2022-2023学年河南省商丘市高一年级下册学期5月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年河南省商丘市高一下学期5月月考数学试题一、单选题1．若为坐标原点，向量，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量的坐标运算可得答案.【详解】因为，所以点的坐标为．故选：A.2．已知，复数，若为纯虚数，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据纯虚数定义可得，再根据共轭复数的定义即可得.【详解】由为纯虚数，所以，解得，所以，即．故选：B3．的内角的对边分别为，若，则（

）A．2 B． C．3 D．【答案】D【分析】根据余弦定理求解即可.【详解】由余弦定理得，得．故选：D4．已知是两条不同的直线，是一个平面，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【分析】根据直线与平面的位置关系和相关定理，逐项判断即可.【详解】对于A，若，，则或，故A错误；对于B，平行于同一平面的两条直线可能平行，可能异面，也可能相交，故B错误；对于C，若，则m垂直于平面内的任意一条直线，，故C正确；对于D，若，则与不一定垂直，故D错误.故选：C.5．某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（

）

A．该几何体的面是等边三角形或正方形B．该几何体恰有12个面C．该几何体恰有24条棱D．该几何体恰有12个顶点【答案】B【分析】根据几何体的形状逐个选项判断即可.【详解】据图可得该几何体的面是等边三角形或正方形，A正确；该几何体恰有14个面，B不正确；该几何体恰有24条棱，C正确；该几何体恰有12个顶点，D正确．故选：B6．位于灯塔处正西方向相距海里的处有一艘甲船燃油耗尽，需要海上加油．位于灯塔处北偏东30°方向有一艘乙船（在处），乙船与甲船（在处）相距海里，乙船为了尽快给甲船进行海上加油，则乙船航行的最佳方向是（

）A．西偏南15° B．西偏南30°C．南偏西45° D．南偏西65°【答案】A【分析】运用正弦定理求出即可.【详解】如图，

，由正弦定理得，解得．因为，所以，因为，所以乙船航行的最佳方向为西偏南；故选：A.7．在四面体中，平面，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用余弦定理可求得，根据勾股定理可求得，再利用等体积法即可得点到平面的距离为．【详解】如图所示：

在中，由余弦定理可得，解得．所以，即；在中，易知，则，设点到平面的距离为，由可得，解得，即点到平面的距离为．故选：D8．已知正三角形的边长为2，动点满足，则的最小值为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】易知点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，取的中点可得，易得，即可求得的最小值为.【详解】因为动点满足，所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，如下图所示：

设为的中点，则；所以当取最小值时，取得最小值；，所以.故选：C二、多选题9．已知向量，若，则的值可能为（

）A．2 B．－2 C．3 D．－3【答案】AD【分析】根据向量垂直数量积为0求解即可.【详解】因为，所以，解得或2．故选：AD10．若复数满足，则（

）A．的实部为 B．的虚部为1C． D．【答案】AC【分析】设，再根据共轭复数的定义与复数的运算可得，再根据复数的性质与运算逐个选项判断即可.【详解】设，则，因为，所以，A正确，B错误．因为，C正确，D错误．故选：AC.11．如图，正方体的棱长为3，动点在侧面内运动（含边界），且，则（

）A．点的轨迹长度为 B．点的轨迹长度为C．的最小值为 D．的最小值为【答案】AD【分析】根据平面，得点的轨迹为，可得点的轨迹长度可判断AB；将平面翻折到与平面重合，可得，，三点共线，取得最小值，分别求出、可得答案．【详解】如图，因为平面，平面，所以，因为，，平面，所以平面，平面，所以，若，则点的轨迹为，因为正方体的棱长为3，所以点的轨迹长度为，故A正确B错误；将平面翻折到与平面重合，如图，此时，，三点共线，取得最小值，此时，是边长为的等边三角形，是边长为的等腰直角三角形，且是的中点，所以，，所以取得最小值为，故C错误D正确.故选：AD．12．如图，等腰梯形是由斜二测画法得到的平面四边形水平放置的直观图，，点在线段上，对应原图中的点，则在原图中，下列说法正确的是（

）

A．四边形的面积为B．C．在上的投影向量为D．的取值范围为【答案】BCD【分析】根据直观图画出原图，以点为坐标原点建立平面直角坐标系，从而可求得原图形的面积，即可判断A，B；根据在向量上的投影向量的坐标为即可判断C；设，根据向量线性运算的坐标表示及模的坐标表示即可判断D.【详解】如图1，过作交于，作交于，则，画出原图，如图2所示，以点为坐标原点建立平面直角坐标系．

，四边形的面积为，A错误，B正确．，则在上的投影向量为，C正确．设，因为，所以，则，则，，因为函数在上单调递减，所以当时，，当时，，所以的取值范围为，D正确．故选：BCD.三、填空题13．在复平面内表示的点为，满足，则点所组成图形的面积为______．【答案】【分析】由复数的几何意义确定点的轨迹方程求解即可.【详解】的解集是以为圆心，1为半径的圆及其内部所有点组成的集合，其面积．故答案为：.14．如图1，小明同学发现家里的地板是由正六边形木质地板组合而成的，便临摹出了家里地板的部分图形，其平面图如图2所示，若，则______．【答案】3【分析】利用平面向量三角形法则和共线定理即可得，即可计算出结果.【详解】连接，如下图所示：

易知，由平面向量三角形法则可知，即，所以；所以．故答案为：15．如图，在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，且．若与平面所成的角为，则四棱锥外接球的表面积为______．

【答案】【分析】先利用面面垂直的性质证得平面，从而利用线面求得，再利用勾股定理求得到四棱锥各顶点的距离即可得解.【详解】取为的中点，连结，连结，连结，如图，

因为，则，因为平面平面且相交于，平面，所以平面，则为与平面所成的角，即，设，则，又易知，即，解得，，则，，在中，，在矩形中，，所以四棱锥外接球的球心为矩形的中心，且四棱锥外接球的半径，所以四棱锥外接球的表面积为．故答案为：.16．某园区有一块三角形空地（如图），其中，现计划在该空地上划分三个区域种植不同的花卉，若要求，则的最小值为______．

【答案】【分析】根据可知点的轨迹，再利用正弦定理以及圆周角和圆心角之间的关系，易知当为与圆的交点时，取最小值，再利用余弦定理即可求得结果.【详解】如图，因为，所以在如图所示的圆上，圆的半径为，

由圆周角的性质可得，连接，可得，所以当为与圆的交点时，取最小值，即，又，在中，，根据余弦定理可知，所以的最小值为．故答案为：四、解答题17．已知向量，向量．(1)若向量，求向量的坐标；(2)若向量在向量上的投影向量的坐标为，求向量的夹角大小．【答案】(1)或(2)．【分析】（1）根据向量平行的规则求解；（2）根据投影的定义求解.【详解】（1）设，所以，因为，所以，解得或，所以或.（2）设向量的夹角为，根据投影的定义知：在的投影向量为：，即，，，量的夹角大小为.18．在复平面内，复数对应的点分别是．(1)求；(2)已知虚数的实部等于复数的虚部，且是关于的方程的一个根，求实数的值以及．【答案】(1)(2)实数的值为．【分析】（1）由复数对应点写出复数，应用复数减法求，进而求模；（2）复数乘法求并确定虚部，设，代入方程求参数即可.【详解】（1）由题知，因为，所以．（2）因为，所以复数的虚部为－1，设，所以，整理得，所以，得，所以实数的值为．19．如图，在正四棱台中，．(1)求正四棱台的体积；(2)若分别为棱的中点，证明：相交于一点．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据正四棱台的几何特征求出该正四棱台的高和上下底面的面积即可；（2）先证明四边形EFHG是梯形，再证明EG与FH的交点在直线上.【详解】（1）连接，取分别为和的中点，因为为正四棱台，所以，且为的高，因为，所以，所以正四棱台的体积为；（2）因为分别为棱的中点，所以，，所以，所以为梯形，则与必相交，设，因为平面，所以平面，因为平面，所以平面，又平面平面，所以，所以交于一点.20．的内角的对边分别为，且．(1)求；(2)若为锐角三角形，，求周长的取值范围．【答案】(1)或(2)【分析】（1）根据条件作恒等变换求出A；（2）根据为锐角三角形，求出B的范围，再运用正弦定理求出求出的范围.【详解】（1）由，可得，所以，即，，，所以或；（2）因为为锐角三角形，所以，由正弦定理，得，因为为锐角三角形，所以所以，所以，所以，所以，则周长的取值范围为21．如图，在直四棱柱中，，底面是直角梯形，，，，，，点为上一点，且．(1)证明：平面平面．(2)点是上一点，且平面，求四面体的体积．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据线面垂直的判定定理可证明平面，再结合直四棱柱的性质根据面面垂直的判定定理即可证明平面平面；（2）根据面面平行的判定定理可确定，再由锥体体积公式即可求得四面体的体积为.【详解】（1）证明：因为，所以，，又，所以四边形为矩形，即．由题可知平面，平面，所以，又，所以平面，因为平面，所以平面平面．（2）作，交于点，连接，如下图所示：易知，则，即可得；因为平面平面，所以平面，因为平面，又，所以平面平面．平面平面，平面平面，所以．因为，所以．又易知平面，则平面，所以即为四面体的高；所以四面体的体积为．22．已知为中边上的中线，．(1)若，求的长