2023年数学建模试题与答案

华南农业大学期末考试试卷〔A卷〕2009学年其次学期 考试科目：数学模型考试类型〔闭卷〕 考试时间：120分钟学号 姓名 题号得分评阅人

1 2 3 4 5 6 7 8 9 总分得分 1、〔13分〕设某正方形板材边长20cm，现将之加工出半径为1cm的圆盘，请对下面给出的两种排列方法，写出能加工出的尽可能多的圆盘数。1〔如右图的尽可能多〔4分〕20202 2

100排列2：圆盘中心按六角形排列〔如右图〕的尽可能多的圆盘数。〔4分〕2021113 圆盘总数：1120112 2

105设计出不同于(1)(2)〔5分〕解：前三行正方形，后八行六角形，圆盘总数为106得分2、〔10分〕在举重竞赛中，运发动在高度和体重方面差异很大，请就下面两种假设，建立一个举重力量和体重之间关系的模型：假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。5分假定体重中有一局部是与成年人的尺寸无关，请给出一个改进模型。5分解：设体重w〔千克〕与举重成绩y〔千克〕由于肌肉强度(I)与其横截面积(S)成比例，所以yIS设h为个人身高，又横截面积正比于身高的平方，则Sh23再体重正比于身高的三次方，则wh 2ykw32体重中与成年人尺寸无关的重量为a,则一个最粗略的模型为2yk(wa)3更好的模型：yk(wa)得分3、〔10分〕在超币购物时你压意到大包发商品比小包装面品廉价这种现象150g1.50元，120g3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1，试用比例方法构造模型解释这个现象。请写出商品价恪c与商品重量w的关系，其中价格由生产本钱、包装本钱和其它本钱等打算，这些本钱中有的与重量w成正比，有的与外表积成正比，还有与w〔5分〕给出单位重量价格cw〔5分〕1〕生产本钱主要与重量w成正比，包装本钱主要与外表积s成正比，其他本钱也包含sw2ws成正比的局部，上述三种都含有与ws均无关的成分。又由于外形肯定时有

3，故商品的价格可表示为

Cww2

，,,

为大于

0的常数。3C3〔2〕单位重量价格cw

1 w得分的商品廉价，函数曲线是下凸的，说明单价的削减值随着包装的变大时渐渐降低的。得分4、〔10分〕药的剂量和用药间隔时间应当如何调整，才能保证在血液中维持安全有效的药物浓度？设H为药物的最高安全量级，L为最低有效量级，x0为每次所开药物的剂量，T为用药间隔时间。现给定H＝2.5mg/ml，L＝0.5mg/ml。并假定血液中药物浓度的削减速率与浓度成正比〔设比例系数＝0.0，〔1〕写出第n次用药期内的药物浓度变化的动力学模型；5分解：Cn(t)n次用药期内时刻t的药物浓度，其变化的动力学模型为：dC

(t)

(t)C

dt n(0)xR其中：x0

=HL=2m/mln1

and R

n1

(x0

Rn2

)ekTR x〕〕5分〔2

ekT and R

(xR )ekTn1 0 n2

1lnH

1 ln2.5

160.9438k L 0.01 0.5得分5、〔13分〕设在一个一个岛屿上栖居着食肉爬行动物和哺乳动物，又长着茂盛的植物。爬行动物以哺乳动物为食，哺乳动物又依靠植物生存，假得分设食肉爬行动物和哺乳动物单独生存时听从Logistic变化规律，植物单独生存时其生物量的增长听从指数增长规律。请建立三者关系的模型；5分解：将植物、哺乳动物和爬行动物的数量分别记为x

(t)、x

(t)x

(t)，则三者关系模型为：dx

x(rx)

1 2 3dx

1 1 12xx(r

x

x) 2 2dx

2 2 K 21 32x 3x

(r 3x)

3 3 K 323求平衡点；3分A〔0，0，0〕21xr12 1或B〔x，x，x，其中

k(rx)1 2 3

3 3 3 32xx1(r 2x)x1

2 K 32 2分析各平衡点的稳定性。5分〔送分〕得分6、〔12分〕3个科研课题，限于人力物力，只能担当其中一个课题，其中，建立了如下的层次分析模型：得分合理选择课题A合理选择课题A成果奉献B1人才培育B2课题可行性B3课题C1课题C2课题C3准则层方案层并分别建立了如下的准则层B1, B2, B3对目标层A的成比照较矩阵：1 1/6 1/3A5 1 3 4 1/3 1 请推断矩阵A是否为全都阵〔RI=0.5〔6分〕解：首先计算A的最大特征值，令|A-E|=0，得max=3.0945，对应的归一化特征向量u=(0.0943，0.6259，0.2798)T计算CI=〔3.0945-3〕/(3-1)=0.0473计算CR=CI/RI=0.0816<0.1所以A是全都阵。C1，C2，C2B1,B2,B3的权向量分别为〔0.595，0.270.12，〔0.080.230.680.420.429,0.14,据此计算该选择何〔6分〕解：0.5950.2770.1280.0943由于w=0.0820.2360.6820.62590.2653 0.3462 0.3487 0.4290.4290.142 因此，选择课题C3。得分7〔10分〕设报童销售一份报纸的零售价为a=15b=8分退c=6分。得分设每天需求量为r时的概率为r=0,1,2…。请答复如下两个问题：当每天购进n份时，请写出日平均收入Gn〔5分〕解：30 G(n)n[(ab)rbc)(nr)]p(r)dr(ab)np(r)30 n[7r2(nr)]f(r)dr7nf(r)dr0 nn满足什么条件时，日平均收入G(n)〔5分〕解：满足如下条件：nf(r)dr 70 f(r)dr 2n得分 8〔10分〕设磷元素在土壤中记状态1，在草、牛、羊等生物体中记状态2，此3Xn

n年的状态，记ai

P(Xn

i，状态概率向量a(n)(a1

(n),a2

(n),a3

(n))。三种状态和状态转移概率表示如下：写出状态转移矩阵P。3分解： 0.4 0.3 0.3p0.6 0.1 0.3 0 0 1 什么叫吸取状态？指出哪个状态吸取状态。3分解：吸取态指一旦到达就不会离开的状态i,pii=1。3是吸取态。〔3〕假设a(0)(1,0,0)，计算a(2) 。4分0.4 0.3 0.32a(2)

1 0 00.6 0.1

0.3400 0.1500 0.5100解： = 0 0 1 得分 9〔12分〕在意外大事发生的时候建筑物内的人员是否能有效疏散撤离是人们普遍关心的问题。尤其是911大事发生后。对于—个特定建筑物，人们关心疏散路线和全部疏散完毕所用时间等。这个问题可以通过反复的实际演习来解决。但屡次反复的演习实际上是不行能的，抱负的方法是通过理论上的分析来得到。考虑学校的一座教学楼，其中一楼有一排四间教室(以下图)，学生们可以沿教室外的走道始终走到尽头的出口，试用数学模型来分析人员疏散所用时间。出口L4 L3 L2 L1n4 n3 n2 n1现有如下假设：为简洁起见，可设疏散时大家秩序井然地排成单行均匀稳定地向外走，则疏散时队列中人4d米；v米／秒；并设置如下的符号体系：d——疏散时人与人的距离v——疏散时人员的行进速度in——i个课室的人数iLi——i个课室门口到第i–1个课室门口的距离0t——疏散时第一个到达教室门口所用的时间01d=0.2米，v=0.5米／秒，n=30，n1

3232

44

11

2=6米，34L6米，L5米，t10秒340请答复如下问题：考虑靠近出口的第一个教室内人员的疏散。写出这个教室撤空的时间及全部撤离的时间；〔4分〕(n1)d (301)*0.2解：第一个课室全部撤空时间：1v

t 0

0.5

1021.6〔秒〕L (n1)d 5第一个课室全部撤离时间： 1 1 tv v

秒〕0.5考虑其次个课室撤离时消灭重叠的状况，即当其次个教室的第一个撤离者到达第一个教室的门口A乱，因此需要等待第一个教室撤空以后其次个教室的队伍再连续前进。请问本问题中会消灭这种情形吗？并说明理由〔4分〕解：由于其次个课室第一个人到达第一个课室门口的时间是：L2tv

610=22>21.60.5因此，不需要等待。请计算四个课室全部撤离所用时间〔4分〕解：其次个课室第一个人到达第一个课室门口时间是

L2tv

22>21.6，不需等待，因此，其次(n1)d (401)*0.2个课室全部撤空时间为：2v

t 100 0.5L

秒。第三个课室第一个人到达其次个课室门口时间是

3tv

22<25.6等待时间是25.6-22=3.6〔。加上等待时间，第三个课室全部撤空时间为：(n1)d (501)*0.23 t