无穷小与无穷大课件

InfinitesimalandInfinity1.4无穷小与无穷大InfinitesimalandInfinity1.41一、无穷小(Infinitesimal)即，每一个有极限的函数f(x)都与一个趋于0的函数

f(x)-A联系着。因此，以0为极限的函数在极限理论和极限的计算中扮演着特殊而重要的角色。一、无穷小(Infinitesimal)即，每一个有极2定义1无穷小就是在自变量的某个变化过程中，以0为极限的函数（或变量）。无穷小一般用希腊字母α,β,γ

等表示定义1无穷小一般用希腊字母α,β,γ等表示3无穷小的ε-δ

定义无穷小的ε-δ定义4无穷小的例子下列函数何时为无穷小？无穷小的例子下列函数何时为无穷小？5下列函数何时为无穷小？《学习指导》p.21with(plots):A:=plot(2^(1/x),x=-5..-0.1,y=-0.3..2,scaling=constrained,color=red,thickness=3):B:=plot(2^(1/x),x=0.01..5,y=-0.3..10,scaling=constrained,color=red,thickness=3):display(B,A);下列函数何时为无穷小？《学习指导》p.21with(plot6下列函数何时为无穷小？下列函数何时为无穷小？7注意：(1)任何非零常数（无论其绝对值多么小）都不是无穷小，如0.01,0.0000023。(2)0是唯一的无穷小常数。(3)无穷小必须与自变量的变化过程联系起来，不能孤立地说一个变量是无穷小。详见《学习指导》p.15,问1.15如是无穷小但不是无穷小注意：详见《学习指导》p.15,问1.15如是无穷小但不是8定理1（函数极限与无穷小的关系）证以极限为例。定理1（函数极限与无穷小的关系）证以极限9是无穷小α(x)

是无穷小是无穷小α(x)是无穷小10此定理表明：在自变量的某个变化过程中，这就是讨论无穷小的意义之一。(见《学习指导》p.16,问1.16:讨论无穷小有什么意义？)定理1（函数极限与无穷小的关系）此定理表明：在自变量的某个变化过程中，这就是讨论无穷小的意义11二、无穷大(Infinity)例考察当x0时，1/x的变化趋势。当x0时，可以大于任何正数M例如二、无穷大(Infinity)例考察当x012使得，当时，就有称1/x为x0时的无穷大，记使得，当时，就有称1/x为x0时的无穷大，记13所以的刻划需要两个正数：

M

用来表示函数值f(x)的绝对值可以任意大:|f(x)|>

M。δ

用来表示当自变量x与x0的距离充分接近时(|x-x0|<δ

)，就能保证f(x)的绝对值大于事先任意给定的M。所以的刻划需要两个正数：M用来表示函数值f(x)的14定义2无穷大就是在自变量的某个变化过程中绝对值无限增大的函数（或变量）。的定义：使得，当就有定义2的定义：使得，当就有15严格地说，表明极限不存在。但为了方便，我们说函数的极限是无穷大。注意：(1)任何常数（无论其绝对值多么大）都不是无穷大。(2)无穷大必须与自变量的变化过程联系起来，不能孤立地说一个变量是无穷大。严格地说，表明极限不存在。但为了方便，我们说函数的极限是无穷16例2证明：分析要只要要只要得所以例2证明：分析要只要要只要得所以17证明：要证只要使得，当时，就有所以证明：要证只要使得，当时，就有所以18with(plots):A:=plot((x+1)/(x-1),x=-10..0.95.1,y=-6..7):B:=plot((x+1)/(x-1),x=1.05..10,y=-6..7):C:=plot(1,x=-10..10,y=-6..7,color=blue,linestyle=2):display(A,B,C,scaling=constrained,thickness=3);铅直渐近线水平渐近线with(plots):铅直渐近线水平渐近线19VerticalAsymptote若则x=x0为y=f(x)的铅直渐近线VerticalAsymptote若则x=x0为20问：如何定义以上定义如何修改？的M-X定义问：如何定义以上定义如何修改？的M-X定义21问：如何定义以上定义如何修改？见p.4