《推理与证明》知识点

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《推理与证明》归纳推理合情推理类比推理演绎推理比较法直接证明综合法剖析法间接证明反证法数学归纳法一、推理推理：前提、结论合情推理:合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：（1）归纳推理：由某类事物的部分对象拥有某些特点，推出该类事物的所有对象拥有这些特点的推理，或者由个别事实归纳出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.（2）类比推理：由两类对象拥有某些近似特点和此中一类对象拥有的某些已知特点，推出另一类对象也具有这些特点的推理，简言之，类比推理是由特别到特别的推理.演绎推理:从一般性的原理出发，推出某个特别状况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特别的推理。重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明题型1用归纳推剪发现规律、察看：715211；5.516.5211；33193211；关于随意正实数a,b，1.试写出使ab211建立的一个条件能够是____.点拨：前面所列式子的共同特点特点是被开方数之和为22，故ab222、蜜蜂被以为是自然界中最优秀的建筑师，单个蜂巢能够近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图.此中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n幅图的蜂巢总数.则f(4)=_____;f(n)=___________.【解题思路】找出f(n)f(n1)的关系式[分析]f(1)1,f(2)16,f(3)1612,f(4)16121837f(n)1612186(n1)3n23n1【名师引导】办理“递推型”问题的方法之一是找寻相邻两组数据的关系题型2用类比推理猜想新的命题[例]已知正三角形内切圆的半径是高的1，把这个结论推行到空间正四周体，近似的结论是______.3【解题思路】从方法的类比下手[分析]原问题的解法为等面积法，即

S1ah31arr1h，类比问题的解法应为等体积法，223V1Sh41Srr1h即正四周体的内切球的半径是高14334【名师引导】（1）不单要注意形式的类比，还要注意方法的类比2）类比推理常有的情况有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等二、直接证明与间接证明三种证明方法:综合法、剖析法、反证法反证法：它是一种间接的证明方法.用这类方法证明一个命题的一般步骤：假定数题的结论不建立；依据假定进行推理,直到推理中导出矛盾为止断言假定不建立一定原命题的结论建立重难点：在函数、三角变换、不等式、立体几何、分析几何等不一样的数学识题中，选择好证明方法并运用三种证明方法剖析问题或证明数学命题考点1综合法在锐角三角形ABC中,求证:sinAsinBsinCcosAcosBcosC[分析]ABC为锐角三角形，ABAB，22ysinx在(0,)上是增函数，sinAsin(B)cosB22同理可得sinBcosC，sinCcosAsinAsinBsinCcosAcosBcosC考点2剖析法已知ab0,求证abab[分析]要证abab，只要证(ab)2(ab)2即ab2abab，只要证bab，即证ba明显ba建立，所以abab建立【名师引导】注意剖析法的“格式”是“要证只要证”，而不是“由于所以”考点3反证法已知f(x)axx2(a1)，证明方程f(x)0没有负数根x1【解题思路】“正难则反”，选择反证法，因波及方程的根，可从范围方面找寻矛盾[分析]假定x0是f(x)0的负数根，则x00且x01且ax0x02x010ax010x021，解得1x02，这与x00矛盾，x012故方程f(x)0没有负数根【名师引导】否认性命题从正面打破常常比较困难，故用反证法比许多三、数学归纳法一般地,当要证明一个命题关于不小于某正整数N的所有正整数n都建即刻,能够用以下两个步骤:证明当n=n0时命题建立;(2)假定当

n=k（??∈??，且??≥??）时命题建立+0

,证明

n=k+1时命题也建立

.在达成了这两个步骤后

,就能够判定数题关于不小于

n0的所有正整数都建立

.这类证明方法称为

数学归纳法.考点1数学归纳法题型：对数学归纳法的两个步骤的认识[例1]已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假定

n=k（k

2且为偶数）时命题为真，，则还需证明（）A.n=k+1

时命题建立

B.n=k+2

时命题建立C.n=2k+2

时命题建立

D.n=2

（k+2）时命题建立[分析]因n是正偶数，故只要证等式对所有偶数都建立，因【名师引导】用数学归纳法证明时，要注意察看几个方面：项的次数（或其余），确立n=k时命题的形式f(k)（3）从

k的下一个偶数是k+2，应选B（1）n的范围以及递推的起点（f(k1)和f(k)的差别，找寻由

2）察看首末两k到k+1递推中，左侧要加（乘）上的式子考点

2

数学归纳法的应用题型1：用数学归纳法证明数学命题用数学归纳法证明不等式1223n(n1)1(n1)22[分析]（1）当n=1时，左=√2，右=2，不等式建立（2）假定当n=k时等式建立，即1223k(k1)1(k1)21(k2则1223k(k1)(k1)(k2)1)2(k1)(k2)21(k1)2(k1)(k2)(k2)2(k1)(k2)(k1)(k2)02221223k(k1)(k1)(k2)1[(k1)1]22当n=k+1时，不等式也建立综合（1）（2），等式