二次求导法解高考导数题

二次求导法解高考导数题胡贵平(甘肃省白银市第一中学，甘肃白银730900导数是研究函数性质的一种重要工具，用导函数判断原函数的单调性，如果导函数大于零，则原函数为增，导函数小于零，则原函数为减 .而当导数与0的大小确定不了时，对导函数或导函数中的一部分再构造，继续求导，也就是二次求导，不失为一种妙法，下面我们结合高考题来看看二次求导数题中的应用.1 (2017年高考课标n卷(文)(21))设函数f(x)二(1-X2)ex.(I)讨论f(x)的单调性；(II)当x_0时，f(x)辽ax•1，求a的取值范围.解：(I)略.(II)当x_0时，f(x)_ax1等价于ax_(1-x2)ex-1.若x=0，显然成立，a三R.若x0时，a_.4A，设g(x)J^A，TOC\o"1-5"\h\zx x_2xe x- -x?®一1 (_x3一x2x-1)ex1g(x) 2 —x x令h(x)二(-x3-x2x-1)ex1，h(x)--ex(x34x2x)：：0，所以h(x)在x・(0,•：：)内是减函数，易知 h(0)=0，所以当x・(0,•：：)时，h(x)：：：0，即g(x)：：：0，所以g(x)在(0,•：：)上单调递减，所以叫HxX叫HxXe)X2xzIniK-0—肚-x2-2x"乂乂勻二1，所以a-1，综上所述，a的取值范围是1,+：：.2 (2016年高考课标n卷(文)(20))已知函数f(x)=(x，1)lnx-a(x-1).(I)当a=4时，求曲线y=f(x)在1,f(1)处的切线方程;

(II)若当x「1,时，f(x)>0，求a的取值范围解：(I)略.(II)当x・(1「：)时，f(x)0等价于a：：：区如，设g(x)二区如X—1 X—1X+1g(x)x2「g(x)x2「2xlnx-1

x(x-1)2令h(x)二x-2xlnx-1，h(x)=2x-2lnx-2二2(x-lnx-1) 0，所以h(x)在x「1,=内是增函数，易知h(1)=0，所以当x"1,=时，h(x)0，即g(x) 0，所以g(x)在1,=上单调递增，所以(x+1)lnx (x+1)lnx—(1+1)1n1 八，丫 「(x+1), 1olim =lim =I(x+1)lnx] =| +1nxl=2，所以JX-1 心 X-1 XA[x -x吕a岂2，即a的取值范围是=-^',2].3(2010年高考安徽卷(理) (17))设a为实数，函数fX]=ex-2x•2a,x・R.(i)求fx的单调区间与极值；(n)求证：当a>In2-1且x>0时，ex>x2-2ax•1.解：(I)略.(n)设gx二ex-x22ax-1，则gx二ex-2x2a，继续对gx求导得gx二ex-2，当x变化时gx，gx变化如下表减极小值增由上表可知g'(xfg'(ln2)，而g'(ln2)=eln2—21n2+2a=2—21n2+2a=2(a—In2+1)，由a>ln2—1知gln20，所以g'(x)》0，即g(x)在区间(0，址)上为增函数.于是有gxg(0)，而g0二e0-022a0-1=0，故gx0，即当a>In2-1且x>0时，ex>x2—2ax1.4(2008年高考湖南卷(理)(21))已知函数2f(x)=In(1x)-(I)求函数f(x)的单调区间；.求.求a的最大(n)若不等式(1•—)na<e对任意的n-N*都成立(其中e是自然对数的底数)n值.解：(I)函数f(x)的定义域是(-1,=),22…、2In(1+x)x+2x 2(1+x)In(1+x)—x-2xf(x)22.TOC\o"1-5"\h\z1+x(1+x) (1+x)设g(x)=2(1x)ln(1x)-x-2x，则g(x)=2In(1x)-2x.2 -2x令h(x)=2In(1x)-2x，则h(x) 2 .1+x 1+x当—1：：：x：：：0时，h(x)■0,从而h(x)在(—1,0)上为增函数，当x0时，h(x)：：：0，从而h(x)在(0,=)上为减函数.函数g(x)在所以h(x)在x=0处取得极大值，而 h(0)=0，所以g(x)：：：0(x=函数g(x)在(-1,::)上为减函数.于是当一1：：：x：：0时，g(x)g(0)=0,当x0时，g(x)：：：g(0)=0.所以当-V.x0