一-不等式市公开课获奖课件省名师优质课赛课一等奖课件

新课导入回顾旧知..ABaba___b______>0BA..baa___b______<0>a-b<a-b1/481.假如a=b,那么a-b___0。2.我们能够用什么方法比较两个实数大小？=

比较法（0是标杆）思索2/48经过考查它们与0大小关系，得出结论。例1比较（x+1）（x+2）与（x-3）（x+6）得大小。3/48解：因为>

0所以（x+1）（x+2）-（x-3）（x+6）=（x2+3x+2）-（x2+3x-18）=20（x+1）（x+2）>（x-3）（x+6）4/481.1不等式5/48教学目标知识与能力1.熟练掌握不等式基本性质和基本不等式，并能够用它们处理简单问题。2.了解基础不等式几何和代数解释。6/48过程与方法1.经过复习和回顾不等式基本性质和基本不等式，使学生对不等式认识深入加深。2.利用数形结合,掌握基本不等式在几何和代数两方面意义。7/48情感态度与价值观2.经过数形结合，使学生感受数学美。1.经过处理实际问题,使学生充分认识不等式主要性。8/48教学重难点重点1.不等式基本性质。2.基本不等式及其应用。难点三个正数算术-几何平均不等式及其应用。9/48探究

等式有“等式两边同加（或减）一个数，等式依然成立”“等式两边同乘（或除以）一个数，等式依然成立”等基本性质。类比等式这些性质，不等式有哪些基本性呢？类比思想10/48(1)a>bb<a(2)a>b,b>ca>c(3)

a>ba+c>b+c(4)a>b,c>0ac>bca>b,c<0ac<bc(5)a>b>0(6)a>b>0an>bn11/48思索

观察不等式基本性质，并与不等式基本性质比较，你认为在研究不等式时，需要尤其注意什么问题？尤其注意“符号问题”12/48例2

已知a>b>0,c>d>0,求证关键是证实即证实13/48于是，所以由a>0，得故，即性质4性质4性质2性质6因为c>d>0,

所以cd>0,c-d>0,证明由a>b>0,，得14/48练习求证假如a,b∈R,那么a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时，等号成立。

因为a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,当且仅当a=b时等号成立，所以a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时，等号成立。很主要定理证明15/48探究你能从几何角度解释上述定理吗？16/48ABJCEFDIKGbabab即矩形BCGH和矩形JCDI成为两个正方形时等号成立。分析如图，S正方形ABCD+S正方形CEFG=a2+b2,S矩形BCGH+S锯形JCDI=2ab.有图形可知，a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时，等号成立。17/48主要不等式基本不等式恒等变形注:18/48探究

观察下列图，假如AD=a,BD=b,OC是斜边AB中线,你能给出基本不等式几何意义吗？CBDOA19/48分析在图中，CD⊥AB,AO=OB,于是OC=AB=(a+b),因为∠DCA+∠A=90o,∠B+∠A=90o所以∠DCA=∠B.于是Rt△DCA和Rt△DBC相同.从而即所以CD=20/48

总而言之可知,基本不等式几何意义是:直角三角形斜边上中线大于斜边上高。（即半弦长小于等于半径）当a≠b时，在Rt△OCD中，斜边CO大于直角边CD,即当a=b时，在Rt△ABC斜边AB中线CO和高CD重合,即21/48例3求证:(1)在全部周长相同矩形中，正方形面积最大；(2)在全部面积相同矩形中,正方形周长最短。提醒

基本不等式包括两个正数和与积之间数量关系,所以能够考虑利用基本不等式进行证实。22/48依据基本不等式证明设矩形长为x,宽为y。(1)设矩形周长为定值L,即2x+2y=L。可得：xy≤,当且仅当x=y时，等号成立.即当且仅当矩形是正方形时，面积xy取得最大值23/48(2)设矩形面积为定值S，即xy=S为定值。基本不等式2(x+y)≥4=4,当且仅当x=y时，等号成立。即当且仅当矩形是正方形时，周长2(x+y）取最小值424/48总结对两个正实数x,y，假如它们和S是定值，则当且仅当x=y时，它们积P取得最大值；假如它们积P是定值，则当且仅当x=y时，它们和S取得最小值。很主要！简称：一“正”，二“定”，三“相等”25/48思索

某居民小区要建一座八边形休闲场所，它主体造型平面图（如图）是由两个相同矩形ABCD和EFGH组成面积为200平方米十字型地域.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为每平方米80元。HGDAEFBCMNQP26/48(1)设总造价为S元，AD长为x米，试建立S关于x函数关系式；(2)当x为何值时，S最小？并求出这个最小值。提醒

该问题属于利用基本不等式处理最值问题。求：27/48解：(1)设DQ=y米，则x2+4xy=200,从而y=于是S=4200x2+210×4xy+80×2y2=4200x2+210×4x+80×2=38000+4000x2+28/48(2)

由上可知，当AD约为3.16米时，休闲场所总造价S取最小值118000元。依据基本不等式得所以S≥38000+80000=118000,4000x2+≥2=80000,当且仅当4000x2=即x=≈3.16时，等号成立。29/48反思

利用基本不等式处理极值问题，要先写出函数解析式，然后判断是否能够借助于基本不等式去处理。30/48思索

基本不等式给出了两个正数算术平均数与几何平均数关系，这个不等式能否推广呢？比如，对于3个正数，会有怎样不等式成立？31/48猜想32/48证明(x+y)3=x3+3x2y+3xy2+y3x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)因为a3+b3+c3-3abc=(a+b)3-3a2b-3ab2+c3-3abc=(a+b)3+c3-3a2-3ab2-3abc=(a+b+c)〔(a+b)2-(a+b)c+c2〕-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)=(a+b+c)〔(a-b)2-(b-c)2+(c-a)2〕≥0所以a3+b3+c3≥3abc,当且仅当a=b=c时，等号成立。33/48结论三个正数算术平均数大于它们几何平均数假如a,b,cR+,那么，当且仅当a=b=c时，等号成立。34/48推广对于n个正数a1,a2,…,an,它们算术平均数大于它们几何平均数，即：当且仅当a1=a2=…=an时，等号成立。35/48例4提醒本题包括三个实数和积，能够考虑基本不等式推广。已知x,y,zR+,求证(x+y+z)3≥27xyz36/48证明37/48

在表面积一定长方体中，以正方体体积最大吗？探究猜测应该是……38/48设长方体三条相交于同一顶点棱长分别为x,y,z,则长方体体积为V=xyz,即x=y=z时，等号成立。所以，当长方体是正方体时，体积取得最大值，最大值是证明因为A=2xy+2yz+2zx≥6这里A为定值,即A≥6从而V=,当且仅当xy=yz=zx39/48课堂小结1.不等式基本性质。(1)a>bb<a

(2)a>b,b>c

a>c(3)

a>ba+c>b+c(4)a>b,c>0ac>bca>b,c<0ac<bc(5)a>b>0(6)a>b>040/482.

基本不等式及其应用。41/483.基本不等式推广对于n个正数a1,a2,…,an,它们算术平均数大于它们几何平均数，即：当且仅当a1=a2=…=an时，等号成立。42/48随堂练习1.已知0<x<,求函数y=x(1-2x)最大值.由上可知，y最大值是解:因为0<x<，故1-2x>0,依据基本不等式可得：2x(1-x)≤即:y=2x(1-2x)≤当且仅当x=时，等号成立。43/482.若M=(2x+3)(x-4),N=(x-7)(x+3)+8,讨论M与N大小关系。解：M-N=(2x+3)(x-4)-(x-7)(x+3)-8=x2