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文档简介

人教A版选修2—3精讲细练离散型随机变量及其分布列两类特殊的离散型变量的分布列①两点分布列X01P1-PP像上面这样的分布列叫做两点分布列,如果随机变量X的分布列为两点分布列,就称X服从两点分布,而称P=P(x=1)为成功概率.【注】:两点分布又叫做0-1分布、伯努利分布.②超几何分布在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品数,则事件{X=k}发生的概率为P(X=k)=eq\f(CMkCN-Mn-k,CNn),k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.称分布列X01…mPeq\f(CM0CN-Mn-0,CNn)eq\f(CM1CN-Mn-1,CNn)…eq\f(CMmCN-Mn-m,CNn)为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列,则称随机变量X服从超几何分布.【题型一】:离散型随机变量的分布列例题1(1):已知随机变量的分布列为: X-2-1012分别求出随机变量,的分布列。【解析】由于对于不同的取值-2,-1,0,1,2,可得到的不同取值-1,,0,,1,相应的概率不变。所以的分布列为:-101 同理的值为0,1,4,且,,。所以,的分布列为:014例题1(2):口袋中有7个红球与3个白球,每次随机地取一个球,取出的白球不再放回,求取得红球前已经取出的白球数的公布列。【解析】设取得红球前已经取出的白球数为X,不难看出X的取值只有0,1,2,3四个,当X=0时,表示第一次就取得红球,概率为P(X=0)=;当X=1时,表示第一次取得白球,第二次取得红球,概率为P(X=1)=;当X=2时,表示前两次取得白球,第三次取得红球概率为P(X=2)==;当X=3时,表示前三次取得白球,第四次取得红球,概率为P(X=3)==。所以X的分布列如表2所示:X0123P【点评】要求分布列之前先明确随机变量可能取的所有值,以及取每个值的意义,对于不放回抽样,概率计算要每步分析。例题1(3):将3个小球任意地放入4个大的玻璃杯中去,杯子中球的最大个数记为X,求X的分布列。【解析】依题意可知,杯子中球的最大个数X的所有可能值为1,2,3,当X=1时,对应于四个杯子中恰有三个杯子各放一球的情形;当X=2时,对应于四个杯子中恰有一个杯子放两球的情形;当X=3时,对应于四个杯子中恰有一个杯子放三球的情形。当X=1时,P(X=1)=;当X=2时,P(X=2)==;当X=3时,P(X=3)=。可得X的分布列如表3:X123P【点评】求离散型随机变量的分布列,要求必须正确地求出相应的事件个数,即正确求出相应的排列、组合数,所以,掌握好排列、组合知识,是学好离散型随变量分布列的基础与前提。例题1(4):从一批含有13件正品、2件次品的产品中,不放回任取3件,求取得次品数为的分布列。【解析】设随机变量表示取出次品的个数,则服从超几何分布,其中,,,它的可能取值为0,1,2,相应的概率依次为:。∴的分布列为:012【点评】超几何分布是离散型随机变量的分布列中较常见的一种模型,要理解的意义,然后求出相应概率值,列出分布列即可。变式训练1:某射手有5发子弹,射击一次命中概率为,如果命中就停止射击,否则一直到子弹用尽,求耗用子弹数的分布列。【解析】当时,即第五次射击与前四次不同,只要前四次射不中,都要射第五发子弹,此时不必考虑是否射中,所以,故耗用子弹数的分布列为:变式训练2:袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个,从袋中任取3个小球,按3个小球上最大数字的9倍计分,每个小球被取出的可能性都相等,用X表示取出的3个小球上的最大数字,求:(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率;(2)随机变量X的概率分布列;(3)计算介于20分到40分之间的概率.【解析】(1)方法一:“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A,则P(A)=eq\f(C53C21C21C21,C103)=eq\f(2,3). 4分方法二:“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A,“一次取出的3个小球上有两个数字相同”的事件记为B,则事件A和事件B是对立事件, 2分因为P(B)=eq\f(C51C22C81,C103)=eq\f(1,3), 3分所以P(A)=1-P(B)=1-eq\f(1,3)=eq\f(2,3). 4分(2)由题意,X所有可能的取值为2,3,4,分P(X=2)=eq\f(C22C21+C21C22,C103)=eq\f(1,30); 6分P(X=3)=eq\f(C42C21+C41C22,C103)=eq\f(2,15); 7分P(X=4)=eq\f(C62C21+C61C22,C103)=eq\f(3,10); 8分P(X=5)=eq\f(C82C21+C81C22,C103)=eq\f(8,15). 9分所以随机变量X的概率分布列为X2345Peq\f(1,30)eq\f(2,15)eq\f(3,10)eq\f(8,15)(3)“一次取球得分介于20分到40分之间”的事件记为C,则P(C)=P(X=3或X=4)=P(X=3)+P(X=4)=eq\f(2,15)+eq\f(3,10)=eq\f(13,30).变式训练3:(2022年高考天津卷理科16)学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)(Ⅰ)求在一次游戏中,(i)摸出3个白球的概率;(ii)获奖的概率;(Ⅱ)求在两次游戏中获奖次数的分布列及数学期望.【解析】本小题主要考查古典概型及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识,考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力.(Ⅰ)(i)设“在一次游戏中摸出i个白球”为事件,则.(ii)设“在一次游戏中获奖”为事件B,则B=,又,且互斥,所以.(Ⅱ)由题意可知的所有可能取值为0,1,,2,P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=,所以的分布列是012P的数学期望=+=.变式训练4:(2022年高考江西卷理科16)某饮料公司招聘了一名员工,现对其进行一项测试,以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯,其颜色完全相同,并且其中4杯为A饮料,另外4杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝后,从8杯饮料中选出4杯A饮料.若4杯都选对,则月工资定为3500元;若4杯选对3杯,则月工资定为2800元,否则月工资定为2100元,令X表示此人选对A饮料的杯数,假设此人对A和B两种饮料

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