2023-2024学年广东省深圳市宝安区宝安中学（集团）海滨中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）含解析

2023-2024学年广东省深圳市宝安区宝安中学（集团）海滨中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列方程是一元二次方程的是(

)A.3x2−6y+2=0 B.ax2−bx+c=02.用配方法解方程x2+4x−1=0，下列配方结果正确的是(

)A.(x+2)2=5 B.(x+2)2=13.若关于x的一元二次方程(k−1)x2+2x−2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是A.k>12且k≠1 B.k>12 C.k≥14.在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，则袋中白球约有(

)A.5个 B.10个 C.15个 D.25个5.下列说法中错误的是(

)A.有一个角是直角的平行四边形是矩形 B.有一组邻边相等的平行四边形是菱形

C.对角线互相垂直的矩形是菱形 D.对角线相等的四边形是矩形6.已知a是方程x2−2x−2023=0的根，则代数式a2−2a+1A.2022 B.2023 C.2024 D.20257.如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A′处．若∠DBC=24°，则∠A′EB等于(

)

A.66°

B.60°

C.57°

D.48°8.如图，四边形ABCD是平行四边形，以点A为圆心、AB的长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B，F为圆心、大于12BF的长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交BC于点E，连接EF.下列结论中不一定成立的是(

)

A.BE=EF B.EF//CD C.AE平分∠BEF D.AB=AE9.《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位.书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步(两步=10尺)时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为(

)A.x2+102=(x+1)2 B.10.如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，连接AE，EF⊥AE于点E，交DC于点F，连接AF，已知BC=4，DE=32，则△AEF的面积为(

)A.4 B.5 C.10 D.5二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.已知一元二次方程x2−4x+m=0的一个根为x1=1.则另一个根x12.有四张背面完全相同的卡片，正面分别画了等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆，现将卡片背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，则抽取卡片上的图形是中心对称图形的概率为______．13.中国男子篮球职业联赛(简称：CBA)，分常规赛和季后赛两个阶段进行，采用主客场赛制(也就是参赛的每两个队之间都进行两场比赛).2022～2023CBA常规赛共要赛72场，则参加比赛的队共有______支.14.如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为边AD的中点，连接CE交对角线BD于点F.若∠DEF=∠DFE，则菱形ABCD的面积为______．

15.如图，四边形ABCD是矩形，边AB长为6，∠ABD=60°，点E在边AB上，BE=4，过点E作EF/​/BC，分别交BD，CD于G，F两点，若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长为______．三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题8分)

解下列方程：

(1)x2−4x−2=0；

17.(本小题6分)

先化简：(x2−2xx218.(本小题7分)

我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题．

(1)成绩为“B等级”的学生人数有______名；

(2)在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角度数为______，图中m的值为______；

(3)学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生中选出2名去参加市中学生知识竞赛．已知“A等级”中有1名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率．19.(本小题8分)

今年大德福超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．

(1)求四、五这两个月的月平均增长率．

(2)从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？20.(本小题8分)

如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE/​/AC，且DE=12AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．

(1)求证：OE=CD；

(2)若菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，求AE21.(本小题9分)

【了解概念】

定义提出：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．

【理解运用】

(1)如图1，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段AB、BC的端点均在格点上，在图1的方格纸中画出一个等邻边四边形ABCD，要求：点D在格点上；

(2)如图2，在等邻边四边形ABCD中，AB=AD=4，∠A=60°，∠ABC=90°，BC=33，求CD的长；

【拓展提升】

(3)如图3，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴正半轴上，已知OC=4，OA=6，D是OA的中点.在矩形OABC内或边上，是否存在点E，使四边形OCED为面积最大的“等邻边四边形”，若存在，请求出四边形OCED的最大面积及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

22.(本小题9分)

△ABC是等边三角形，点E是射线BC上的一点(不与点B，C重合)，连接AE，在AE的左侧作等边三角形AED，将线段EC绕点E逆时针旋转120°，得到线段EF，连接BF，交DE于点M．

(1)如图1，当点E为BC中点时，线段DM与EM的数量关系是______；

(2)如图2，当点E在线段BC的延长线上时，请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；

(3)当BC=6，CE=2时，请求出DM的长．

答案和解析1.【答案】D

解：A、方程3x2−6y+2=0是二元二次方程，不符合题意；

B、当a=0，b≠0时，方程ax2−bx+c=0是一元一次方程，不符合题意；

C、方程1x2+x=2是分式方程，不符合题意；

D、方程x2=02.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：

(1)把常数项移到等号的右边；

(2)把二次项的系数化为1；

(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

在本题中，把常数项−1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方．

【解答】

解：把方程x2+4x−1=0的常数项移到等号的右边，得到x2+4x=1

方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2+4x+4=1+4

配方得3.【答案】A

解：∵关于x的一元二次方程(k−1)x2+2x−2=0有两个不相等的实数根，

∴k−1≠0Δ=22−4×(k−1)×(−2)>0，

解得：k>12且k≠1，

∴k的取值范围是k>12且k≠1．

故选：A．

由二次项系数非零及根的判别式4.【答案】B

解：∵经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，

∴摸到红球的频率稳定在0.6左右，

∵袋中装有若干个白球和15个红球，

∴袋中球的总数为：15÷0.6=25，

∴袋中白球约有：25−15=10(个)，

故选：B．

根据题意和题目中的数据，可以计算出红球出现的频率，然后即可求出总的球的个数，从而可以计算出白球的个数．

本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是求出球的总数．5.【答案】D

解：根据矩形的定义及性质知，有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，故A，B正确；

根据菱形的定义及性质知对角线互相垂直的矩形是正方形，也是菱形，故C正确；

对角线相等的四边形有可能是等腰梯形，故D错误；

故选：D．

根据矩形的定义知，有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，根据菱形的定义及性质知四条边都相等的四边形是菱形即可解答．

本题考查了菱形的判定及矩形的判定，属于基础题，关键是掌握矩形的定义及性质，菱形的定义及性质．6.【答案】C

解：∵a是方程x2−2x−2023=0的根，

∴a2−2a−2023=0，

即a2−2a=2023，

∴a2−2a+1=2023+1=2024．

故选：C．7.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了矩形的性质、折叠的性质以及直角三角形的性质；熟练掌握矩形的性质和折叠的性质是解题的关键．由矩形的性质得∠A=∠ABC=90°，由折叠的性质得∠BA′E=∠A=90°，∠A′BE=∠ABE=12(90°−∠DBC)=33°，即可得出答案．

【解答】

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠ABC=90°，

由折叠的性质得：∠BA′E=∠A=90°，∠A′BE=∠ABE，

∴∠A′BE=∠ABE=12(90°−∠DBC)=128.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查尺规作图，菱形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

首先证明四边形ABEF是菱形，利用菱形的性质对各个选项进行判断即可．

【解答】

解：由尺规作图可知：AF=AB，AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，

∴∠DAE=∠BEA．

∴∠BAE=∠BEA，

∴AB=BE，

∵AF=AB，

∴AF=BE，

∵AF/​/BE，

∴四边形ABEF是平行四边形，

∵AF=AB，

∴四边形ABEF是菱形，

∴AE平分∠BEF，BE=EF，EF/​/AB，故选项A、C正确，

∵CD//AB，

∴EF/​/CD，故选项B正确；

故选：D．9.【答案】D

解：设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为：x2=102+(x−4)2．

故选：D．

设秋千的绳索长为x尺，根据题意可得AB=(x−4)尺，利用勾股定理可得x10.【答案】B

解：过E作GH/​/AD交AB于G，交DC于H，如图：，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABD=∠BDC=45°，AB=CD=BC=4，

∴△BGE、△DHE是等腰直角三角形，BD=2BC=42，

∴EH=22DE=22×32=3，BE=BD−DE=42−32=2，

∴BG=GE=22BE=1，

∴AG=AB−BG=3=EH，

∴AE=AG2+GE2=32+12=10，

∵AE⊥EF，

∴∠AEG=90°−∠FEH=∠EFH，

又∠AGE=∠EHF=90°，

∴△AGE≌△EHF(AAS)，

∴AE=EF=10，

∴△AEF的面积为12AE⋅EF=11.【答案】3

解：则根据根与系数的关系得：x2+1=−ba=4，

解得：x2=3，

即方程的另一个根为3，

故答案为：3．

根据根与系数的关系得：x2+1=4，求出即可．

本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键，注意：当x1和x2是一元二次方程a12.【答案】12解：∵在等腰三角形，平行四边形，正五边形，圆中，平行四边形，圆是中心对称图形，

∴从中随机抽取一张，则抽取卡片上的图形是中心对称图形的概率为24=12，

故答案为：1213.【答案】9

解：设参加比赛的队共有x支，

根据题意可得：x(x−1)=72，

解得：x1=9，x1=−8(舍去)，

故答案为：9．

根据参赛的每两个队之间都进行两场比赛，共要比赛14.【答案】6解：连接AC交BD于O，如图，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AD//BC，CB=CD=AD=4，AC⊥AB，BO=OD，OC=AO，

∵E为AD边的中点，

∴DE=2，

∵∠DEF=∠DFE，

∴DF=DE=2，

∵DE/​/BC，

∴∠DEF=∠BCF，

∵∠DFE=∠BFC，

∴∠BCF=∠BFC，

∴BF=BC=4，

∴BD=BF+DF=4+2=6，

∴OB=OD=3，

在Rt△BOC中，OC=42−32=7，

∴AC=2OC=27，

∴菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=12×27×6=67．

故答案为：67．

连接AC交BD于O，如图，根据菱形的性质得到AD//BC，CB=CD=AD=4，AC⊥AB，BO=OD，OC=AO15.【答案】21解：如图，连接CG，取CG的中点P，连接PM，PN，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A=∠BCD=90°，CD=AB=6，

∵EF/​/BC，

∴∠BEG=∠A=90°，

∵∠ABD=60°，

∴∠BGE=90°−∠ABD=90°−60°=30°，

∴BG=2BE=2×4=8，

∴EG=BG2−BE2=82−42=43，

∵M、P、N分别是DG、CG、CE的中点，

∴PM//CD，PM=12CD=3，PN/​/EF，PN=12EG=23，

∴∠MPG=∠DCG，

∵PN//EF，EF/​/BC，

∴PN//BC，

∴∠NPG=∠BCG，

∴∠MPG+∠NPG=∠DCG+∠BCG=∠BCD=90°，

∴∠MPN=90°，

∴MN=PM2+PN216.【答案】解：(1)x2−4x−2=0，

∴x2−4x+4=6，

即(x−2)2=6，

∴x−2=±6，

解得：x1=2+6,x2=2−6；

【解析】(1)根据配方法解一元二次方程即可；

(2)根据因式分解法解一元二次方程即可

本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键．17.【答案】原式=x2−2x−x+2x2−4x+4⋅(x+2)(x−2)x(x−1)

=(x−1)(x−2)(x−2)2⋅(x+2)(x−2)x(x−1)

=x+2x，

由不等式−2≤x<3的整数解为−2，−1，0，1，2【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，求出x的值，代入计算即可求出值．

本题考查了分式的化简求值、一元一次不等式组的整数解，取合适的整数值求值时，要特注意原式及化简过程中的每一步都有意义．18.【答案】(1)5；

(2) 72°；

40；

(3)“A等级”2男1女，从中选取2人，所有可能出现的结果如下：

共有6种可能出现的结果，其中女生被选中的有4种，

∴P(女生被选中)=解：(1)3÷15%=20(名)，20−3−8−4=5(名)，

故答案为：5；

(2)360°×420=72°，8÷20=40%，即m=40，

故答案为：72°，40；

(3)见答案．

(1)A等的有3人，占调查人数的15%，可求出调查人数，进而求出B等的人数；

(2)D等级占调查人数的420，因此相应的圆心角为360°的420即可，计算C等级所占的百分比，即可求出m的值；19.【答案】解：(1)设四、五这两个月的月平均增长率为x，

依题意得：256(1+x)2=400，

解得：x1=0.25=25%，x2=−2.25(不合题意，舍去)．

答：四、五这两个月的月平均增长率为25%；

(2)设商品降价m元，则每件获利(40−m−25)元，月销售量为(400+5m)件，

依题意得：(40−m−25)(400+5m)=4250，

解得：m1=5，m2【解析】(1)设四、五这两个月的月平均增长率为x，利用五月份的销售量=三月份的销售量×(1+月平均增长率)2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

(2)设商品降价m元，则每件获利(40−m−25)元，月销售量为(400+5m)件，利用商场销售该商品月销售利润=每件的销售利润×月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．

20.【答案】(1)证明：在菱形ABCD中，OC=12AC．

∴DE=OC．

∵DE/​/AC，

∴四边形OCED是平行四边形．

∵AC⊥BD，

∴∠COD=90°，

∴平行四边形OCED是矩形．

∴OE=CD．

(2)解：在菱形ABCD中，∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AC=AD=4，AO=CO=2．

∴在矩形OCED中，CE=OD=AD2−A【解析】(1)先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90°，证明四边形OCED是矩形，可得OE=CD；

(2)根据菱形的性质得出AC=AD=4，再根据勾股定理得出CE、AE的长度即可．

本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，是基础题，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．21.【答案】解：(1)由题意知，四边形ABCD是等邻边四边形，

作图如下：(答案不唯一)

(2)连接BD，过点D作DE⊥BC于点E，

∵AB=AD=4，∠A=60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴BD=AB=4，∠ABD=60°，

∵∠ABC=90°，

∴∠DBC=90°−60°=30°，

∵DE⊥BC，

∴∠BED=∠CED=90°，

∴DE=12BD=2，

∴BE=BD2−DE2=23，

∵BC=33，

∴CE=BC−BE=3，

∴CD=CE2+DE2=7；

(3)在矩形OABC内或边上，存在点E，使四边形OCED为面积最大的“等邻边四边形”，

理由如下：

如图，当CE=DE时，四边形OCED为“等邻边四边形”，当CE取最大值时，四边形OCED为面积最大的“等邻边四边形”，

∵四边形OABC是矩形，OC=4，OA=6，D为OA的中点，

∴BC/​/OA，C(0,4)，A(6,0)，D(3,0)，

设点E的坐标为(m,4)，则CE=m，

∵CE=DE，

∴CE2=DE2，

∴m2【解析】(1)根据“等邻边四边形”的定义作图即可；

(2)连接BD，根据△ABD是等边三角形得出BD=AB=4，过点D作DE⊥BC于点E，求出DE，BE的长度，根据BC的长度求出CE的长度，最后利用勾股定理求出CD即可；

(3)先确定存在点E，设点E