安徽省马鞍山二中高二下学期期中数学试卷（理科）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016—2017学年安徽省马鞍山二中高二（下)期中数学试卷（理科）一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请在答题卡上用2B铅笔将正确选项的代号涂黑。1．已知i为虚数单位，则的共轭复数的实部与虚部的乘积等于（）A．﹣ B． C．i D．﹣i2．在复平面内，复数4+5i,﹣2+i对应的点分别为A，B，若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是()A．2+6i B．1+3i C．6+4i D．3+2i3．已知函数f(x)=（x3+2x2+ax﹣a）ex，f′（x）为f(x）的导函数,则f′（0）的值为(）A．0 B．1 C．﹣a D．不确定4．已知函数f（x）=（x≠﹣a)在x=1时取得极值,则f(1）是函数f（x）的（)A．极小值B．极大值C．可能是极大值也可能是极小值D．是极小值且也是最小值5．函数y=cosx图象上任意一点处的切线倾斜角为α,则α取值范围为（)A．（0,π） B．［0，] C．［0，]∪［,π） D．［0，］∪(，］6．计算定积分|cosx｜dx的值为（）A．0 B．2 C．4 D．﹣47．某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜,所以参议员先生是鹅．"结论显然是错误的，是因为(）A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误8．已知函数y=f（x)的导函数y=f′(x）的图象如图所示，则关于函数y=f(x），下列说法正确的是（）A．在x=﹣1处取得极大值 B．在区间［﹣1，4］上是增函数C．在x=1处取得极大值 D．在区间［1，+∞）上是减函数9．已知x1，x2是方程（x﹣1）2=﹣3的两个相异根，当x1=1﹣i（i为虚数单位）时，则x22为（）A．4+2i B．﹣2+2i C．4﹣2i D．﹣2﹣2i10．在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可类比正切的和角公式．如:设a,b是非零实数，且满足=tan，则=（）A．4 B． C．2 D．11．已知函数f（x）=,若关于x的方程f(f（x））=0有且只有一个实数解，则实数a的取值范围是（)A．(﹣∞，0） B．(﹣∞,0]∪(0，1） C．（﹣∞，0）∪(0,1］ D．（﹣∞,0)∪（0，1)12．给出下列不等式：①x≥ln（x+1）（x＞﹣1）②＞﹣+2x﹣（x＞0）③ln＞2（x+)（x∈（0,1））其中成立的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二．填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。13．如图函数f(x）的图象在点P处的切线为：y=﹣2x+5，则f（2)+f′（2)=．14．已知2＜（k+2）dx＜4,则实数k的取值范围为．15．已知i是虚数单位，计算的结果为．16．已知函数f（x）=|x﹣a|，g（x）=，若方程f（x）=g（x）﹣a有且只有一个实数根,则实数a的取值集合为．三、解答题：本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=ex（Ⅰ)求曲线f（x）过O（0，0）的切线l方程；（Ⅱ）求曲线f（x)与直线x=0,x=1及x轴所围图形的面积．18．如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1,对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．(Ⅰ)求D点对应的复数;（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．19．设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）中，a，b,c均为整数，且f(0)，f(1）均为奇数．求证：f（x）=0无整数根．20．已知f(x）=x3﹣ax2﹣a2x+1，（a∈R）．（Ⅰ）求f（x)的单调区间；（Ⅱ）若f（x）的图象不存在与l：y=﹣x平行或重合的切线，求实数a的取值范围．21．是否存在a，b,c使等式（)2+(）2+（）2+…+（）2=对一切n∈N*都成立若不存在，说明理由；若存在，用数学归纳法证明你的结论．22．已知函数f(x）的导函数为f′(x)，满足xf′（x）+2f（x）=,且f(e）=(Ⅰ）求f（x）的表达式（Ⅱ）求函数f（x）在[1,e2］上的最大值与最小值．

2016-2017学年安徽省马鞍山二中高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的,请在答题卡上用2B铅笔将正确选项的代号涂黑.1．已知i为虚数单位,则的共轭复数的实部与虚部的乘积等于（）A．﹣ B． C．i D．﹣i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的有关概念，即可得到结论．【解答】解：z==，故的共轭复数是,则的实部与虚部的乘积，故选：A2．在复平面内，复数4+5i，﹣2+i对应的点分别为A，B,若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是（）A．2+6i B．1+3i C．6+4i D．3+2i【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】由题意求出A，B的坐标，利用中点坐标公式求得C的坐标，则点C对应的复数可求．【解答】解：由题意可知，在复平面内，A（4，5),B(﹣2,1），则线段AB的中点C（）=（1，3），∴点C对应的复数是1+3i．故选：B．3．已知函数f（x）=（x3+2x2+ax﹣a）ex，f′（x)为f（x）的导函数,则f′（0）的值为（）A．0 B．1 C．﹣a D．不确定【考点】63：导数的运算．【分析】根据导数的运算法则计算即可．【解答】解：∵函数f（x）=（x3+2x2+ax﹣a）ex，∴f′（x)=(3x2+4x+a）ex+(x3+2x2+ax﹣a）ex=ex（x3+5x2+ax+4x﹣a），∴f′（0)=e0（03+5×02+0+0﹣a)=﹣a，故选:C4．已知函数f（x）=（x≠﹣a）在x=1时取得极值，则f(1）是函数f（x）的（）A．极小值B．极大值C．可能是极大值也可能是极小值D．是极小值且也是最小值【考点】6D:利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，得到f′（0）=0，求出a的值即可．【解答】解：f′（x）=，函数f（x）=（x≠﹣a）在x=1时取得极值，可得a=0，x∈（0，1），f′(x）＜0，函数是减函数，x∈（1，+∞),f′（x)＞0，函数是减函数,故函数f（x）=在x=1处取得极小值,故选：A．5．函数y=cosx图象上任意一点处的切线倾斜角为α，则α取值范围为（)A．（0，π） B．[0，］ C．［0，］∪［，π） D．［0,］∪（，］【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数,运用导数的几何意义，可得图象上任意一点处的切线斜率k，由正弦函数的值域和正切函数的图象和性质，即可得到所求倾斜角的范围．【解答】解：函数y=cosx的导数为y′=﹣sinx，由导数的几何意义可得图象上任意一点处的切线斜率k=﹣sinx，由正弦函数的值域可得﹣1≤k≤1,结合k=tanα（0≤α＜π且α≠），可得切线的倾斜角的范围是[0，]∪[,π)．故选：C．6．计算定积分｜cosx|dx的值为(）A．0 B．2 C．4 D．﹣4【考点】67：定积分．【分析】｜cosx｜dx=cosxdx﹣cosxdx+，再根据定积分的计算法则计算即可．【解答】解：|cosx|dx=cosxdx﹣cosxdx+=sinx|﹣sinx|+sinx|=（1﹣0）﹣（﹣1﹣1）+（0+1）=4，故选:C7．某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜,参议员先生也吃白菜,所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为（)A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误【考点】F6：演绎推理的基本方法．【分析】本题考查的知识点是演绎推理的基本方法及整数的,在使用三段论推理证明中,如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，分析的其大前提，以及小前提，不难得到结论．【解答】解：∵大前提的形式:“鹅吃白菜"，不是全称命题,大前提本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但是不是大前提下的特殊情况,鹅与人不能类比．∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误,故选：C．8．已知函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则关于函数y=f(x），下列说法正确的是()A．在x=﹣1处取得极大值 B．在区间［﹣1,4］上是增函数C．在x=1处取得极大值 D．在区间[1，+∞)上是减函数【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；3O：函数的图象；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】通过函数的图象，推出函数的极值点，利用单调性判断极值推出选项即可．【解答】解：由导函数y=f′（x）的图象，可知f(﹣1）=0，f（4）=0，x∈（﹣∞，﹣1)，f′(x)＜0，函数是减函数，x∈（﹣1，4），f′（x）＞0，函数是增函数，x∈（4，+∞)，f′（x)＜0，函数是减函数，故选：B．9．已知x1，x2是方程（x﹣1）2=﹣3的两个相异根，当x1=1﹣i（i为虚数单位）时，则x22为（）A．4+2i B．﹣2+2i C．4﹣2i D．﹣2﹣2i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】由方程（x﹣1）2=﹣3化简得到x1+x2=2，然后再由x1的值求出x2，则答案可求．【解答】解：由（x﹣1）2=﹣3，得x2﹣2x+4=0．则x1+x2=2．∵x1=1﹣i,∴1﹣i+x2=2．∴x2=1+i．则x22=(1+i）2=﹣2+2i．故选：B．10．在数学解题中，常会碰到形如“”的结构,这时可类比正切的和角公式．如：设a，b是非零实数，且满足=tan，则=（）A．4 B． C．2 D．【考点】F3:类比推理．【分析】先把已知条件转化为tan==tan（+θ），利用正切函数的周期性求出，即可求得结论．【解答】解：因为tan==tan（+θ）,且tanθ=∴+θ=kπ+，∴θ=kπ+,∴tanθ=tan（kπ+）=．∴=故选：D．11．已知函数f（x）=，若关于x的方程f(f（x））=0有且只有一个实数解，则实数a的取值范围是(）A．(﹣∞,0） B．（﹣∞，0］∪（0，1） C．（﹣∞，0）∪（0，1] D．（﹣∞，0）∪(0，1）【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】对a讨论，分a=0,a＞0,a＜0，三种情况，运用换元法，令t=f（x），f（f（x））=0即为f（t)=0,讨论函数f（x）在x＞0和x≤0的值域,结合条件有且只有一个实数解，分析即可得到a的范围．【解答】解：令f(x)=t，方程f（f（x）)=0有且只有一个实数解⇔f（t）=0有且只有一个实数解．①当a=0时．函数f（x)=的图象如图（1)；f（t）=0⇒t=1或t≤0,即f（x）=t=1，或f（x）=t≤0，由无数个解，不符合题意．②当a＞0时．函数f（x）=的图象如图（2）；f（t）=0⇒t=1，要使f(x)=t=1有且只有一个实数解，结合图象可得a＜1，即0＜a＜1符合题意．②当a＜0时．函数f（x)=的图象如图（3）；f（t）=0⇒t=1，要使f（x）=t=1有且只有一个实数解,结合图象可得a＜0都成立．综上实数a的取值范围是(0，1）∪（﹣∞，0），故选：D．12．给出下列不等式：①x≥ln（x+1）（x＞﹣1）②＞﹣+2x﹣(x＞0)③ln＞2（x+)（x∈（0，1）)其中成立的个数是(）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】①，构造函数：f（x）=x﹣ln（x+1)（x＞﹣1）．利用导数求出单调区间，即可求出最值，就可判断；②,取x=1,＞﹣+2x﹣（x＞0）不成立,；③，构造函数g（x）=ln﹣2（x+）（x∈(0，1）），利用导数求出单调区间，即可求出最值，就可判断；【解答】解：对于①，x≥ln（x+1）（x＞﹣1）,构造函数：f（x）=x﹣ln（x+1)（x＞﹣1）．f′(x）=1﹣=,可得x∈（﹣1，0)，函数f（x）递减，x∈（0，+∞）递增,故f（x）≥f(0）=0∴x≥ln（x+1）（x＞﹣1)成立，故成立．对于②,取x=1，＞﹣+2x﹣（x＞0）不成立，故②不成立；对于③，ln＞2（x+)（x∈（0,1）），构造函数g(x）=ln﹣2（x+）（x∈（0,1)），g′（x）==0,∴g（x）在（0,1）递增，而g（0）=0,故x∈（0，1）时，g（x）＞0恒成立，故成立．故选：B二．填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13．如图函数f(x）的图象在点P处的切线为：y=﹣2x+5,则f（2）+f′(2）=﹣1．【考点】62：导数的几何意义；63：导数的运算．【分析】根据导数的几何意义和切线方程求出f′（2），把x=2代入切线方程求出f（2），代入即可求出f(2)+f′（2）的值．【解答】解:∵函数y=f(x）的图象在点x=2处的切线方程是y=﹣2x+5，∴f′（2）=﹣2，f（2）=﹣4+5=1，∴f（2）+f′（2)=﹣2+1=﹣1，故答案为：﹣114．已知2＜（k+2)dx＜4,则实数k的取值范围为(0,2）．【考点】67：定积分．【分析】先利用积分定理求出（k+2）dx,然后解不等式即可求解k的范围．【解答】解：因为2＜(k+2）dx＜4,（k+2）dx=（k+2）x｜=k+2，所以2＜k+2＜4，解得0＜k＜2；故答案为：（0,2)15．已知i是虚数单位,计算的结果为2+2i．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解:==2+2i,故答案为：2+2i．16．已知函数f（x)=|x﹣a｜，g（x）=，若方程f(x）=g（x）﹣a有且只有一个实数根,则实数a的取值集合为（﹣1，+∞）．【考点】54:根的存在性及根的个数判断．【分析】把方程f（x）=g(x）﹣a有且只有一个实数根,转化为|x﹣a|+a=有且只有一个实数根，令h（x)=｜x﹣a｜+a，t(x）=．分类作出两函数图象即可求得实数a的取值集合．【解答】解：方程f(x）=g（x)﹣a有且只有一个实数根，即|x﹣a|=﹣a有且只有一个实数根，也就是｜x﹣a|+a=有且只有一个实数根，令h（x）=|x﹣a|+a,t（x）=．若a=0，则h(x）=|x｜,作出函数图象如图1：方程f（x）=g（x）﹣a有且只有一个实数根；若a＞0，函数h（x）是把函数y=|x|的图象向右向上平移a个单位得到，作出函数h（x）与t(x）的图象如图2：对于任意a＞0,方程f（x）=g（x）﹣a有且只有一个实数根;若a＜0，函数h（x）是把函数y=|x｜的图象向左向下平移｜a｜个单位得到，作出函数h(x)与t（x)的图象如图3:要使方程f（x）=g(x）﹣a有且只有一个实数根,则﹣1＜a＜0．综上，实数a的取值集合为（﹣1，+∞）．故答案为：（﹣1，+∞）．三、解答题：本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=ex（Ⅰ）求曲线f（x)过O（0，0）的切线l方程；（Ⅱ）求曲线f（x）与直线x=0，x=1及x轴所围图形的面积．【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）设切线l与曲线f（x）相切于P（t,et）,运用导数的几何意义，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得t,即可得到斜率和切线方程；（Ⅱ）由题意可得，所求图形面积为exdx，求得被积函数，运用定积分公式,计算即可得到所求值．【解答】解：（Ⅰ）设切线l与曲线f（x)相切于P（t，et）,由f（x）的导数f′（x）=ex，切线斜率k=et=，解得t=1，切线的斜率k为e，故切线l的方程为y=ex；(Ⅱ）由题意可得，所求图形面积为exdx=ex|=e1﹣e0=e﹣1．18．如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数;(Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】(I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ)依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），=（2，2）,可得B（1，2)．又对应的复数为4﹣4i，得=（4，﹣4）,可得C（5,﹣2）．设D点对应的复数为x+yi,x，y∈R．得=（x﹣5，y+2），=（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形,∴=,解得x=3，y=﹣4,故D点对应的复数为3﹣4i．(Ⅱ）=（2，2），=（4，﹣4),可得：=0，∴．又｜|=2，=4．故平行四边形ABCD的面积==16．19．设函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0），f（1）均为奇数．求证：f（x)=0无整数根．【考点】57：函数与方程的综合运用．【分析】先通过条件得到a,b同奇偶，然后分别讨论若a，b同为偶数与同为奇数两种情形，然后根据数值的奇偶进行判定方程有无整数根．【解答】证明：f（0）=c为奇数f（1）=a+b+c为奇数，则a+b为偶数所以a，b同奇偶假设整数根t,所以f（t)=0即at2+bt+c=0若a，b同为偶数，则at2+bt为偶数，所以at2+bt+c为奇数可得at2+bt+c≠0与at2+bt+c=0矛盾若a,b同为奇数，若t为偶数则at2+bt为偶数若t为奇数则at2+bt为偶数所以at2+bt+c为奇数可得at2+bt+c≠0与at2+bt+c=0矛盾综上所述方程f（x）=0无整数根20．已知f(x）=x3﹣ax2﹣a2x+1，(a∈R）．（Ⅰ）求f(x）的单调区间；（Ⅱ)若f（x)的图象不存在与l：y=﹣x平行或重合的切线,求实数a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】(Ⅰ)求出导函数,对参数a进行分类讨论得出函数的单调区间即可；（Ⅱ）求出导函数，不问题转化为3x2﹣2ax﹣a2+1＞0恒成立，利用判别式求解即可．【解答】解:（Ⅰ)f（x）=x3﹣ax2﹣a2x+1，∴f'（x)=3x2﹣2ax﹣a2=（x﹣a）（3x+a），当a＜0时，x∈（﹣∞，a）和（﹣，+∞）时，f'（x）＞0,f（x）递增，x∈（a，﹣)时，f'(x）＜0，f(x）递减;当a＞0时，x∈（﹣∞,﹣）和（a+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增，x∈（﹣,a）时，f’（x)＜0，f(x）递减；当a=0时，f'（x）≥0恒成立，f(x）R上递增．(Ⅱ）若f(x）的图象不存在与l：y=﹣x平行或重合的切线,∴f’（x）≠﹣1，∴f’（x）=3x2﹣2ax﹣a2≠﹣1恒成立，∴3x2﹣2ax﹣a2+1≠0恒成立,∴3x2﹣2ax﹣a2+1＞0恒成立，∴△=4a2﹣12(﹣a2+1）＜0，∴﹣＜a＜．21．是否存在a，b，c使等式（）2+（）2+()2+…+(）2=对一切n∈N*都成立若不存在，说明理由；若存在,用数学归纳法证明你的结论．【考点】RG：数学归纳法．【分析】分别取n=1，2，3，得到关于a，b,c的