第二章 非线性方程的数值解法

第二章非线性方程的数值解法第1页，课件共19页，创作于2023年2月取满足

因此，选取迭代函数Newton–Raphson迭代格式称之为牛顿—拉夫森方法，简称牛顿法原理：将非线性方程线性化取x0

x*，将f(x)在x0

做一阶Taylor展开:，

在x0

和x

之间2、Taylor展开法/*Taylor’sexpansionMethod*/第2页，课件共19页，创作于2023年2月将(x*

x0)2

看成高阶小量，则有：xyx*x0只要f

C1，每一步迭代都有而且，则

x*就是f

的根。与x轴交点的横坐标第3页，课件共19页，创作于2023年2月无开方运算，又无除法运算。例1：写出求的Newton迭代格式；写出求的Newton迭代格式,要求公式中既解：

等价于求方程的正根

等价于求方程的正根第4页，课件共19页，创作于2023年2月Th2.7

（局部收敛性）设x*

为方程f(x)=0的根，在包含x*的某个开区间内连续，且，则存在x*的邻域，使得任取初值，由Newton’sMethod产生的序列以不低于二阶的收敛速度收敛于x*，且第5页，课件共19页，创作于2023年2月证明：Newton’sMethod

事实上是一种特殊的不动点迭代其中，则收敛由Taylor展开：在单根

/*simpleroot*/

附近收敛快只要，则令可得结论。第6页，课件共19页，创作于2023年2月有根根唯一产生的序列单调有界保证收敛Th2.8

（收敛的充分条件）设f(x)=0

且f

C2[a,b]，若(1)f(a)f(b)<0；(2)在整个[a,b]上不变号且

；(3)选取x0

[a,b]

使得；则Newton’sMethod产生的序列{xk}

收敛于方程的根,且第7页，课件共19页，创作于2023年2月注：Newton’sMethod

收敛性依赖于x0

的选取。x*x0x0x0Th2.9

（收敛的另一充分条件）设

在[a,b]上连续，(1)

f(a)f(b)<0；(2)

在整个[a,b]上且

；(3)

，则对，Newton’sMethod产生的序列{xk}

收敛于方程在[a,b]内的唯一实根。且第8页，课件共19页，创作于2023年2月Th2.9中条件（3）的几何意义保证数列单调递增且有上界第9页，课件共19页，创作于2023年2月改进与推广（补充）

/*improvementandgeneralization*/

重根

/*multipleroot*/

加速收敛法：Q1:

若，Newton’sMethod

是否仍收敛？设x*是f

的n

重根，则：且。因为Newton’sMethod

事实上是一种特殊的不动点迭代，其中，则A1:

有局部收敛性，但重数n

越高，收敛越慢。Q2:

如何加速重根情况时的收敛速度？A2:

将求

f

的重根转化为求另一函数的单根。令，则f

的重根=

的单根。第10页，课件共19页，创作于2023年2月

§5弦割法与抛物线法

/*SecantMethodandParabolaMethod

*/x0x1割线

/*secantline*/切线斜率

割线斜率需要2个初值x0

和x1。Newton’sMethod

每一步要计算f

和，为了避免计算导数值，现用f

的值近似，从而得到弦割法（割线法）。x2一、弦割法第11页，课件共19页，创作于2023年2月Th2.10

局部收敛性设表示区间，x*为方程f(x)=0的根，函数f(x)在

中有足够阶连续导数，且满足则对，由割线法产生的序列都收敛于x*，且(i)(ii)(iii)

其中收敛速度介于NewtonandBisection

之间

第12页，课件共19页，创作于2023年2月xk-2Muller方法的思想来源于弦割法:利用3个已知点构造一条抛物线,取其与x轴的交点构造下一次迭代值.x*二、抛物线法(Muller)几何图示xkxk-1xk+1第13页，课件共19页，创作于2023年2月

Muller方法的具体实现:设已知三个点则过上述三个点的抛物线方程为:取该抛物线与x轴的交点作为下一次迭代值,即然后取新的相邻的三次迭代值重复上述过程,即为Muller方法.第14页，课件共19页，创作于2023年2月

Muller方法中抛物线根的计算方法:首先要将抛物线化为规范形式:引入新的变量第15页，课件共19页，创作于2023年2月将上述变量代入前面的抛物线方程,得其中的两个零点为:第16页，课件共19页，创作于2023年2月取的两个零点中靠近的那个零点,则有

Muller方法的迭代公式为:具体计算步骤见教材P39.第17页，课件共19页，创作于2023年2月

算法:Muller方法给定初始近似值

x0

，x1

，

x2,求f(x)

=0的根.输入:

初值

x0，x1，x2;容许误差

TOL.输出:

近似解x.Step1Seti=1;Step4If|t4(x2-x1)|<TOLStep2

dosteps3-7

thenOutput(x);

STOP;

Step3

Compute

t3=(x2

x1)/(x1

x0);Step5Seti++;

d3=1+t3;Step6Setx0=x1,x1=x2,x2=x; a=f(x0)t32-f(x1)t3d3+f(x2)t3;Step7

gotoStep2.b=f(x0)t32-f(x1)d32+f(x2)(t3+d3);

c=f(x2)d3;

t4=-2c/[b+sign(b)sqrt(b2-4ac)];

x=x2+t4(x2-x1);第18页，课件共19页，创作于2023年2月Th2.5.2

（局部收敛性）设，在x*的某邻域内连续，则存在x*的一个邻域