数学北师大版选修1-1训练1-4导数及其应用

第4课时导数及其应用1.已知f(x)=x392x2+6xa,若对任意实数x,f'(x)≥m恒成立,则m的最大值为(A.3 B.2 C.1 D.3解析:f'(x)=3x29x+6,因为对任意实数x,f'(x)≥m恒成立,即3x29x+(6m)≥0恒成立,所以Δ=8112(6m)≤0,解得m≤34,即m的最大值为34,故选答案:D2.设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是()A.∀x∈R,f(x)≤f(x0)B.x0是f(x)的极小值点C.x0是f(x)的极小值点D.x0是f(x)的极小值点解析:f(x)与f(x)的图像关于原点对称,故x0(x0≠0)是f(x)的极大值点时,x0是f(x)的极小值点,故选D.答案:D3.若函数f(x)=kxlnx在区间(1,+∞)单调递增,则k的取值范围是()A.(∞,2] B.(∞,1]C.[2,+∞) D.[1,+∞)解析:由f'(x)=k1x,又f(x)在(1,+∞)上单调递增,则f'(x)≥0在x∈(1,+∞)上恒成立即k≥1x在x∈(1,+∞)上恒成立又当x∈(1,+∞)时,0<1x<1,故k≥1.故选D答案:D4.函数f(x)=1+x+x22+x33(x∈A.0 B.1 C.2 D.3解析:因为f'(x)=1+x+x2=x+122+34>0,因此函数f(x)在R上单调递增,且f(2)=53<0,f(2)=233>0,因此函数f答案:B5.若0<x1<x2<1,则()A.ex2-ex1>B.ex2-ex1<C.x2ex1>xD.x2ex1<x解析:令f(x)=exx,则f'(x)=当0<x<1时,f'(x)<0,即f(x)在(0,1)上单调递减.∵0<x1<x2<1,∴f(x2)<f(x1),即ex∴x2ex1>x1ex2答案:C6.(2015陕西高考)函数y=xex在其极值点处的切线方程为.

解析:令y'=(x+1)ex=0,得x=1,则切点为-1∵函数在极值点处的导数为0,即切线斜率为0,则切线方程为y=1e答案:y=17.(2015天津高考)已知函数f(x)=axlnx,x∈(0,+∞),其中a为实数,f'(x)为f(x)的导函数,若f'(1)=3,则a的值为.

解析:因为f(x)=axlnx,所以f'(x)=alnx+ax·1x=a(lnx+1)由f'(1)=3得a(ln1+1)=3,所以a=3.答案:38.已知函数f(x)=ex(ax22x+2),其中a>0.(1)若曲线y=f(x)在x=2处的切线与直线x+e2y1=0垂直,求实数a的值;(2)讨论f(x)的单调性.解f'(x)=ex[ax2+(2a2)x](a>0).(1)由题意得f'(2)·-1e2=1,解得(2)令f'(x)=0,得x1=0,x2=2-①当0<a<1时,f(x)的增区间为(∞,0),2-2aa②当a=1时,f(x)在(∞,+∞)内单调递增;③当a>1时,f(x)的增区间为-∞,2-2aa,(09.导学号01844061已知函数f(x)=(4x2+4ax+a2)x,其中a<0.(1)当a=4时,求f(x)的单调递增区间;(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8,求a的值.解(1)当a=4时,由f'(x)=2(5x-2)(x-2由f'(x)>0得x∈0,25或x∈(2,故函数f(x)的单调递增区间为0,25和(2,+(2)因为f'(x)=(10x+a由f'(x)=0得x=a10或x=a当x∈0,-a10时,f(x当x∈-a10,-a2时,f当x∈-a2,+∞时,f易知f(x)=(2x+a)2x≥0,且f-a2=①当a2≤1时,即2≤a<0时,f(x)在[1,4]上的最小值为f(1),由f(1)=4+4a+a2=8,得a=±222,均不符合题意②当1<a2≤4时,即8≤a<2时,f(x)在[1,4]上的最小值为f-a2=0③当a2>4时,即a<8时,f(x)在[1,4]上的最小值可能在x=1或x=4上取得,而f(1)≠8由f(4)=2(64+16a+a2)=8得a=10或a=6(舍去),当a=10时,f(x)在(1,4)单调递减,f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)=8,符合题意.综上有,a=10.10.导学号01844062已知函数f(x)=ax2+xxlnx.(1)若a=0,求函数f(x)的单调区间;(2)若f(1)=2,且在定义域内f(x)≥bx2+2x恒成立,求实数b的取值范围.解(1)当a=0时,f(x)=xxlnx,函数定义域为(0,+∞).f'(x)=lnx,由lnx=0,得x=1.当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)在(0,1)上是增函数;当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)在(1,+∞)上是减函数.(2)由f(1)=2,得a+1=2,所以a=1,因此f(x)=x2+xxlnx.由f(x)≥bx2+2x,