等差数列前n项和

等差数列前n项和(一)一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（人教版）第二章数列第三节等差数列前n项和第一课时。

教科书是从求1+2+3+…+100的高斯算法出发，并以1+2+3+…+n求和为过渡，目的是为了让学生发现等差数列任意的第k项与倒数第k项的和等于首项、末项的和这个规律。教科书给出的探究题就是为了让学生在前面基础上，把数列1+2+3+…+n内在的这种规律性推广到一般的等差数列，获得一般的等差数列求和思路。等差数列的前n项和公式是通过的高斯算法推广到一般等差数列的前n项和的算法。对等差数列前n项和公式的推导及应用，体现了特殊到一般、一般到特殊的思想：节的例1突出了等差数列求和公式的实际应用；例2强调了等差数列前n项和第2个求和公式的一个应用。从特殊到一般，可以帮助学生获取一般等差数列求和思路；从一般到特殊，可以使学生应用等差数列求和公式解决一些实际问题，使其来于实际，用于实际。

二、学生学习情况分析大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。三、教学目标掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.通过公式的推导过程，展现数学中的对称美。四、教学重点与难点重点：等差数列n项和公式的理解、推导及应用;难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题.五、教学过程(一)创设情景等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的问题。在200多年前，历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”的高斯就曾经上演了迅速求出等差数列这么一出好戏。那时，高斯的数学老师提出了下面的问题：1+2+3+……+100=？当时，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：（1+100）+（2+99）+……+（50+51）=101×50=5050高斯的算法实际上解决了求等差数列1，2，3，…，n，…前100项的和的问题。今天我们就来学习如何去求等差数列的前n项的和。这个故事告诉我们：（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西。（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法。(二)探索研究问题1:计算：．高斯是怎样计算的？第1项与末项相加,第2项与倒数第2项相加等.问题2:从高斯的算法中，你受到了什么启发？怎样求的和？倒序相加法问题3:你能将高斯的算法推广到求一般等差数列的前n项和吗？用符号表述你的想法．整个数列的第k项与倒数第k项的和与首项与尾项的和是相等的这个规律并且把这个规律用于求和中。这种方法是可以推广到求一般等差数列的前n项和的。(三)发现规律公式和问题4:公式和怎样互相转化？比较这两个公式，说说它们分别从哪些角度反映了等差数列的性质？总结:等差数列的前项和公式1:用上述公式要求必须具备三个条件：等差数列的前项和公式2：此公式要求必须已知三个条件：第一个公式反映了等差数列的任意的第k项与倒数第k项的和等于首项与末项的和这个内在性质。第二个公式反映了等差数列的前n项和与它的首项、公差之间的关系(四)公式应用根据下列各题中的条件，求相应的等差数列的前n项和S.⑴⑵(五)例题分析例1、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2022年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2022年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2022年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？先阅读题目；引导学生提取有用的信息，构件等差数列模型；写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前n项和公式进行求解。解：根据题意，从2022-2022年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元.所以，可以建立一个等差数列，表示从2022年起各年投入的资金，其中，d=50.那么，到2022年（n=10），投入的资金总额为（万元）答：从2022~2022年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.例2．已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？引导学生分析得到：等差数列前n项和公式就是一个关于的方程。若要确定其前n项求和公式，则要确定的关系式，从而求得。分析：将已知条件代入等差数列前n项和的公式后，可得到两个关于与d的二元一次方程，由此可以求得与d，从而得到所求前n项和的公式.解：由题意知，将它们代入公式得到解这个关于与d的方程组，得到=4，d=6，所以另解：得所以②②-①，得，所以代入①得：所以有例题评述：此例题目的是建