如何用梅逊公式求传递函数名师优质课获奖市赛课一等奖课件

第四节控制系统信号流图第1页9/13/20231信号流图能够表示系统结构和变量传送过程中数学关系。它也是控制系统一个数学模型。在求复杂系统传递函数时较为方便。一、信号流图及其等效变换组成：信号流图由节点和支路组成。见下列图：信号流图概念-+第2页9/13/20232上图中，二者都具相关系:。支路对节点来说是输出支路，对节点y来说是输入支路。节点：节点表示信号，输入节点表示输入信号，输出节点表示输出信号。支路：连接节点之间线段为支路。支路上箭头方向表示信号传送方向，传递函数标在支路上箭头旁边，称支路传输。信号流图概念第3页9/13/20233信号流图术语[几个术语]：输出节点(阱点)：只有输入支路节点。如：X8。混合节点：现有输入支路又有输出支路节点。如：X2,X3,X4,X5,X6,X7。混合节点相当于结构图中信号相加点和分支点。它上面信号是全部输入支路引进信号叠加。通路：沿支路箭头方向穿过各个相连支路路线，起始点和终点都在节点上。若通路与任一节点相交不多于一次，且起点和终点不是同一节点称为开通路。起点在源点，终点在阱点开通路叫前向通路。输入节点(源点)：只有输出支路节点。如：X1，X9。第4页9/13/20234回路(闭通路)：通路与任一节点相交不多于一次，但起点和终点为同一节点通路称为回路。互不接触回路：回路之间没有公共节点时，这种回路称为互不接触回路。信号流图术语通路传输(增益)：通路中各支路传输乘积称为通路传输或通路增益。前向通路中各支路传输乘积称为前向通路传输或前向通路增益。回路传输(增益)：回路上各支路传输乘积称为回路传输或回路增益。第5页9/13/20235信号流图等效变换串联支路合并：并联支路合并：回路消除：第6页9/13/20236混合支路去除：自回路消除：信号流图等效变换第7页9/13/20237信号流图性质节点表示系统变量。普通，节点自左向右次序设置，每个节点标志变量是全部流向该节点信号之代数和，而从同一节点流向各支路信号均用该节点变量表示。支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号。信号在支路上只能沿箭头单向传递，即只有前因后果因果关系。对于给定系统,节点变量设置是任意，所以信号流图不是唯一。信号流图性质第8页9/13/20238信号流图绘制[信号流图绘制]：依据结构图列出系统各步骤拉氏方程，按变量间数学关系绘制先在结构图上标出节点，如上图所表示。然后画出信号流图以下列图所表示。例1：速度控制系统结构图为：第9页9/13/20239例2:已知结构图以下，可在结构图上标出节点，如上图所表示。然后画出信号流图以下列图所表示。第10页9/13/202310信号流图绘制例2:按微分方程拉氏变换后代数方程所表示变量间数学关系绘制。如前例所对应代数方程为:按方程可绘制信号流图。第11页9/13/202311梅逊公式用梅逊公式可无须简化信号流图而直接求得从输入节点到输出节点之间总传输。（即总传递函数）其表示式为：式中：总传输（即总传递函数）；从输入节点到输出节点前向通道总数；第k个前向通道总传输；流图特征式；其计算公式为：二、梅逊增益公式第12页9/13/202312（正负号间隔）式中：流图中全部不一样回路回路传输之和；全部互不接触回路中，每次取其中两个回路传输乘积之和；全部互不接触回路中，每次取其中三个回路传输乘积之和；

第k个前向通道特征余子式；其值为中除去与第k个前向通道接触回路后剩下部分。梅逊公式第13页9/13/202313梅逊公式||例2-13a[解]：前向通道有一条；有一个回路；例2-13a：求速度控制系统总传输。（不计扰动）第14页9/13/202314梅逊公式||例2-13[解]：先在结构图上标出节点，再依据逻辑关系画出信号流图以下：[例2-13]：绘出两级串联RC电路信号流图并用Mason公式计算总传递函数。---第15页9/13/202315图中，有一个前向通道；有三个回路；有两个互不接触回路；（因为三个回路都与前向通道接触。）总传输为：梅逊公式||例2-13（正负号间隔）式中：流图中全部不一样回路回路传输之和；全部互不接触回路中，每次取其中两个回路传输乘积之和；全部互不接触回路中，每次取其中三个回路传输乘积之和；第16页9/13/202316梅逊公式||例2-13讨论：信号流图中，a点和b点之间传输为1，是否能够将该两点合并。使得将两个不接触回路变为接触回路？假如能够话，总传输将不一样。不能合并。因为a、b两点信号值不一样。上图中，ui和ue，I1和I，a和b能够合并。第17页9/13/202317梅逊公式||例2-14例2-14：使用Mason公式计算下述结构图传递函数解：在结构图上标出节点，如上图。然后画出信号流图，以下：++--第18页9/13/202318回路有三，分别为：有两个不接触回路，所以：梅逊公式||例2-14求：前向通道有二，分别为:第19页9/13/202319梅逊公式||例2-14求：（兰线表示）不变。（红线表示）注意：上面讲不变，为何？是流图特征式，也就是传递函数特征表示式。对于一个给定系统，特征表示式总是不变，能够试着求一下。第20页9/13/202320梅逊公式注意事项注意：梅森公式只能求系统总增益，即输出对输入增益。而输出对混合节点（中间变量）增益不能直接应用梅森公式。也就是说对混合节点，不能简单地经过引出一条增益为一支路，而把非输入节点变成输入节点。对此问题有两种方法求其传递函数：一、把该混合节点全部输入支路去掉，然后再用梅森公式。二、分别用梅森公式求取输出节点及该节点对输入节点传递函数，然后把它们结果相比，即可得到输出对该混合节点传递函数。第21页9/13/202321梅逊公式||例2-15例2-15：数数有几个回路和前向通道。有四个回路，分别是：它们都是相互接触。有九条前向通道，分别是：第22页9/13/202322梅逊公式||例2-15对应结构图为：--+++++为节点注意：①信号流图与结构图对应关系；②仔细确定前向通道和回路个数。作业：2-12，2-13第23页9/13/202323小结信号流图组成；术语；信号流图绘制和等效变换；梅逊公式极其应用；信号流图和结构图之间关系。小结第24页9/13/202324梅逊公式推导附录：梅逊公式推导如前例已知信号流图如图所表示，所对应代数方程为以R为输入，V2为输出则可整理成以下方程第25页9/13/202325于是可求得该方程组系数行列式和

梅逊公式推导第26页9/13/202326依据克莱姆法则得

于是传递函数为分析上式能够看到，传递函数分子和分母取决于方程组系数行列式，而系数行列式又和信号流图拓扑结构有着亲密关系。从拓扑结构观点，信号流图主要特点取决于回路类型和数量。而信号流图所含回路主要类型有两种：单独回路和互不接触回路。梅逊公式推导第27页9/13/202327图中所表示信号流图共含有五个单独回路和三对互不接触回路（回路Ⅰ和Ⅲ、Ⅰ和Ⅳ、Ⅱ和Ⅳ）

全部单独回路增益之和为两两互不接触回路增益乘积之和为

而△值恰好为

可见，传递函数分母△取决于信号流图拓扑结构特征。

梅逊公式推导第28页9/13/202328假如把△中与第k条前向通道相关回路去掉后，剩下部分叫做第k条前向通道余子式，并记为△k。由图可得，从输入到输出前向通道和其增益以及响应余子式以下表所表示前向通道前向通道增益余子式R→V1→V3→V2→CP1=bde△1=1R→V2→CP2=f△2=1－m－ldR→V1→V2→CP3=bg△3=1梅逊公式推导第29页9/13/202329故用信号流