2018版高中数学（人教A版）必修2同步练习题：第2章 学业分层测评12

学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是()A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α B．m⊥b，b∥αC．m∩b＝A，b⊥α D．m∥b，b⊥α【解析】由线线平行及线面垂直的判定知选项D正确．【答案】D2．如图2­3­6，三棱锥P­ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，则直线PB和平面ABC所成的角是()图2­3­6A．∠BPAB．∠PBAC．∠PBCD．以上都不对【解析】由PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，得PA⊥平面ABC，所以∠PBA为BP与平面ABC所成的角．故选B.【答案】B3．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面()A．有且只有一个 B．至多一个C．有一个或无数个 D．不存在【解析】若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．【答案】B4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1A.eq\f(\r(2),3) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(\r(6),3)【解析】如图所示，连接BD交AC于点O，连接D1O，由于BB1∥DD1，∴DD1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角．易知∠DD1O即为所求．设正方体的棱长为1，则DD1＝1，DO＝eq\f(\r(2),2)，D1O＝eq\f(\r(6),2)，∴cos∠DD1O＝eq\f(DD1,D1O)＝eq\f(2,\r(6))＝eq\f(\r(6),3).∴BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为eq\f(\r(6),3).【答案】D5．正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点PA．线段B1B．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1【答案】A[如图，由于BD1⊥平面AB1C，故点P一定位于B1二、填空题6．如图2­3­7，平面α∩β＝CD，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，则CD与AB的位置关系是________.图2­3­7【解析】∵EA⊥α，CD⊂α，根据直线和平面垂直的定义，则有CD⊥EA.同样，∵EB⊥β，CD⊂β，则有EB⊥CD.又EA∩EB＝E，∴CD⊥平面AEB.又∵AB⊂平面AEB，∴CD⊥AB.【答案】CD⊥AB7．如图2­3­8所示，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有________．图2­3­8【解析】eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC))⇒eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥BC,AC⊥BC,PA∩AC＝A))⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC，∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.【答案】4三、解答题8．如图2­3­9，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：AE⊥BE.图2­3­9【证明】∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，∴BC⊥平面ABE.又AE⊂平面ABE，∴AE⊥BC.∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴AE⊥BF.又∵BF⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BF∩BC＝B，∴AE⊥平面BCE.又BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE.9．如图2­3­10所示，三棱锥A­SBC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.求直线AS与平面SBC所成的角．图2­3­10【解】因为∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB与△SAC都是等边三角形．因此AB＝AC.如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD，则AD⊥BC.设SA＝a，则在Rt△SBC中，BC＝eq\r(2)a，CD＝SD＝eq\f(\r(2),2)a.在Rt△ADC中，AD＝eq\r(AC2－CD2)＝eq\f(\r(2),2)a.则AD2＋SD2＝SA2，所以AD⊥SD.又BC∩SD＝D，所以AD⊥平面SBC.因此∠ASD即为直线AS与平面SBC所成的角．在Rt△ASD中，SD＝AD＝eq\f(\r(2),2)a，所以∠ASD＝45°，即直线AS与平面SBC所成的角为45°.[能力提升]10．如图2­3­11，四棱锥S­ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有________个．图2­3­11①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．【解析】因为SD⊥底面ABCD，所以AC⊥SD.因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD.又BD∩SD＝D，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故①正确．因为AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AB∥平面SCD，故②正确．因为AD是SA在平面ABCD内的射影，所以SA与平面ABCD所成的角是∠SAD.故③正确．因为AB∥CD，所以AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，故④正确．【答案】411．如图2­3­12，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1图2­3­12(1)求证：AB1⊥平面A1BC1.(2)若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C【解】(1)证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形，∴AB1⊥BA1.由AA1⊥平面A1B1C1得AA1⊥A1C1.又∵A1C1⊥A1B1，AA1∩A1B1＝A1，∴A1C1⊥平面AA1B1B，又∵AB1⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥AB1.又∵BA1∩A1C1＝A1，∴AB1⊥平面A1BC1.(2)连接A1D.设AB＝AC＝AA1＝1，∵AA1⊥平面A1B1C1，∴∠A1DA是AD与平面A1B1C1所成的角．在等腰直角三角形A1B1C1中，D为斜边B1C1的中点，∴A1D＝eq\f(1,2)×B1C1＝eq