数学人教A版必修4导学案1.1.2弧度制

1.1.2弧度制1.了解弧度制，明确1弧度的含义.2.能进行弧度与角度的互化.3.掌握弧度数的计算公式及其应用.(1)定义：以为单位度量角的单位制叫做弧度制.(2)度量方法：长度等于________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.如图所示，圆O的半径为r，的长等于r，∠AOB就是1弧度的角.一定大小的圆心角α的弧度数是所对弧长与半径的比值，是唯一确定的，与半径大小无关.(3)记法：弧度单位用符号表示，，单位通常省略不写.【做一做1】下列表述中正确的是()，它是角的一种度量单位一般地，正角的弧度数是一个数，负角的弧度数是一个数，零角的弧度数是.如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝.(1)弧长公式：l＝|α|r.(2)扇形面积公式：S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r2.【做一做2】已知半径为10cm的圆上，有一条弧的长是40cm(1)角度转化为弧度：360°＝rad,180°＝rad，1°＝rad≈45rad.(2)弧度转化为角度：2πrad＝，πrad＝，1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1())°≈57.30°＝57°18′.(3)特殊角的弧度数与角度数对应表：角度0°15°30°45°60°75°90°120°135°150°弧度0eq\f(π,12)____________eq\f(5π,12)________________角度180°210°225°240°270°300°315°330°360°弧度____eq\f(7π,6)eq\f(5π,4)eq\f(4π,3)eq\f(3π,2)eq\f(5π,3)eq\f(7π,4)eq\f(11π,6)____(4)角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起关系：每一个角都有唯一的一个(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.【做一做3－1】把50°化为弧度为() B.eq\f(5,18)π C.eq\f(18,5π) D.eq\f(9000,π)【做一做3－2】把eq\f(2,5)πrad化为度为()A.52° B.36° C.72° D.90°答案：1．(1)弧度(2)半径长(3)rad【做一做1】D2．正负0eq\f(l,r)【做一做2】43．(1)2ππeq\f(π,180)(2)360°180°eq\f(180,π)(3)eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)π2π(4)一一对应实数角【做一做3－1】B【做一做3－2】C剖析：(1)象限角的表示：角α终边所在象限集合第一象限eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|2kπ<α<2kπ＋\f(π,2)，k∈Z))第二象限eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|2kπ＋\f(π,2)<α<2kπ＋π，k∈Z))第三象限eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|2kπ＋π<α<2kπ＋\f(3,2)π，k∈Z))第四象限eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|2kπ＋\f(3,2)π<α<2kπ＋2π，k∈Z))(2)轴线角的表示：角α终边所在的坐标轴集合x轴非负半轴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ，k∈Z))x轴非正半轴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋π，k∈Z))x轴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝kπ，k∈Z))y轴非负半轴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋\f(π,2)，k∈Z))y轴非正半轴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ－\f(π,2)，k∈Z))y轴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝kπ＋\f(π,2)，k∈Z))坐标轴eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝\f(k,2)π，k∈Z))剖析：主要从定义、意义、换算、写法等方面考虑.(1)从定义上：弧度制是以“弧度”为单位度量角的单位制，角度制是以“度”为单位度量角的单位制.因此弧度制和角度制一样，都是度量角的方法.(2)从意义上：1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角(或该弧)的大小，而1°是圆的周长的eq\f(1,360)所对的圆心角(或该弧)的大小；任意圆心角α的弧度数的绝对值|α|＝eq\f(l,r)，其中l是以角α作为圆心角时所对的圆弧长，r为圆的半径.(3)从换算上：1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°，1°＝eq\f(π,180)rad.(4)从写法上：用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写，这时弧度数在形式上虽是一个不名数，但我们应当把它理解为名数；如果以度“°”为单位表示角时，度“°”就不能省去.题型一角度与弧度的互化【例1】把下列角度化成弧度或弧度化成角度.(1)310°；(2)eq\f(5π,12)rad.分析：利用下列公式换算：1°＝eq\f(π,180)rad；1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°.反思：n°＝eq\f(nπ,180)rad，xrad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)x))°.题型二比较大小【例2】利用计算器比较sin1和sin1°的大小.反思：比较sinα与sinβ，cosα与cosβ，tanα与tanβ的大小时，通常使用计算器来完成，要注意α与β的单位.题型三扇形的弧长和面积公式【例3】已知一扇形的周长为40cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？分析：设出扇形的半径r，弧长l，面积S，列出S关于r的函数解析式，转化为求二次函数的最大值.反思：(1)在弧度制下的弧长公式、扇形的面积公式简洁明了，灵活应用这些公式列方程组求解是解决这类问题的关键；(2)在研究实际问题中的最值问题时，往往转化为二次函数的最值问题，这是经常用到的思想方法.题型四易错辨析易错点混淆了用弧度制和角度制表示的角【例4】α＝π，β＝π°，则有()A.α＝β B.α＞βC.α＜β D.α与β的大小不确定错解：由于π＝π，则α＝β，故选A.错因分析：错解中混淆了π与π°的区别，π的单位是弧度，而π°的单位是度.反思：角度制下的单位不能省略，而弧度制下的单位通常省略不写，因此要注意区分弧度制和角度制表示的角.答案：【例1】解：(1)310°＝eq\f(π,180)rad×310＝eq\f(31π,18)rad.(2)eq\f(5π,12)rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)×\f(5π,12)))°＝75°.【例2】解：由计算器eq\x(MODE)eq\x(MODE)2eq\x(sin)1eq\x(＝)470984.eq\x(MODE)eq\x(MODE)1eq\x(sin)1eq\x(。，，，)eq\x(＝)452406.∴sin1＞sin1°.【例3】解：设扇形的圆心角为θ，半径为rcm，弧长为lcm，面积为Scm2，则l＋2r＝40，∴l＝40－2r.∴S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×(40－2r)r＝20r－r2＝－(r－10)2＋100.∴当r＝10时，扇形的面积最大，最大值为100cm2，这时θ＝eq\f(l,r)＝2.【例4】B正解：α＝π＝180°，因为180°＞π°，所以α＞β.1．下列各式正确的是()A.＝90 B.＝10° C.3°＝ D.38°＝2．下列各式正确的是()3.7°＜cos3.8° ＞sin2.7°46°＞tan44 ＜tan3．把－900°化为弧度为________.4．若扇形的周长是16cm，圆心角是2rad，则扇形的面积是5．如图所示，扇形AOB的面积是4cm2，它的周长是10cm答案：1．B2．C借助于计算器有：cos3.7°≈9＞cos3.8°≈8，所以A项不正确；sin≈8＜sin2.7°≈1，所以B项不正确；tan