到新的抛物线,新抛物线与射线OA交于C,D两点,如图,请问:在抛物线平移的过程中,线段CD的长度是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.22.(8分)如图,D是等边三角形ABC内一点,将线段AD绕点A顺时针旋转60°,得到线段AE,连接CD,BE.(1)求证:EB=DC;(2)连接DE,若∠BED=50°,求∠ADC的度数.23.(8分)如图,在平面直角坐标系中,矩形的顶点分别在轴和轴的正半轴上,顶点的坐标为(4,2),的垂直平分线分别交于点,过点的反比例函数的图像交于点.(1)求反比例函数的表示式;(2)判断与的位置关系,并说明理由;(3)连接,在反比例函数图像上存在点,使,直接写出点的坐标.24.(8分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C(0,4),与x轴交于A(﹣2,0),点B(4,0).(1)求抛物线的解析式;(2)若点M是抛物线上的一动点,且在直线BC的上方,当S△MBC取得最大值时,求点M的坐标;(3)在直线的上方,抛物线是否存在点M,使四边形ABMC的面积为15?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.25.(10分)如图,在△ABC中,∠A为钝角,AB=25,AC=39,,求tanC和BC的长.
26.(10分)如图,在△ABC中,∠ABC=60°,⊙O是△ABC的外接圆,P为CO的延长线上一点,且AP=AC.(1)求证:AP是⊙O的切线;(2)若PB为⊙O的切线,求证:△ABC是等边三角形.
参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【解题分析】试题分析:根据一元二次方程的定义进行解得2m﹣1=2,解得m=.故选C.考点:一元二次方程的定义2、B【分析】由DE∥BC,可得△ADE∽△ABC,推出,即可得出结论.【题目详解】∵AD=3,DB=4,∴AB=3+4=1.∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴.故选:B.【题目点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.3、C【分析】根据“每种解法都是把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解”进行判断即可.【题目详解】每种解法都是把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解,也就是“降次”,故选:C.【题目点拨】本题考查一元二次方程解法的理解,读懂题意是关键.4、C【解题分析】A.由抛物线可知,a>0,x=−<0,得b<0,由直线可知,a>0,b>0,故本选项错误;B.由抛物线可知,a>0,x=−>0,得b<0,由直线可知,a>0,b>0,故本选项错误;C.由抛物线可知,a<0,x=−<0,得b<0,由直线可知,a<0,b<0,故本选项正确;D.由抛物线可知,a<0,x=−<0,得b<0,由直线可知,a<0,b>0,故本选项错误.故选C.5、D【分析】由二次函数的顶点式,即可得出顶点坐标.【题目详解】解:∵二次函数为y=a(x-h)2+k顶点坐标是(h,k),
∴二次函数y=3(x-2)2-1的图象的顶点坐标是(2,-1).
故选:D.【题目点拨】此题考查了二次函数的性质,二次函数为y=a(x-h)2+k顶点坐标是(h,k).6、B【分析】根据相似多边形对应边的比相等,可得到一个方程,解方程即可求得.【题目详解】∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=xcm,∵四边形ABEF是正方形,∴EF=AB=ycm,∴DF=EC=(x﹣y)cm,∵矩形FDCE与原矩形ADCB相似,∴DF:AB=CD:AD,即:∴=,故选B.【题目点拨】本题考查了相似多边形的性质、矩形的性质、翻折变换的性质;根据相似多边形对应边的比相等得出方程是解决本题的关键.7、D【分析】根据位似图形的性质,再结合点A与点的坐标关系可得出两个三角形的相似比,再根据面积比等于相似比的平方即可得出答案.【题目详解】解:∵△ABC与△是以坐标原点O为位似中心的位似图形,且A为的中心,∴△ABC与△的相似比为:1:2;∵位似图形的面积比等于相似比的平方,∴△的面积等于4倍的△ABC的面积,即.故答案为:D.【题目点拨】本题考查的知识点是位似图形的性质,位似是特殊的相似,熟记位似图形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.8、B【分析】方程常数项移到右边,两边加上1变形即可得到结果.【题目详解】方程移项得:x2﹣2x=3,配方得:x2﹣2x+1=1,即(x﹣1)2=1.故选B.【题目点拨】本题考查了解一元二次方程﹣配方法,熟练掌握配方法的步骤是解答本题的关键.9、A【分析】先证明△ADE∽△ACB,根据对应角相等即可求解.【题目详解】∵AD·AB=AE·AC,∴,又∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB,∴∠ADE=∠C=180°-∠A-∠B=52°,故选A.【题目点拨】此题主要考查相似三角形的性质,解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.10、C【分析】根据锐角三角函数的定义解得即可.【题目详解】解:由已知,,∵∴∵∠C=90°∴=45°故选:C【题目点拨】本题考查了锐角三角函数的定义,解答关键是根据定义和已知条件构造等式求解.二、填空题(每小题3分,共24分)11、3【解题分析】试题分析:如图,连接AC与BD相交于点O,∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,BO=BD,CO=AC,由勾股定理得,AC==,BD==,所以,BO==,CO==,所以,tan∠DBC===3.故答案为3.考点:3.菱形的性质;3.解直角三角形;3.网格型.12、π﹣1【分析】根据扇形的面积公式求出面积,再过点C作CM⊥AE,作CN⊥BE,垂足分别为M、N,然后证明△CMG与△CNH全等,从而得到中间空白区域的面积等于以1为对角线的正方形的面积,从而得出阴影部分的面积.【题目详解】两扇形的面积和为:,过点C作CM⊥AE,作CN⊥BE,垂足分别为M、N,如图,则四边形EMCN是矩形,∵点C是的中点,∴EC平分∠AEB,∴CM=CN,∴矩形EMCN是正方形,∵∠MCG+∠FCN=90°,∠NCH+∠FCN=90°,∴∠MCG=∠NCH,在△CMG与△CNH中,,∴△CMG≌△CNH(ASA),∴中间空白区域面积相当于对角线是的正方形面积,∴空白区域的面积为:,∴图中阴影部分的面积=两个扇形面积和﹣1个空白区域面积的和.故答案为:π﹣1.【题目点拨】本题主要考查了扇形的面积求法,三角形的面积的计算,全等三角形的判定和性质,得出四边形EMCN的面积是解决问题的关键.13、1【分析】设P(x,y)(2>x>0,y>0),根据矩形的周长公式得到C=-2(x-1)2+1.根据二次函数的性质来求最值即可.【题目详解】解:∵y=﹣x2+x+2,∴当y=0时,﹣x2+x+2=0即﹣(x﹣2)(x+1)=0,解得x=2或x=﹣1故设P(x,y)(2>x>0,y>0),∴C=2(x+y)=2(x﹣x2+x+2)=﹣2(x﹣1)2+1.∴当x=1时,C最大值=1.即:四边形OAPB周长的最大值为1.【题目点拨】本题主要考查二次函数的最值以及二次函数图象上点的坐标特征.设P(x,y)(2>x>0,y>0),根据矩形的周长公式得到C=﹣2(x﹣1)2+1.最后根据根据二次函数的性质来求最值是关键.14、【题目详解】∵在Rt△ABC中,BC=6,sinA=∴AB=10∴.∵D是AB的中点,∴AD=AB=1.∵∠C=∠EDA=90°,∠A=∠A∴△ADE∽△ACB,∴即解得:DE=.15、或【分析】先根据勾股定理求出BD的长,再分高AD在△ABC内部和外部两种情况画出图形求出CD的长,然后利用正切的定义求解即可.【题目详解】解:在直角△ABD中,由勾股定理得:BD==3,若高AD在△ABC内部,如图1,则CD=BC﹣BD=10,∴tanC=;若高AD在△ABC外部,如图2,则CD=BC+BD=16,∴tanC=.故答案为:或.【题目点拨】本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义,属于常见题型,正确画出图形、全面分类、熟练掌握基本知识是解答的关键.16、30m【解题分析】首先在Rt△ABC中,利用正弦值可推出∠CAB=45°,然后由转动角度可得出∠C'AB'=60°,在Rt△C'AB'中利用60°的正弦即可求出B'C'.【题目详解】再Rt△ABC中,∵∴∠CAB=45°起重机臂逆时针转动到的位置后,∠C'AB'=∠CAB+15°=60°在Rt△C'AB'中,B'C'=m故答案为:30m.【题目点拨】本题考查了解直角三角形,熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键.17、x1=0,x1=1【分析】先移项,再用因式分解法求解即可.【题目详解】解:∵,∴,∴x(x-1)=0,x1=0,x1=1.故答案为:x1=0,x1=1.【题目点拨】本题考查了一元二次方程的解法,常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法,灵活选择合适的方法是解答本题的关键.18、2.【解题分析】能组合成圆锥体,那么扇形的弧长等于圆形纸片的周长.应先利用扇形的面积=圆锥的弧长母线长,得到圆锥的弧长=2扇形的面积母线长,进而根据圆锥的底面半径=圆锥的弧长求解.【题目详解】圆锥的弧长,
圆锥的底面半径,
故答案为2.【题目点拨】解决本题的难点是得到圆锥的弧长与扇形面积之间的关系,注意利用圆锥的弧长等于底面周长这个知识点.三、解答题(共66分)19、【分析】根据两边成比例且夹角相等证△CDE∽△CAB,由相似性质得对应边成比例求解.【题目详解】解:在△CDE和△CAB中,∵,∠DCE=∠ACB,∴△CDE∽△CAB,∴,∴,∴DE=.【题目点拨】本题考查相似三角形的判定及性质,正确找出相似条件是解答此题的关键.20、【解题分析】用直配方法解方程即可.【题目详解】解:原方程可化为:,∴,解得:.21、(1)y=﹣x2+2x,顶点A的坐标是(1,1);(2)CD长为定值.【分析】(1)根据待定系数法,可得函数解析式,根据配方法,可得顶点坐标;(2)根据平移规律,可设出新抛物线解析式,联立抛物线与直线OA,可得C、D点的横坐标,根据勾股定理,可得答案.【题目详解】解:(1)把(3,﹣3)代入y=﹣x2+mx+m-2得:﹣3=﹣32+3m+m-2,解得m=2,∴y=﹣x2+2x,∴y=﹣x2+2x=﹣(x-1)2+1,∴顶点A的坐标是(1,1);(2)易得直线OA的解析式为y=x,平移后抛物线顶点在直线OA上,设平移后顶点为(a,a),∴可设新的抛物线解析式为y=﹣(x﹣a)2+a,联立解得:x1=a,x2=a﹣1,∴C(a-1,a-1),D(a,a),即C、D两点间的横坐标的差为1,纵坐标的差也为1,∴CD=∴CD长为定值.【题目点拨】本题考查了二次函数综合题,利用待定系数法求函数解析式,再利用解析式确定顶点坐标;根据平移规律确定抛物线解析式,通过联立解析式确定交点坐标,利用勾股定理求解.22、(1)证明见解析;(2)110°【分析】(1)根据等边三角形的性质可得∠BAC=60°,AB=AC,由旋转的性质可得∠DAE=60°,AE=AD,利用SAS即可证出≌,从而证出结论;(2)根据等边三角形的判定定理可得为等边三角形,从而得出∠AED=60°,由(1)中全等可得∠AEB=∠ADC,求出∠AEB即可求出结论.【题目详解】解:(1)∵是等边三角形,∴∠BAC=60°,AB=AC.∵线段AD绕点A顺时针旋转60°,得到线段AE,∴∠DAE=60°,AE=AD.∴∠BAD+∠EAB=∠BAD+∠DAC.∴∠EAB=∠DAC.在和中,∵,∴≌.∴EB=DC.(2)如图,由(1)得∠DAE=60°,AE=AD,∴为等边三角形.∴∠AED=60°,由(1)得≌,∴∠AEB=∠ADC.∵∠BED=50°,∴∠AEB=∠AED+∠BED=110°,∴∠ADC=110°.【题目点拨】此题考查的是等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和旋转的性质,掌握等边三角形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和旋转的性质是解决此题的关键.23、(1)反比例函数表达式为;(2),证明见解析;(3).【分析】(1)求出点横坐标,也就是.由垂直平分,得到,,,在,,求出,从而求出.(2)方法一:通过边长关系可证,为公共角,从而,,;方法二:求出直线与直线的解析式,系数相等,所以方法三:延长交轴于点,证明,四边形是平行四边形,.(3)求出,根据,设,代入点坐标,求得,与联立,求出的坐标.【题目详解】(1)连接,∵垂直平分,∴.∵,∴.设,则,∵四边形矩形,∴,.在中,.即.解得.∴点.将点的坐标代入中,得.∴所求反比例函数表达式为.(2).方法一:将代入得,,∴点.∵,,,,∴,,,.∴,.∴.∵,∴.∴.∴.方法二:将代入得,,∴点.由(1)知,,.设直线的函数表达式为,∵点在直线上,∴,∴.∴设直线的函数表达式为.设直线的函数表达式为,∵点在直线上,∴解得∴直线的函数表达式为.∵直线与直线的值为,∴直线与直线平行.∴.方法三:延长交轴于点,设直线的函数表达式为,∵点在直线上,∴解得∴直线的函数表达式为.将代入中,得.∴点.∴,.∴.∵四边形矩形,∴.∴四边形是平行四边形.∴.(3).【题目点拨】本题考查了反比例函数的求法,平行的性质以及两直线垂直的性质.24、(1)y=﹣x2+x+4;(2)(2,4);(3)存在,(1,)或(3,)【分析】(1)抛物线的表达式为::y=a(x+2)(x﹣4)=a(x2﹣2x﹣8),故-8a=4,即可求解;(2)根据题意列出S△MBC=MH×OB=2(﹣x2+x+4+x﹣4)=﹣x2+4x,即可求解;(3)四边形ABMC的面积S=S△ABC+S△BCM=6×4+(﹣x2+4x)=15,,即可求解.【题目详解】解:(1)抛物线的表达式为:y=a(x+2)(x﹣4)=a(x2﹣2x﹣8),故﹣8a=4,解得:a=﹣,故抛物线的表达式为:y=﹣x2+x+4;(2)过点M作MH∥y轴交BC于点H,将点B、C的坐标代入一次函数表达
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