新教材北师大版数学课后落实6-5-1第1课时直线与平面垂直的性质

课后素养落实(四十七)直线与平面垂直的性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．空间中直线l和三角形ABC所在的平面垂直，则这条直线和三角形的边AB的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交D．不确定B[因为直线l和三角形所在的平面垂直，又因为三角形的边AB在这个平面内，所以l⊥AB.]2．若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为()①a⊥α，b∥α⇒a⊥b；②a⊥α，a⊥b⇒b∥α；③a∥α，a⊥b⇒b⊥α；④a⊥α，b⊥α⇒a∥b.A．1B．2C．3D．0B[由线面垂直的性质知①、④正确．②中b可能满足b⊂α，故②错误；③中b可能与α相交(不垂直)，也可能平行，故③不正确．]3．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是()A．相交 B．平行C．异面 D．相交或平行B[∵圆柱的母线垂直于圆柱的底面，所作的垂线也垂直于底面，由线面垂直的性质定理可知，二者平行．]4．若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线()A．平行 B．相交C．异面 D．以上皆有可能D[在正方体ABCD­A1B1C1D1中，A1A，B1B与底面ABCD所成的角相等，此时两直线平行；A1B1，B1C1与底面ABCD所成的角相等，此时两直线相交；A1B1，BC与底面ABCD所成的角相等，5．给出下列三个命题，其中正确的个数是()①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；③一条直线在平面内的投影是一点，则这条直线和这个平面垂直．A．0B．1C．2D．3C[①错，②③对．]二、填空题6．若m、n表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为________．①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m∥n,m⊥α))⇒n⊥α； ②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥α,n⊥α))⇒m∥n；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥α,n∥α))⇒m⊥n; ④eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m∥α,m⊥n))⇒n⊥α.3[①②③正确，④中n与α可能有：n⊂α或n∥α或相交(包括n⊥α).]7.如图所示，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________．6[∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，∴AF∥DE.又AF＝DE，∴四边形AFED为平行四边形，故EF＝AD＝6.]8．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AD的中点，F是BB1的中点，则直线EF与平面ABCDeq\f(\r(5),5)[如图，连接EB，由BB1⊥平面ABCD，知∠FEB即为直线EF与平面ABCD所成的角．在Rt△FBE中，BF＝1，BE＝eq\r(5)，则tan∠FEB＝eq\f(\r(5),5).]三、解答题9．判断下列命题是否正确，并说明理由(l，m，n是不同的直线，α为平面)：(1)l∥m，m∥n，l⊥α⇒n⊥α；(2)l∥m，m⊥α，n⊥α⇒l∥n；(3)l∥α，l⊥m⇒m⊥α.[解](1)因为l∥m，m∥n，所以l∥n，又l⊥α，所以n⊥α.即命题(1)正确．(2)因为m⊥α，n⊥α，所以m∥n，又l∥m，所以l∥n.即命题(2)正确．(3)因为l∥α，l⊥m，所以m⊂α或m⊥α或m∥α或m与α斜交．即命题(3)不正确．10.如图，MA⊥平面ABC，在直角三角形BMC中，∠BCM＝90°，∠MBC＝60°，BM＝5，MA＝3，求MC与平面ABC所成角的正弦值．[解]因为MA⊥平面ABC，所以∠MCA即为MC与平面ABC所成的角．又因为∠MBC＝60°，所以MC＝eq\f(5\r(3),2)，所以sin∠MCA＝eq\f(MA,MC)＝eq\f(3,\f(5\r(3),2))＝eq\f(2\r(3),5).11．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的()A．外心 B．内心C．重心 D．旁心A[如图，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PB＝PC，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．]12．如图所示，三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成角的度数为()A．30° B．45°C．60° D．90°B[因为PA⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的投影为AB，所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角．在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，所以∠PBA＝45°，即直线PB与平面ABC所成的角等于45°.]13．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC＝6，BC＝8，EC⊥平面ABC，且EC＝12，则ED＝________．13[如图，连接CD，则在Rt△ABC中，CD＝eq\f(1,2)AB.因为AC＝6，BC＝8，所以AB＝eq\r(62＋82)＝10.所以CD＝5.因为EC⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，所以EC⊥CD.所以ED＝eq\r(EC2＋CD2)＝eq\r(122＋52)＝13.]14．下列说法中，正确的序号为________．①如果一条直线和一个平面垂直，该直线垂直于平面内的任一直线；②如果直线l不垂直于平面α，则平面α内不存在与l垂直的直线；③如果一条直线与平面内的一条直线垂直，则该直线与此平面必相交；④如果一条直线和平面的一条垂线垂直，该直线必与这个平面平行．①[由线面垂直的定义可知，①正确．利用长方体模型可以构造反例说明②③④错误．]15．过△ABC各边的中点D，E，F分别作各边的垂面，这三个垂面能否交于同一条直线？若能，这条直线有何特点？若不能，请说明理由．[解]设过点D，E，F作AB，BC，CA的垂面分别为α，β，γ(如图)，则有α∩β＝l，否则若α∥β，则AB⊥α，AB⊥β.∵BC⊥β，AB⊥β，∴BC∥AB，，这与BC∩AB＝B矛盾，因此α∩β＝l.设l∩平面ABC＝O，l与OF确定的平面为γ′.∵AB⊥α，OD⊂α，∴AB⊥OD，同理BC⊥OE，O是AB，BC垂直平分线的交点，即O是△A