备战中考数学（鲁教版五四制）巩固复习直角三角形的边角关系（含解析）

第页2023备战中考数学〔鲁教版五四制〕稳固复习-直角三角形的边角关系〔含解析〕一、单项选择题1.在中，，，，那么的长为(

)A.

；

B.

；

C.

；

D.

．2.如下图，某河堤的横断面是梯形ABCD，BC∥AD，迎水坡AB长为10米，斜坡AB的坡度i＝1：，那么河堤高BE等于(

)米

A.

B.

C.

4

D.

53.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果把Rt△ABC的各边的长都缩小为原来的，那么∠A的正切值〔〕A.

缩小为原来的

B.

扩大为原来的4倍

C.

缩小为原来的

D.

没有变化4.如图，某轮船在点O处测得一个小岛上的电视塔A在北偏西60°的方向，船向西航行20海里到达B处，测得电视塔A在船的西北方向，假设要轮船离电视塔最近，那么还需向西航行〔

〕

A.

海里

B.

海里

C.

海里

D.

海里5.如图，在△ABC中，∠A=30°，tanB=，AC=2，那么AB=〔〕

A.

4

B.

5

C.

6

D.

76.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，那么sinA=〔〕

A.

B.

C.

D.

7.在△ABC中，∠C=90°，∠A=72°，AB=10，那么边AC的长约为〔精确到0.1〕〔

〕A.

9.1

B.

9.5

C.

3.1

D.

3.58.一个直角三角形有两条边长为3，4，那么较小的锐角约为〔〕A.

37°

B.

41°

C.

37°或41°

D.

以上答案均不对9.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，AC=2，那么tanA的值为〔

〕

A.

2

B.

C.

D.

10.如图，某市在“旧城改造〞中方案在一块如下图的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，这种草皮每平方米a元，那么购置这种草皮至少要

(

)

A.

450a元

B.

225a元

C.

150a元

D.

300a元11.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，那么sinA的值为〔

〕A.

B.

C.

D.

112.如下图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，那么sinB的值为〔〕

A.

B.

C.

D.

1二、填空题13.一条船停留在海面上，从船上看灯塔位于北偏东30°，那么从灯塔看船位于灯塔的西偏南________°．14.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=，那么sinA=________．15.如图，从一艘船的点A处观测海岸上高为41m的灯塔BC〔观测点A与灯塔底部C在一个水平面上〕，测得灯塔顶部B的仰角为35°，那么观测点A到灯塔BC的距离为________．〔精确到1m〕

【参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7】

16.小丽在大楼窗口A测得校园内旗杆底部C的俯角为α度，窗口离地面高度AB=h〔米〕，那么旗杆底部与大楼的距离BC=________

米〔用α的三角比和h的式子表示〕

17.如图，沿倾斜角为30°的山坡植树，要求相邻两棵树间的水平距离AC为2m，那么相邻两棵树的斜坡距离AB约为________

m．〔结果精确到0.1m，可能用到的数据：

，〕．

18.如图．一-艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行,在处测得岛礁在东北方向上，继续航行1．5小时后到达处此时测得岛礁在北偏东方向,同时测得岛礁正东方向上的避风港在北偏东方向为了在台风到来之前用最短时间到达处,渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行________小时即可到达(结果保存根号)

19.如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，如果AB=5，BC=8，，那么EC=________.

20.在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，那么BC边长为________

．21.如图，点G是Rt△ABC的重心，过点G作矩形GECF，当GF：GE=1：2时，那么∠B的正切值为________．

22.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，那么该船航行的距离〔即AB的长〕为________

三、计算题23.计算：2sin60°＋|－3|－－.24.计算：．四、解答题25.计算〔结果保存小数点后四位〕

〔1〕sin23°5′+cos66°45′

〔2〕sin27.8°﹣tan15°8′．五、综合题26.阅读材料：

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，==，利用上述结论可以求解如下题目：

在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c．假设∠A=45°，∠B=30°，a=6，求b．

解：在△ABC中，∵=∴b====3．

理解应用：

如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，且乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达A2时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里．

〔1〕判断△A1A2B2的形状，并给出证明；〔2〕求乙船每小时航行多少海里？27.2023年年初，某小区应辖区派出所要求在广场树立一个“打黑除恶，共创和谐〞的矩形电子灯牌，如下图，施工人员在两侧加固合金框架，合金框架底端G距广告牌立柱距离FD为4米，从G点测得广告牌顶端F点和底端E点的仰角分别是60°和45°．

〔1〕假设AF长为5米，求灯牌的面积；〔2〕求两侧加固的铝合金框架总共用料多少米？〔此题中的计算过程和结果均保存根号〕答案解析局部一、单项选择题1.【答案】D【考点】锐角三角函数的定义【解析】【分析】在中，，所以.

选D2.【答案】A【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】【分析】由斜坡AB的坡度i=1：，可得到BE、AE的比例关系，进而由勾股定理求得BE、AE的长，由此得解．【解答】由斜坡AB的坡度i=1：得：

BE：AE=2：1，

设AE=x，那么BE=2x，

在直角三角形AEB中，根据勾股定理得：

102=x2+〔2x)2，

即5x2=100，

解得：x=

或x=-〔舍去)，

2x=

即河堤高BE等于米．

应选：A．【点评】此题主要考查的是坡度的定义和勾股定理的应用3.【答案】D【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，如果每个边都缩小为原来的，

∴锐角A的对边与邻边的比值不变，

∴锐角A的正切值不变．

应选D．

【分析】根据题意得到锐角A的对边与邻边的比值不变，然后根据正切的定义可判断锐角A的正切值不变．4.【答案】A【考点】解直角三角形的应用【解析】【解答】解：作AC⊥OB于C点，

只要到C处，轮船离电视塔最近，求出BC长即可，

由得：∠AOB=30°，∠ABC=45°、OB=20海里，

∴BC=AC，CO=AC÷tan∠AOB=AC÷tan30°=，

∵CO﹣CB=﹣AC=20，

解得：AC=海里，

∴BC=AC=10〔+1〕海里，

故答案为：A．

【分析】根据正切的定义和特殊角的三角函数值求出CO的值，求出BC=AC的值.5.【答案】B【考点】解直角三角形【解析】【分析】作CD⊥AB于点D，构造直角三角形，运用三角函数的定义求解．

【解答】作CD⊥AB于点D．

由题意知，∵sinA=，

∴CD=ACsinA

=ACsin30°

=，

∵cosA=，

∴AD=ACcos30°

=．

∵tanB=，

∴BD=2．

∴AB=AD+BD=2+3=5．

应选B．6.【答案】B【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：由勾股定理，得

AC===5，

sinA==，

应选：B．

【分析】根据勾股定理，可得AC的长，根据正弦等于对边比斜边，可得答案．7.【答案】C【考点】解直角三角形【解析】【解答】根据题意在Rt△ABC中，有cosA=，sinA=；

那么AC=AB•cosA=10×cos72°≈3.1；

应选C．

【分析】在Rt△ABC中，根据三角函数的定义，易得AB、AC及∠A的关系，进而计算可得答案．此题考查了解直角三角形的应用，要熟练掌握好边角之间的关系及三角函数的定义．8.【答案】C【考点】计算器—三角函数【解析】【解答】解：①假设3、4是直角边，

∵两直角边为3，4，

∴斜边长==5，

∴较小的锐角所对的直角边为3，那么其正弦值为；

②假设斜边长为4，那么较小边=≈2.65，

∴较小边所对锐角正弦值约==0.6625，

利用计算器求得角约为37°或41°．

应选C．

【分析】此题分情况计算：①假设3、4是直角边，利用勾股定理可求斜边，从而可求较小锐角的正弦值，再利用计算器可求角；②4是斜边，利用勾股定理可求较小边，从而求出其所对角的正弦值，再利用计算器可求角．9.【答案】B【考点】锐角三角函数的定义【解析】【分析】根据tanA是角A的对边比邻边，直接得出答案tanA的值．【解答】∵∠C=90°，BC=1，AC=2，

∴tanA=．

应选B．

【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练记忆锐角三角函数的定义是解决问题的关键．10.【答案】C【考点】解直角三角形的应用【解析】【分析】求出三角形地的面积即可求解．如下图，作BD⊥CA于D点．在Rt△ABD中，利用正弦函数定义求BD，即△ABC的高．运用三角形面积公式计算面积求解．

【解答】

如下图，作BD⊥CA于D点．

∵∠BAC=150°，

∴∠DAB=30°，

∵AB=20米，

∴BD=20sin30°=10米，

∴S△ABC=×30×10=150〔米2)．

这种草皮每平方米a元，

所以一共需要150a元．

应选C．

【点评】此题考查了通过作辅助线构建直角三角形，从而解斜三角形的能力．11.【答案】A【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】∵∠C=90°，AB=2BC，

∴sinA=

故答案为：A．

【分析】根据∠C=90°，AB=2BC，就可求出BC与AB的比值，再由锐角三角函数的定义，可求出sinA的值。12.【答案】B【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：由勾股定理得，AB=，

所以，sinB=​．

应选B．

【分析】根据勾股定理列式求出AB，再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．二、填空题13.【答案】60【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解析】【解答】解：如图

，

从船上看灯塔位于北偏东30°，那么从灯塔看船位于灯塔的南偏西30°，即西偏南60°，

故答案为：60．

【分析】根据方向角的表示方法，可得答案．14.【答案】【考点】锐角三角函数的定义【解析】【解答】解：如图

∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=，

∴sinA=

故答案为：

【分析】利用锐角三角函数的定义，即可求解。15.【答案】59m【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】【解答】解：由题意可得，

BC=41m，∠BAC=35°，∠ACB=90°，

∴tan∠BAC=，

即tan35°=，

∴0.7=，

解得，AC≈59

故答案为：59m．

【分析】根据题意可以得到BC=41m，∠BAC=35°，∠ACB=90°，然后根据锐角三角函数即可求得AC的值．16.【答案】【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，

∵∠ACB=α，AB=h，

∴BC==．

故答案为：．

【分析】根据题意可得，∠ACB=α，AB=h，然后利用三角函数求出BC的长度．17.【答案】2.3【考点】解直角三角形，解直角三角形的应用【解析】【解答】解：由题意可得，cos30°=，那么AB=≈2.3.

故答案为2.3.

【分析】解直角三角形，运用锐角函数.18.【答案】【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题【解析】【解答】如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，

在直角△AQP中，∠PAQ=45°，那么AQ=PQ=60×1.5+BQ=90+BQ〔海里〕，

所以BQ=PQ-90．

在直角△BPQ中，∠BPQ=30°，那么BQ=PQ•tan30°=PQ〔海里〕，

所以PQ-90=PQ，

所以PQ=45〔3+〕〔海里〕

所以MN=PQ=45〔3+〕〔海里〕

在直角△BMN中，∠MBN=30°，

所以BM=2MN=90〔3+〕〔海里〕

所以〔小时〕

故答案是：．

【分析】根据题意，添加辅助线：过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N，在Rt△AQP和Rt△BPQ中，利用解直角三角形分别求出BQ=PQ-90，及BQ=PQ，建立方程求出PQ及MN的长，从而可求出MB的长，再根据路程除以速度=时间，即可求解。19.【答案】5【考点】解直角三角形【解析】【解答】在△ABE中，AE⊥BC，AB=5，sinB=，

∴AE=4，

∴BE==3，

∴EC=BC-BE=8-3=5．

故答案为：5.

【分析】在直角三角形ABE中，sinB==,所以可求得AE=4，由勾股定理可得BE=3，所以EC=BC-BE=8-3=5．20.【答案】7或17【考点】解直角三角形【解析】【解答】解：∵在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，cos∠B=，

∴

解得BC=7或BC=17．

故答案为：7或17．

【分析】根据在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，可以利用余弦定理求得BC的长，从而可以解答此题．21.【答案】【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题【解析】【解答】连接AG并延长交BC于点H，

∵点G是Rt△ABC的重心，

∴BH=CH，AG:AH="2:3"，

∵GE∥BC，

∴△AGE∽△AHC，

∴GE:CH="AE:AC=2:3"，

设GE=2x，那么CH=3x，BC=6x，

∵GF：GE=1：2，

∴GF=HF=x，

∵四边形GECF是矩形，

∴CE=GF=x，

∴AC=2CE=3x，

∴tan∠B=．

【分析】连接AG并延长交BC于点H，因为点G是Rt△ABC的重心，所以BH=CH，AG:AH=2:3，再由相似三角形的判定定理可知△AGE∽△AHC，故可得出GE:CH=AE:AC=2:3，设GE=2x，那么CH=3x，再根据GF：GE=1：2可知，GF=HF=x，由于四边形GECF是矩形，故CE=GF=x，所以AC=2CE=3x，根据tan∠B=即可得出结论．22.【答案】2km【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥OB于D．

在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km，

∴AD=OA=2km．

在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB﹣∠AOB=75°﹣30°=45°，

∴BD=AD=2km，

∴AB=AD=2km．

即该船航行的距离〔即AB的长〕为2km．

故答案为2km．

【分析】过点A作AD⊥OB于D．先解Rt△AOD，得出AD=OA=2km，再由△ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=2km，那么AB=AD=2km．三、计算题23.【答案】解：原式＝2×＋3－2－3＝－【考点】特殊角的三角函数值【解析】【分析】考查特殊角的三角函数值。24.【答案】解：原式=【考点】特殊角的三角函数值【解析】【分析】先求出特殊角的三角函数,再进行二次根式化简．四、解答题25.【答案】解：〔1〕sin23°5′+cos66°45=0.39206+0.39474≈0.7686；

〔2〕sin27.8°﹣tan15°8′

=0.0184172﹣0.27044937

=﹣0.252032

≈﹣0.2520．【考点】计算器—三角函数【解析】【分析】熟练应用计算器，对计算器给出的结果，四舍五入法取近似数．五、综合题26.【答案】〔1〕解：△A1A2B2是等边三角形，理由如下：

连结A1B2．

∵甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，航行20分钟到达A2，

∴A1A2=30×=10，

又∵A2B2=10，∠A1A2B2=60°，

∴△A1A2B2是等边三角形；

〔2〕解：过点B作B1N∥A1A2，如图，

∵B1N∥A1A2，

∴∠A1B1N=180°﹣∠B1A1A2=1