基础数学（第12章）

主讲老师：第9章充要条件第10章三角计算第11章数列第12章平面向量第13章圆锥曲线aS=v七非的事情.两人就不能汇合呢?平面向量的概念12.2平面向量的线性运算平面向量的内积平面向量的坐标表示及坐标运算▶平面向量的概念如图12-1所示，汽车从A点出发向东行驶到达B点，再向向和距离，那么这种既有方向又有大小的量是什么呢?北C南在数学中，只有大小、没有方向的量称为数量，如身高、年龄、长度、质量、温度、面积等；而既有大小又有方向的量则称为向量，如速度、位移、力等.在物理学中，数量常称为标量，向量常称为矢量.如图12-2所示，若线段规定了起点和终点，那么就说这个线段具有方向性，这样的线段称为有向线段，以点A为起点、点B为终点的有向线段记作AB,箭头表示其方向.本章只在平面中研究向量，即本章所提及的向量均指平面向量.应将有向线段的起点写在终点前而.如果AB如果AB与CD是共线向量，那么A,B,C,D四点一定共线吗?头脑风暴用有向线段表示两个相等向量，如果它们的起点相同，那么终点是否相同呢?如图12-3所示，向量a,b,c平行，任意作一条与a所在直线平行的直线l,在/上任取一点0,则可在l上分别作出OA=a,OB=b,OC=c.这就是说，任意一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此，平行向量又称为共线向量.模相等且方向相同的向量称为相等向量.向量a与b相等记作a=b.与向量a的模相等，且方向相反的向量称为向量a的负向量，记作-a.按照规定，零向量的负向量仍为零向量.例1例1甲汽车从A甲汽车从A处向正北方向行驶100m,乙汽车从A处向正东方向行驶100m.那么这两辆汽车的位移相同吗?请用有向线段分别表示这两辆汽车的位移.在如图12-5所示的向量中，找出符合以下要求的向量.(1)平行向量；(3)相等向量；As(2)模相等的向量；(4)互为负向量的向量.DF解1.在重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中，哪些是数量?哪些是向量?2.分别用有向线段表示以下内容.(1)竖直向下、大小为5N的力；(2)水平向右、大小为10N的力.3.如图12-6所示，已知平行四边形ABCD,在以A,B,C,D任一点为起点，其余点为终点的所有向量中，向4,如图12-7所示，已知D,E,F分别为△ABC三边的中点，在以A,B,C,D,E,F任一点为起点，其余点为终点的所有向量中，分别找出与向量DE,EF,历相等的向量，AAFcD图12-7面向量的概念.课堂练习1.如图12-15所示，已知向量a,b,分别作出向量a+b.图12-152.如图12-16所示，已知向量a,b,c,则：图12-16 . a-b=a+(-b).求向量差的运算称为向量的减法.如图12-18所示，已知向量a与b,在平面内任取一点0,作出OA=a,OB=b,则向量即为向量a与b的差，即a-b=OA-OB=BA.由图12-18可知，起点相同的两个向量a与b,其差仍然是一个向量，称为a与b的差向量.差向量的起点是向量b的终点，终点是向量a的终点.例3如图12-19(a)所示，已知向量c与d,作出向量c-d.解如图12-19(b)所示，在平面内任取一点O,作出OC=c,OD=d,则DC=c-dDC图12-19当A>0时，a的方向与a的方向相同；当A<0时，Aa的方向与a的方向相反；当A=0时，Aa=0.数与向量相乘的运算称为向量的数乘运算.对于任意向量a,b及任意实数λ,μ,向量的数乘运算都具有以下性质.(2)(Aμ)a=A(μa)=μ(Aa).学以致用图12-23图12-28注意两个向量的内积是与两个向量的大小及其夹角有关.于是，我们将a称为向量“,b的内积(或数量积),记作a·b,即学以致用的夹角θ为60°,求(2a+b)·(a-2b).解因为课堂练习的夹角θ为60°,求：学以致用AC=a+b,DB=a-b,|AB³=AD平面向量的坐标表示及坐标运算>12.4.2平面向量的坐标运算图12-36,.学以致用1.如图12-41所示，分别用基底i,j表示向量a,b,c,d,并计算出它们的坐标.2.如图12-42所示，点O是坐标原点，点A位于第一象限，|OA|=4√3,∠AOx=60°,求向量OA的坐标.已知向量a,b,求a+b,-3b,-3a+2b的坐标.2.2.平面向量内积的坐标表示也就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积之和，即由此还可得出以下结论.所以学以致用求a和b的内积.夹角θ.3.判断下列各组向量是否垂直.求求a与b的象棋的棋盘像一个平面直角坐标系，棋子的位置可以用坐标来表示，棋子每走一步的位移可以用向量来表示.为什么本来不在一个位置的两个棋子，经过几次位移，就会走到一起，导致其中一个棋子“吃掉”另棋子呢?向量是既有大小又有方向的量，它既有数字特征，又有几何特征.通过向量可以实现代数问题与几何问题的相互转化，因此向量是数形结合的桥梁.用平面(1)建立几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素(如点、线段、夹角等),将几何问题转化为向量问题.(2)通过平面向量坐标运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等.(3)将运算结果“翻译”成几何关系.1.平面向量坐标运算的物理应用在物理中，力、速度等都是既有大小又有方向的量，因此向量是解决许多物理问题的有力工具.用平面向量坐标运算解决物理问题时，一般步骤如下.(1)将相关物理量用几何图形表示出来.(2)通过平面向量坐标运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等.(3)将数学问题还原为物理问题.如图12-44所示，夹角为90°的两根绳子提起一个重物，每根绳子用力4N,求物体所受的重力.图12-44在本章中，我们一方面通过数形结合来研究平面向量的概念、表示方法及运算，另一方面通过将平面向量与平面直角坐标系紧密联系起来，学习了平面量的坐标表