【优化探究】高三数学二轮复习 专题演练1-5-1第一讲 随率随机变量及其分布列

PAGEPAGE5【优化探究】2023届高三数学二轮复习专题演练1-5-1第一讲随率随机变量及其分布列一、选择题1．(南昌师大附中月考)某人午觉醒来，发现表停了，他翻开收音机想听电台整点报时，那么他等待的时间少于30分钟的概率为()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(1,12)解析：整点报时的时间间隔是60分钟，故等待时间少于30分钟的概率P＝eq\f(30,60)＝eq\f(1,2).答案：B2．(太原模拟)某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是eq\f(1,2)，构造数列{an}，使得an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1（第n次抛掷时出现正面）,－1（第n次抛掷时出现反面）))，记Sn＝a1＋a2＋…＋an(n∈N*)，那么S4＝2的概率为()A.eq\f(1,16) B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)解析：依题意得知，“S4＝2”表示在连续四次抛掷中，恰有三次出现正面，因此“S4＝2”的概率为Ceq\o\al(3,4)(eq\f(1,2))3·eq\f(1,2)＝eq\f(1,4).选C.答案：C3．(保定摸底)在区间(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))上随机取一个数x，那么使得tanx∈[－eq\f(\r(3),3)，eq\r(3)]的概率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,π)C.eq\f(1,2) D.eq\f(2,3)解析：区间(－eq\f(π,2)，eq\f(π,2))的长度为π，当tanx∈[－eq\f(\r(3),3)，eq\r(3)]时，x的取值范围是[－eq\f(π,6)，eq\f(π,3)]，区间长度为eq\f(π,2)，故由几何概型的概率计算公式可得所求的概率为eq\f(1,2).答案：C4．投掷一枚质地均匀的硬币和一枚质地均匀的骰子各1次，事件A表示“硬币正面向上”，事件B表示“骰子向上的点数是2”，那么事件A，B中至少有一个发生的概率为()A.eq\f(5,12) B.eq\f(1,2)C.eq\f(7,12) D.eq\f(3,4)解析：由题知，事件A发生的概率为P(A)＝eq\f(1,2)，那么事件A不发生的概率为P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(1,2)，事件B发生的概率为P(B)＝eq\f(1,6)，事件B不发生的概率为P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(5,6)，事件A，B都不发生的概率为P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝P(eq\o(A,\s\up6(－)))·P(eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(1,2)×eq\f(5,6)＝eq\f(5,12)，故事件A，B中至少有一个发生的概率为1－P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)))＝eq\f(7,12).答案：C5．一个家庭中有两个小孩．假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，问这时另一个小孩是男孩的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)解析：解法一根本领件全体Ω＝{男男，男女，女男，女女}，记事件A为“有一个女孩”，那么P(A)＝eq\f(3,4)，记事件B为“另一个是男孩”，那么AB就是事件“一个男孩一个女孩”，P(AB)＝eq\f(1,2)，故在已知这个家庭有一个是女孩的条件下，另一个是男孩的概率P(B|A)＝eq\f(P（AB）,P（A）)＝eq\f(\f(1,2),\f(3,4))＝eq\f(2,3).解法二记“有一个女孩”的根本领件的全体Ω′＝{男女，女男，女女}，那么“另一个是男孩”的根本领件为2个，故这个概率是eq\f(2,3).答案：C二、填空题6．向面积为S的△ABC内任投一点P，那么△PBC的面积小于eq\f(S,3)的概率是________．解析：作DE∥BC分别交直线AB，AC于点D，E，使得eq\f(DE,BC)＝eq\f(2,3)，那么P取四边形BCED中任意一点即可满足题意，所以所求的概率为eq\f(S四边形BCED,S△ABC)＝eq\f(5,9).答案：eq\f(5,9)7．(武汉调研)已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{a1，a2，a3，a4}，且B＝A，定义A与B的距离d(A，B)＝eq\i\su(i＝1,4,|)ai－i|，那么d(A，B)＝2的概率为______．解析：依题意，对a1，a2，a3，a4进展全排列一共有Aeq\o\al(4,4)＝24种不同的情况，其中满足d(A，B)＝2的排列有：1，2，4，3；2，1，3，4；1，3，2，4.因此，所求事件的概率P＝eq\f(3,24)＝eq\f(1,8).答案：eq\f(1,8)8．在某市1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N(98，100)．已知参加本次考试的全市理科学生约9450人．某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市前________名左右．解析：因为学生的数学成绩X～N(98，100)，所以P(X≥108)＝eq\f(1,2)[1－P(88<X<108)]＝eq\f(1,2)[1－P(μ－σ<X<μ＋σ)]＝eq\f(1,2)(1－0.6826)＝0.1587，故该学生的数学成绩大约排在全市前0.1587×9450≈1500名．答案：1500三、解答题9．甲袋中有大小相同的3个白球、5个红球，乙袋中有大小相同的4个白球、8个黑球，从两个袋中各摸出2个球，求：(1)从甲袋中摸出的2个球都是红球的概率；(2)这4个球中恰有2个白球的概率．解析：(1)从甲袋中摸出的2个球都是红球的概率为P＝eq\f(Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(2,8))＝eq\f(5,14).(2)记“两个袋中摸出的4个球中恰有2个白球”为事件D，包括事件A、事件B、事件C三种情形．事件A：从甲袋中摸出2个白球且从乙袋中摸出2个黑球，那么P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,8))·eq\f(Ceq\o\al(2,8),Ceq\o\al(2,12))＝eq\f(1,22).事件B：从甲、乙两个袋中各摸出1个白球，那么P(B)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,5),Ceq\o\al(2,8))·eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,8),Ceq\o\al(2,12))＝eq\f(20,77).事件C：从甲袋中摸出2个红球且从乙袋中摸出2个白球，那么P(C)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(2,8))·eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(2,12))＝eq\f(5,154).因为事件A、B、C彼此互斥，所以P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq\f(1,22)＋eq\f(20,77)＋eq\f(5,154)＝eq\f(26,77).10．(高考江西卷)如图，从A1(1，0，0)，A2(2，0，0)，B1(0，1，0)，B2(0，2，0)，C1(0，0，1)，C2(0，0，2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V＝0)．(1)求V＝0的概率；(2)求V的分布列及数学期望EV.解析：(1)从6个点中随机选取3个点总共有Ceq\o\al(3,6)＝20(种)取法，选取的3个点与原点在同一个平面内的取法有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(3,4)＝12(种)，因此V＝0的概率为P(V＝0)＝eq\f(12,20)＝eq\f(3,5).(2)V的所有可能取值为0，eq\f(1,6)，eq\f(1,3)，eq\f(2,3)，eq\f(4,3)，因此V的分布列为0由V的分布列可得EV＝0×eq\f(3,5)＋eq\f(1,6)×eq\f(1,20)＋eq\f(1,3)×eq\f(3,20)＋eq\f(2,3)×eq\f(3,20)＋eq\f(4,3)×eq\f(1,20)＝eq\f(9,40).11．(高考广东卷)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如下图，其中成绩分组区间是：[40，50)，[eq\a\vs4\al(50，60))，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]．(1)求图中x的值；(2)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ，求ξ的数学期望．解析：(1)由频率分布直方图知(0.006×3＋0.01＋x＋0.054)×10＝1，解得x＝0.018.(2)由频率分布直方图知成绩不低于80分的学生人数为(0.018＋0.006)×10×50＝12，成绩在90分以上(含90分)的人数为0.006×10×50＝3.因此ξ可能取0，1，2三个值．P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,9),Ceq\o\al(2,12)