专题05 共焦点椭圆、双曲线模型(解析版)

专题05共焦点椭圆、双曲线模型秒杀结论已知椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(其中a＞b＞0)与双曲线C2：eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(其中m＞0，n＞0)共焦点，e1，e2分别为C1，C2的离心率，M是C1，C2的一个交点，θ＝∠F1ＭF2，则Ⅰ．|MF1|＝a＋m，|PF2|＝a－m；Ⅱ．eq\f(sin2eq\f(θ,2),e12)＋eq\f(cos2eq\f(θ,2),e22)＝1．【方法技巧】结论Ⅰ的推导是用椭圆与双曲线的定义，然后两式相加，相减．凡是已知公共焦点三角形中的一边（焦半径）或三边的比例关系（可取特值，特别是在直角三角形中），然后使用结论Ⅰ：|MF1|＝a＋m，|PF2|＝a－m，找到a，m，c的关系，从而解决问题．可免去用椭圆与双曲线的定义，节省时间．关于结论Ⅰ的记忆是长边加，短边减，椭圆的长半轴在前，双曲线的实半轴在后．结论Ⅱ的推导是先用椭圆与双曲线的定义，然后用余弦定理，或用焦点三角形的面积相等．凡是已知公共焦点三角形中的顶角（或隐含如例2(6)，对点练5，6），然后使用结论Ⅱ：eq\f(sin2eq\f(θ,2),e12)＋eq\f(cos2eq\f(θ,2),e22)＝1，可快速到e12，e22的关系，从而解决问题．如果求最值注意基本不等式的使用，如不能用基本不等式可利用三角换元转化为三角函数的最值(如例2(5)，对点练4，6)或用柯西不等式(选修4－5)．关于结论Ⅱ的记忆类比平方关系，在正弦，余弦下分别加上椭圆与双曲线的离心率的平方．【例题选讲】[例11](59)椭圆与双曲线有公共焦点F1，F2，它们在第一象限的交点为A，且AF1⊥AF2，∠AF1F2＝30°，则椭圆与双曲线的离心率的倒数和为()A．2eq\r(3)B．eq\r(3)C．2D．1答案B秒杀设椭圆方程为：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，双曲线方程为eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)，根据题意，可设|AF1|＝eq\r(3)，|AF2|＝1，|F1F2|＝2，则a＋m＝eq\r(3)，a－m＝１，∴eq\f(1,e1)＋eq\f(1,e2)＝eq\f(a,c)＋eq\f(m,c)＝eq\f(a＋m,c)＝eq\r(3)．故选B．(60)中心在原点的椭圆C1与双曲线C2具有相同的焦点，F1(－c，0)，F2(c，0)，P为C1与C2在第一象限的交点，|PF1|＝|F1F2|且|PF2|＝3，若椭圆C1的离心率e1∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(4,5)))，则双曲线的离心率e2的范围是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(5,3)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，2))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2))D．(2，3)答案C秒杀设椭圆方程为：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，设双曲线方程为eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)，由题意有，a＋m＝2c，a－m＝3，所以m＝2c－a，又e2＝eq\f(c,m)＝eq\f(c,2c－a)＝eq\f(1,2－\f(1,e1))，因为e1∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(4,5)))，所以eq\f(1,e1)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2)))，所以e2∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2)).(61)已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若|PF1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则e1e2＋1的取值范围为()A．(1，＋∞)B．(eq\f(4,3)，＋∞)C．(eq\f(6,5)，＋∞)D．(eq\f(10,9)，＋∞)答案B秒杀设椭圆方程为：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，设双曲线方程为eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)，由题意有，a＋m＝10，a－m＝2c，所以a＝5＋c，m＝5－c，c＞eq\f(5,2)，又e1e2＋1＝eq\f(c2,am)＋1＝eq\f(c2,25－c2)＋1＞eq\f(4,3)．故选B．【对点训练】88．F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A是C1，C2在第一象限的交点，且AF1⊥AF2，∠AF1F2＝eq\f(π,6)，则C1与C2的离心率之积为()A．2B．eq\r(3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(\r(3),2)88．答案A秒杀设椭圆方程为：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，双曲线方程为eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)，根据题意，可设|AF1|＝eq\r(3)，|AF2|＝1，|F1F2|＝2，则a＋m＝eq\r(3)，a－m＝１，∴a＝eq\f(eq\r(3)＋1,2)，m＝eq\f(eq\r(3)－1,2)，∴e1e2＝eq\f(c2,am)＝2．故选A．89．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为F1，F2，且两条曲线在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若双曲线的离心率为3，则椭圆的离心率为()A．eq\f(3,7)B．eq\f(4,7)C．eq\f(5,6)D．eq\f(9,10)89．答案A秒杀设椭圆方程为：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，双曲线方程为eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)，根据题意，a－m＝2c，eq\f(c,m)＝3，∴eq\f(c,a)＝eq\f(c,m＋2c)＝eq\f(3,7)．故选A．90．已知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1、F2，且它们在第一象限的交点为P，△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形．若|PF1|＝10，双曲线的离心率的取值范围为(1，2)．则该椭圆的离心率的取值范围是()A．(eq\f(1,3)，eq\f(1,2))B．(eq\f(2,5)，eq\f(1,2))C．(eq\f(1,3)，eq\f(2,5))D．(eq\f(1,2)，1)90．答案C秒杀设椭圆方程为：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，设双曲线方程为eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)，由题意有，a＋m＝10，a－m＝2c，所以a＝5＋c，m＝5－c，因为双曲线的离心率的取值范围为(1，2)，所以1<eq\f(c,5－c)<2，∴eq\f(5,2)<c<eq\f(10,3)，∵椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(c,c＋5)＝1－eq\f(5,c＋5)，且eq\f(1,3)<1－eq\f(5,c＋5)<eq\f(2,5)，∴该椭圆的离心率的取值范围是(eq\f(1,3)，eq\f(2,5))．91．已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|>|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则eq\f(2,e1)＋eq\f(e2,2)的最小值为()A．6B．3C．eq\r(6)D．eq\r(3)91．答案A通解设椭圆的长半轴长为a，双曲线的半实轴长为a′，半焦距为c，依题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＋|PF2|＝2a，,|PF1|－|PF2|＝2a′，,|PF2|＝|F1F2|＝2c，))∴2a＝2a′＋4c，∴eq\f(2,e1)＋eq\f(e2,2)＝eq\f(2a,c)＋eq\f(c,2a′)＝eq\f(2a′＋4c,c)＋eq\f(c,2a′)＝eq\f(2a′,c)＋eq\f(c,2a′)＋4≥2＋4＝6，当且仅当c＝2a′时取“＝”，故选A．秒杀设椭圆方程为：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，双曲线方程为eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)，根据题意，a－m＝2c，∴a＝m＋2c，∴eq\f(2,e1)＋eq\f(e2,2)＝eq\f(2a,c)＋eq\f(c,2m)＝eq\f(2m＋4c,c)＋eq\f(c,2m)＝eq\f(2m,c)＋eq\f(c,2m)＋4≥2＋4＝6，当且仅当c＝2m时取“＝”，故选A．92．如图，F1，F2是椭圆C1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的交点，若AF1⊥BF1，且∠AF1O＝eq\f(π,3)，则C1与C2的离心率之和为()A．2eq\r(3)B．4C．2eq\r(5)D．2eq\r(6)92．答案A通解设椭圆方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由双曲线和椭圆的对称性可知，A，B关于原点对称，又AF1⊥BF1，且∠AF1O＝eq\f(π,3)，故|AF1|＝|OF1|＝|OA|＝|OB|＝c，∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(c,2)，\f(\r(3),2)c))，代入椭圆方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，结合b2＝a2－c2及e＝eq\f(c,a)，整理可得，e4－8e2＋4＝0，∵0<e<1，∴e2＝4－2eq\r(3)＝(eq\r(3)－1)2，∴e＝eq\r(3)－1．同理可求得双曲线的离心率e1＝eq\r(3)＋1，∴e＋e1＝2eq\r(3)．秒杀设椭圆方程为：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，双曲线方程为eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)，根据题意，可设|AF1|＝1，|AF2|＝eq\r(3)，|F1F2|＝2，则a＋m＝eq\r(3)，a－m＝１，∴e＋e1＝eq\f(c,a)＋eq\f(c,m)＝eq\f(c(a＋m),am)＝2eq\r(3)．故选A．【例题选讲】[例12](62)已知椭圆、双曲线均是以直角三角形ABC的斜边AC的两端点为焦点的曲线，且都过B点，它们的离心率分别为e1，e2，则eq\f(1,e\o\al(2,1))＋eq\f(1,e\o\al(2,2))＝()A．eq\f(3,2)B．2C．eq\f(5,2)D．4答案B通解以AC边所在的直线为x轴，AC中垂线所在的直线为y轴建立直角坐标系(图略)，设椭圆方程为eq\f(x2,a\o\al(2,1))＋eq\f(y2,b\o\al(2,1))＝1，设双曲线方程为eq\f(x2,a\o\al(2,2))－eq\f(y2,b\o\al(2,2))＝1，焦距都为2c，不妨设|AB|>|BC|，椭圆和双曲线都过点B，则|AB|＋|BC|＝2a1，|AB|－|BC|＝2a2，所以|AB|＝a1＋a2，|BC|＝a1－a2，又因为△ABC为直角三角形，|AC|＝2c，所以(a1＋a2)2＋(a1－a2)2＝(2c)2，即aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＝2c2，所以eq\f(a\o\al(2,1),c2)＋eq\f(a\o\al(2,2),c2)＝2，即eq\f(1,e\o\al(2,1))＋eq\f(1,e\o\al(2,2))＝2．故选B．秒杀由已知eq\f(θ,2)＝eq\f(π,4)，又由eq\f(sin2eq\f(θ,2),e12)＋eq\f(cos2eq\f(θ,2),e22)＝1，得eq\f(1,e\o\al(2,1))＋eq\f(1,e\o\al(2,2))＝2．故选B．(63)(2013浙江)已知F1，F2为椭圆C1：eq\f(x2,4)＋y2＝1和双曲线C2的公共焦点，P为它们的一个公共点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的交点，若四边形AF1BF1为矩形，则C2的离心率是()A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．eq\f(3,2)D．eq\f(eq\r(6),2)答案D秒杀由已知eq\f(θ,2)＝eq\f(π,4)，又由eq\f(sin2eq\f(θ,2),e12)＋eq\f(cos2eq\f(θ,2),e22)＝1，得eq\f(1,eeq\o\al(2,1))＋eq\f(1,eeq\o\al(2,2))＝2，又e1＝eq\f(\r(3),2)，∴e2＝eq\f(\r(6),2)，故选D．(64)(2016全国高中数学联赛四川预赛)已知F1，F2为椭圆和双曲线的公共焦点，P为它们的一个公共点，且∠F1PF2＝eq\f(π,3)，则该椭圆和双曲线的离心率之积的最小值为()A．eq\f(eq\r(3),3)B．eq\f(eq\r(3),2)C．1D．eq\r(3)答案B秒杀由已知eq\f(θ,2)＝eq\f(π,6)，又由eq\f(sin2eq\f(θ,2),e12)＋eq\f(cos2eq\f(θ,2),e22)＝1，得eq\f(1,eeq\o\al(2,1))＋eq\f(3,eeq\o\al(2,2))＝4，4＝eq\f(1,e\o\al(2,1))＋eq\f(3,e\o\al(2,2))＞eq\f(2eq\r(3),e1e2)，e1e2≥eq\f(\r(3),2)(当且仅当e2＝eq\r(3)e1时取等号)，故选B．(65)已知椭圆C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(其中a＞b＞0)与双曲线C2：eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(其中m＞0，n＞0)有相同的焦点F1，F2，P是两曲线的一个公共点，e1，e2分别是两曲线的离心率，若PF1⊥PF1，则4eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2)的最小值是()A．eq\f(5,2)B．eq\f(7,2)C．eq\f(9,2)D．eq\f(11,2)答案C秒杀由已知eq\f(θ,2)＝eq\f(π,4)，又由eq\f(sin2eq\f(θ,2),e12)＋eq\f(cos2eq\f(θ,2),e22)＝1，得eq\f(1,eeq\o\al(2,1))＋eq\f(1,eeq\o\al(2,2))＝2，4eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2)＝eq\f(1,2)(4eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2))(eq\f(1,eeq\o\al(2,1))＋eq\f(1,eeq\o\al(2,2)))＝eq\f(5,2)＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(eeq\o\al(2,2),e12)＋\f(4e12,eeq\o\al(2,2))))≥eq\f(9,2)(当且仅当eeq\o\al(2,2)＝2eeq\o\al(2,1)时取等号)，故选C．(66)(2014湖北)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝eq\f(π,3)，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A．eq\f(4\r(3),3)B．eq\f(2\r(3),3)C．3D．2答案A秒杀由已知eq\f(θ,2)＝eq\f(π,6)，又由eq\f(sin2eq\f(θ,2),e12)＋eq\f(cos2eq\f(θ,2),e22)＝1，得eq\f(1,eeq\o\al(2,1))＋eq\f(3,eeq\o\al(2,2))＝4，可利用三角换元eq\f(1,e1)＝2cosθ，eq\f(\r(3),e2)＝2sinθ，则eq\f(1,e1)＋eq\f(1,e2)＝eq\f(4\r(3),3)sin(θ＋φ)≤eq\f(4\r(3),3)．故选A．(67)(2016浙江)已知椭圆C1：eq\f(x2,m2)＋y2＝1(m>1)与双曲线C2：eq\f(x2,n2)－y2＝1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率，则()A．m>n且e1e2>1B．m>n且e1e2<1C．m<n且e1e2>1D．m<n且e1e2<1答案A通解由于m2－1＝c2，n2＋1＝c2，则m2－n2＝2，故m>n，又(e1e2)2＝eq\f(m2－1,m2)·eq\f(n2＋1,n2)＝eq\f(n2＋1,n2＋2)·eq\f(n2＋1,n2)＝eq\f(n4＋2n2＋1,n4＋2n2)＝1＋eq\f(1,n4＋2n2)>1，∴e1e2>1．故选A．秒杀由椭圆和双曲线焦点三角形面积公式得，b2taneq\f(θ,2)＝b2eq\f(1,tan\f(θ,2))，即，taneq\f(θ,2)＝eq\f(1,tan\f(θ,2))，解得θ＝eq\f(π,2)．∴eq\f(1,e\o\al(2,1))＋eq\f(1,e\o\al(2,2))＝2，因为e1≠e2，∴2＝eq\f(1,e\o\al(2,1))＋eq\f(1,e\o\al(2,2))＞eq\f(2,e1e2)，∴e1e2>1．故选A．【对点训练】93．已知椭圆和双曲线有共同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2＝eq\f(2π,3)，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则eq\f(3,e\o\al(2,1))＋eq\f(1,e\o\al(2,2))等于()A．4B．2eq\r(3)C．2D．393．答案A通解如图所示，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2，设|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝eq\f(2π,3)，则在△PF1F2中，由余弦定理得4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)coseq\f(2π,3)，化简得3aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＝4c2，该式可变成eq\f(3,e\o\al(2,1))＋eq\f(1,e\o\al(2,2))＝4．故选A．秒杀由已知eq\f(θ,2)＝eq\f(π,3)，又由eq\f(sin2eq\f(θ,2),e12)＋eq\f(cos2eq\f(θ,2),e22)＝1，得eq\f(3,e\o\al(2,1))＋eq\f(1,e\o\al(2,2))＝4．故选A．94．已知圆锥曲线C1：mx2＋ny2＝1(n>m>0)与C2：px2－qy2＝1(p>0)的公共焦点为F1，F2.点M为C1，C2的一个公共点，且满足∠F1MF2＝90°，若圆锥曲线C1的离心率为eq\f(3,4)，则C2的离心率为()A．eq\f(9,2)B．eq\f(3\r(2),2)C．eq\f(3,2)D．eq\f(5,4)94．答案B通解C1：eq\f(x2,\f(1,m))＋eq\f(y2,\f(1,n))＝1，C2：eq\f(x2,\f(1,p))－eq\f(y2,\f(1,q))＝1．设a1＝eq\r(\f(1,m))，a2＝eq\r(\f(1,p))，MF1＝s，MF2＝t，由椭圆的定义可得s＋t＝2a1，由双曲线的定义可得s－t＝2a2，解得s＝a1＋a2，t＝a1－a2，由∠F1MF2＝90°，运用勾股定理，可得s2＋t2＝4c2，即为aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＝2c2，由离心率的公式可得，eq\f(1,e\o\al(2,1))＋eq\f(1,e\o\al(2,2))＝2，∵e1＝eq\f(3,4)，∴eeq\o\al(2,2)＝eq\f(9,2)，则e2＝eq\f(3\r(2),2)，故选B．秒杀由已知eq\f(θ,2)＝eq\f(π,4)，又由eq\f(sin2eq\f(θ,2),e12)＋eq\f(cos2eq\f(θ,2),e22)＝1，得eq\f(1,e\o\al(2,1))＋eq\f(1,e\o\al(2,2))＝2，∵e1＝eq\f(3,4)，∴eeq\o\al(2,2)＝eq\f(9,2)，则e2＝eq\f(3\r(2),2)，故选B．95．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)与双曲线eq\f(x2,m2)－eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)具有相同焦点F1，F2，且在第一象限交于点P，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，若∠F1PF2＝eq\f(π,3)，则eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2)的最小值是()A．eq\f(2＋\r(3),2)B．2＋eq\r(3)C．eq\f(1＋2\r(3),2)D．eq\f(2＋\r(3),4)95．答案A通解根据题意，可知|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF1|－|PF2|＝2m，解得|PF1|＝a＋m，|PF2|＝a－m，根据余弦定理，可知(2c)2＝(a＋m)2＋(a－m)2－2(a＋m)(a－m)coseq\f(π,3)，整理得c2＝eq\f(a2＋3m2,4)，所以eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2)＝eq\f(c2,a2)＋eq\f(c2,m2)＝eq\f(a2＋3m2,4a2)＋eq\f(a2＋3m2,4m2)＝1＋eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3m2,a2)＋\f(a2,m2)))≥1＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(2＋\r(3),2)(当且仅当a2＝eq\r(3)m2时取等号)，故选A．秒杀由已知eq\f(θ,2)＝eq\f(π,6)，又由eq\f(sin2eq\f(θ,2),e12)＋eq\f(cos2eq\f(θ,2),e22)＝1，得eq\f(1,eeq\o\al(2,1))＋eq\f(3,eeq\o\al(2,2))＝4，eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2)＝eq\f(1,4)(eeq\o\al(2,1)＋eeq\o\al(2,2))(eq\f(1,eeq\o\al(2,1))＋eq\f(3,eeq\o\al(2,2)))＝1＋eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(eeq\o\al(2,2),e12)＋\f(3e12,eeq\o\al(2,2))))≥1＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(2＋\r(3),2)(当且仅当eeq\o\al(2,2)＝3eeq\o\al(2,1)时取等号)，故选A．96．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝θ，cosθ＝eq\f(4,5)，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()A．eq\f(4,3)B．eq\f(10,3)C．eq\f(5,3)D．eq\f(7,3)96．答案B秒杀由eq\f(sin2eq\f(θ,2),e12)＋eq\f(cos2eq\f(θ,2),e22)＝1，得eq\f(1,eeq\o\