2017学年高中数学人教A版选修2-3教案：1.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理第一课时Word版含解析

模块纵览eq\o(\s\up7(),\s\do5(课标要求))在本模块中，学生将学习计数原理、随机变量及其分布、统计案例三章内容，在这三章中要求学生认识到：1．计数问题是数学的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它为解决很多实际问题提供了思想和工具．在本章中，学生将学习计数原理、排列、组合、二项式定理及其应用，了解计数与现实生活的联系，会解决简单的计数问题．2．通过具体实例，帮助学生理解取有限值的离散型随机变量及其分布列、均值、方差的概念，理解超几何分布和二项分布的模型，并能解决简单的实际问题．使学生认识分布列对于刻画随机现象的重要性，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，了解条件概率和两个事件相互独立的概念．3．在《数学3(必修)》概率统计内容的基础上，通过典型案例进一步介绍回归分析的基本思想、方法及初步应用；通过典型案例介绍独立性检验的基本思想、方法及初步应用，使学生认识统计方法在决策中的作用．eq\o(\s\up7(),\s\do5(内容概述))本模块第一章的主要内容是：1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理、1.2排列与组合、1.3二项式定理，在本章中分类加法计数原理和分步乘法计数原理是处理计数问题的两种基本思想方法，一般地，面对一个复杂的计数问题，人们往往通过分类或分步将它分解为若干个简单的计数问题，在解决这些简单问题的基础上，将它们整合起来而得到原问题的答案，这也是日常生活中被经常使用的思想方法．这样可以达到以简驭繁，化难为易的效果；排列、组合是两类特殊而重要的计数问题，而解决它们的基本思想和工具就是两个计数原理；二项式定理的展开式及其特征要明确，也要认识二项式的展开式与两个计数原理之间的内在联系．本模块第二章的内容是：2.1离散型随机变量及其分布列、2.2二项分布及其应用、2.3离散型随机变量的均值与方差、2.4正态分布，随机变量在概率统计研究中有极其重要的作用，它通过实数空间来刻画随机现象，从而使得更多的数学工具有了用武之地．离散型随机变量是最简单的随机变量，本章通过离散型随机变量展示用实数空间刻画随机现象的方法，研究一个随机现象，就要了解它所有可能出现的结果和每一个结果出现的概率，分布列正是描述了离散型随机变量取值的概率规律．二项分布的学习，需要对条件概率和事件独立性进行研究，可以用具体实例理解并掌握条件概率和事件独立性．随机变量的分布列全面刻画了随机变量取值的统计规律，随机变量的均值和方差分别从不同角度刻画了随机变量取值的特征，随机变量的均值是刻画随机变量平均取值的一个指标，而随机变量的方差是刻画随机变量取值的离散程度的指标；正态分布在统计中是很常用的分布，它能刻画很多随机现象，通过分析正态分布密度曲线的解析式，得到正态分布密度曲线的特点及正态分布随机变量分别在区间(μ－σ，μ＋σ)、(μ－2σ，μ＋2σ)、(μ－3σ，μ＋3σ)上的取值概率．本模块第三章的主要内容是：3.1回归分析的基本思想及其初步应用、3.2独立性检验的基本思想及其初步应用．在《数学3(必修)》的基础上，进一步介绍回归模型的基本思想及其初步应用，通过实例说明了线性回归模型与学生熟悉的函数关系的区别，解释了随机误差项产生的原因，并从相关系数的角度研究了两个变量间线性相关关系的强弱．在独立性检验中，独立性检验的思想对学生来说是难以理解的，假设检验的基本思想与反证法类似，它们都是假设结论不成立，但反证法是在推出矛盾后得证结论成立，而假设检验是在结论不成立时推出有利于结论成立的小概率事件发生，我们知道小概率事件在一次试验中通常是不会发生的，因此认为结论在很大程度上是成立的．eq\o(\s\up7(),\s\do5(教学建议))本书注意了基本数学思想方法的教学，并努力使内容反映的思想方法显性化，及时提醒学生注意化归、归纳、类比、分类、对称等思想方法的使用．对于两个计数原理，从思想方法的角度看，运用分类加法计数原理解决问题就是将一个复杂问题分解为若干“类别”，然后分类解决，各个击破；运用分步乘法计数原理，则是将一个复杂问题的解决过程分解为若干“步骤”，先对每一个步骤进行细致分析，再整合为一个完整的过程．由于排列、组合及二项式定理的研究都是作为两个计数原理的典型应用而设置的，因此，理解并掌握两个计数原理是学好本章内容的关键．排列与组合是两类特殊的计数问题，是两个计数原理的典型应用，排列与组合在计数中的地位可以与数列中的等差数列、等比数列类比．在多项式的运算中，把二项式展开成单项式之和的形式，即二项式定理有着非常重要的地位，它是带领我们进入微分学领域大门的一把金钥匙，只是在中学阶段已没有显示的机会而已．本模块约需36课时，具体分配如下，仅供参考：第一章计数原理约14课时第二章随机变量及其分布约9课时第三章统计案例约10课时第一章计数原理eq\o(\s\up7(),\s\do5(本章概览))教材分析计数问题是数学的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具．在本章中，学生将学习计数基本原理、排列、组合、二项式定理及其应用，了解计数与现实生活的联系，会解决简单的计数问题．分类加法计数原理与分步乘法计数原理本身是容易理解的，甚至是不言自明的，但由于这部分内容是相对独立的，与前面学过的数学知识几乎没有联系，学生缺乏一定的认知基础．而这两个原理又是我们学习排列、组合的基础，它的方法和思想贯穿于整章的教学内容中，所以学生对两个原理的掌握程度决定后面两个单元的学习效果．本章的重点主要有：归纳得出分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能应用它们解决简单的实际问题；归纳地、对比地得出排列与组合概念；根据两个计数原理推导出排列数、组合数公式；应用排列与组合知识解决简单的实际问题；用两个计数原理分析(a＋b)2的展开式，归纳得出二项式定理，并能用计数原理证明；掌握二项展开式的通项公式；能应用它解决简单问题；学会讨论二项式系数性质的一些方法．本章的难点主要有：正确地理解“完成一件事情”的含义；根据实际问题的特征，正确地区分“分类”或“分步”；建立组合与排列的联系，结合两个计数原理推导组合数公式；根据实际问题的特征，正确地区分“排列”或“组合”；用两个计数原理分析(a＋b)2的展开式；用两个计数原理证明二项式定理．课标要求1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；2．会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题；3．理解排列、组合的概念，区分它们的异同；4．能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，能解决简单的实际问题；5．能用计数原理证明二项式定理；6．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．教学建议教学中应多联系实例，由简单例子入手，先理解两个原理，再逐步涉及较复杂的分类和分步问题．在整章的教学中，要始终以两个原理作为工具和理论基础，在应用原理证明排列数、组合数、二项式定理的过程中加深对原理的理解．课时分配本章教学时间大约需14课时，具体分配如下(仅供参考)：1．1分类加法计数原理和分步乘法计数原理约4课时1．2排列与组合约6课时1．3二项式定理约3课时本章复习约1课时1.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理eq\o(\s\up7(),\s\do5(整体设计))教材分析两个原理的主要内容都是计算在完成一件事情中所有不同方法种数的问题，其区别在于：运用加法原理的前提条件是做一件事有n类方案，选择任何一类方案中的任何一种方法都可以独立完成此事，也就是说，完成这件事的各种方法是相互独立的；运用乘法原理的前提条件是做一件事有n个步骤，只有依次完成所有的步骤后才能完成这件事，也就是说，完成这件事的各个步骤是相互依存的．两个原理本身是容易理解的，但学生又缺乏一定的认知基础，而这两个原理是我们学习排列、组合的基础，它的方法和思想贯穿于整章的教学内容中，故学生对两个原理的掌握程度决定后面两个单元的学习效果．所以在教学中要通过实例导入，引导学生利用实例分析两个原理的区别，明确使用的前提条件．课时分配4课时第一课时教学目标知识与技能1．归纳得出分类加法计数原理与分步乘法计数原理．2．初步学会区分“分类”和“分步”，能够用两个计数原理解决简单的计数问题．过程与方法通过对简单实例的分析概括，总结出分类加法计数原理和分步乘法计数原理．情感、态度与价值观引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式，培养学生的抽象概括能力．重点难点教学重点：分类加法计数原理与分步乘法计数原理．教学难点：分类加法计数原理与分步乘法计数原理的准确理解．eq\o(\s\up7(),\s\do5(教学过程))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(引入新课))提出问题1：某家庭欲在五一期间从甲地去乙地进行自助旅游，一天中有火车3班，有汽车2班，那么这个家庭一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地有多少种不同的走法？提出问题2：后来听说丙地也是旅游胜地，于是改变行程，先从甲地到乙地，再从乙地到丙地，已知乙地到丙地一天中有飞机2班，轮船2班，问一天中乘坐这些交通工具从甲地到丙地共有多少种不同的走法？活动设计：请学生举手回答．活动成果：问题1如图1，从甲地到乙地共有两类不同的走法，其中坐火车有3种走法，坐汽车有2种走法，所以从甲地到乙地共有5种不同的走法．图1问题2如图2，先从甲地到乙地，再从乙地到丙地，有5类不同的方案．图2若从甲地到乙地乘火车1，从乙地到丙地有飞机2班，轮船2班共4种不同的走法；同样，若从甲地到乙地乘火车2、3和汽车1、2，从乙地到丙地均有飞机2班，轮船2班共4种不同的走法，所以从甲地经乙地到丙地共有4＋4＋4＋4＋4＝4×5＝20种不同的走法．设计意图：从两个具体的例子入手，引出这一章要研究的问题：计数问题．为引出分类加法计数原理和分步乘法计数原理做准备．1．分类加法计数原理eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(探索新知))提出问题1：由上述问题1，你能归纳猜想出一般结论吗？活动设计：先独立思考，后小组交流，学生总结，教师补充．活动成果：分类加法计数原理：完成一件事，有两类不同的方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法．设计意图：培养学生的抽象概括能力，得到分类加法计数原理．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(理解新知))提出问题1：在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到A、B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：A大学B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？活动设计：请学生举手回答．活动成果：由于这名同学在A、B两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件．解：这名同学可以选择A、B两所大学中的一所．在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法．又由于两所大学没有共同的强项专业，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数为5＋4＝9.设计意图：强调解决计数问题时，应特别注意使用计数原理的条件．提出问题2：若还有C大学，其中强项专业为：新闻学、金融学、人力资源学．那么，这名同学可能的专业选择共有多少种？活动设计：学生举手发言．活动成果：解：这名同学可以选择A、B、C三所大学中的一所．在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法，在C大学中有3种专业选择方法．又由于三所大学没有共同的强项专业，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择种数为5＋4＋3＝12.设计意图：加深对分类加法计数原理的理解，明确使用的条件．提出问题3：如果完成一件事有三类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，在第3类方案中有m3种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同的方法？活动设计：学生举手发言．活动成果：共有m1＋m2＋m3种不同的方法．设计意图：将分类加法计数原理推广到三类的情况，为进一步推广奠定基础．提出问题4：如果完成一件事情有n类不同方案，在每一类中都有若干种不同方法，那么应当如何计数呢？活动设计：学生举手发言，学生补充，教师总结．活动成果：完成一件事，有n类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．设计意图：推广分类加法计数原理，加深对分类加法计数原理的理解．2．分步乘法计数原理eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(探索新知))提出问题1：用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？活动设计：请学生举手回答．活动成果：用列举法可以列出所有可能的号码：我们还可以这样来思考：由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有6×9＝54个不同的号码．设计意图：进一步应用分类加法计数原理，为引出分步乘法计数原理做准备．提出问题2：由上述问题，你能归纳猜想出一般结论吗？活动设计：先独立思考，后小组交流，学生总结，教师补充．活动成果：分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．设计意图：培养学生的抽象概括能力，得到分步乘法计数原理．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(理解新知))提出问题1：设某班有男生30名，女生24名．现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选择？活动设计：学生分析思路．活动成果：思路分析：选出一组参赛代表，可以分两个步骤：第1步是选男生，第2步是选女生．解：第1步，从30名男生中选出1人，有30种不同选择；第2步，从24名女生中选出1人，有24种不同选择．根据分步乘法计数原理，共有30×24＝720种不同的选法．设计意图：在用原理做题时，要从完成一件事的角度去分析，完成这件事是分成几个不同的步骤还是几个不同的类别．提出问题2：学校要为同学们订做新校服，有三个服装厂，每个服装厂均提供了五种款式，每种款式均有六种颜色可供选择，那么学校有多少种不同的订做校服的选择？活动设计：学生举手回答．活动成果：可以把订做校服这件事分成三个步骤来完成．第一步，选择服装厂，有3种选择；第二步，选择款式，有5种选择；第三步，选择颜色，有6种选择．根据分步乘法计数原理，共有3×5×6＝90种不同的选择．设计意图：将分步乘法计数原理推广到分三步的情况，为进一步推广奠定基础．提出问题3：由上述问题，你能得到更一般的结论吗？活动设计：学生举手发言，学生补充，教师总结．活动成果：完成一件事，需要n个不同的步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．设计意图：推广分步乘法计数原理，加深学生对分步乘法计数原理的理解．提出问题4：比较分类加法计数原理和分步乘法计数原理，你能找出它们的区别与联系吗？活动设计：先独立思考，后小组交流，请同学发言，教师补充．活动成果：1．相同点：都是回答有关完成一件事的不同方法种数的问题．2．不同点：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事，是独立完成；而分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，只完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事，是合作完成．设计意图：引导学生对两个计数原理作比较，加深对原理使用条件的理解．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(运用新知))例书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书．(1)从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？(2)从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？(3)从书架上任取两本不同学科的书，有多少种不同的取法？思路分析：(1)要完成的事是“取一本书”，由于不论取书架的哪一层的哪一本书都可以完成这件事，因此是分类问题，应用分类计数原理．(2)要完成的事是“从书架的第1、2、3层中各取一本书”，由于取一层中的一本书都只完成了这件事的一部分，只有在第1、2、3层中都取一本书后，才能完成这件事，因此是分步问题，应用分步计数原理．(3)要完成的事是“取2本不同学科的书”，先要考虑的是取哪两个学科的书，如取计算机和文艺书各1本，再要考虑取1本计算机书或取1本文艺书都只完成了这件事的一部分，应用分步计数原理，上述每一种选法都完成后，这件事才能完成，因此这些选法的种数之间还应运用分类计数原理．解：(1)从书架上任取1本书，有3类方法：第1类方法是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类方法是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类方法是从第3层取1本体育书，有2种方法．根据分类加法计数原理，不同取法的种数是N＝m1＋m2＋m3＝4＋3＋2＝9.(2)从书架的第1,2,3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3步从第3层取1本体育书，有2种方法．根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是N＝m1×m2×m3＝4×3×2＝24.(3)N＝4×3＋4×2＋3×2＝26.【巩固练习】要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？解：从3幅画中选出2幅分别挂在左、右两边墙上，可以分两个步骤完成：第1步，从3幅画中选1幅挂在左边墙上，有3种选法；第2步，从剩下的2幅画中选1幅挂在右边墙上，有2种选法．根据分步乘法计数原理，不同挂法的种数是N＝3×2＝6.6种挂法可以表示如下：【变练演编】为了确保电子信箱的安全，在注册时，通常要设置电子信箱密码．在某网站设置的信箱中，(1)密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个数字，这样的密码共有多少个？(2)密码为4位，每位是0到9这10个数字中的一个，或是从A到Z这26个英文字母中的一个．这样的密码共有多少个？解：(1)设置电子密码可以分成四个步骤：第一步，确定第一位密码，有10种不同的方法；第二步，确定第二位密码，有10种不同的方法；第三步，确定第三位密码，有10种不同的方法；第四步，确定第四位密码，有10种不同的方法．根据分步乘法计数原理，不同的密码共有10×10×10×10＝10000个．(2)设置电子密码可以分成四个步骤：第一步，确定第一位密码，有两类不同的方案．第一类方案选数字有10种不同的方法，第二类方案选字母，有26种不同的选择，共有10＋26＝36种不同的选法；第二步，确定第二位密码，有两类不同的方案．第一类方案选数字有10种不同的方法，第二类方案选字母，有26种不同的选择，共有10＋26＝36种不同的选法；第三步，确定第三位密码，有两类不同的方案．第一类方案选数字有10种不同的方法，第二类方案选字母，有26种不同的选择，共有10＋26＝36种不同的选法；第四步，确定第四位密码，有两类不同的方案．第一类方案选数字有10种不同的方法，第二类方案选字母，有26种不同的选择，共有10＋26＝36种不同的选法．根据分步乘法计数原理，不同的密码共有36×36×36×36＝364个．设计意图：进一步加深对分类加法计数原理和分步乘法计数原理的理解，初步接触分类加法计数原理和分步乘法计数原理的综合运用．【达标检测】1．填空：(1)一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是________．(2)从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同的路线有________条．2．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有________种行车路线．3．某地的部分电话号码是0543316××××，后面的每个数字来自0～9这10个数，问可以产生多少个不同的电话号码？答案：1.(1)9(2)62.123.10000eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(课堂小结))1．知识收获：分类加法计数原理和分步乘法计数原理，以及它们的区别与联系．分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题．区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事，分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法互相依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事．2．方法收获：分类讨论、化归思想．3．思维收获：抽象概括问题的能力．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(补充练习))【基础练习】1．(1)在图Ⅰ的电路中，只合上一只开关以接通电路，有多少种不同的方法？(2)在图Ⅱ的电路中，合上两只开关以接通电路，有多少种不同的方法？2．现有高一年级的学生3名，高二年级的学生5名，高三年级的学生4名．(1)从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？(2)从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？答案：1.(1)5(2)62.(1)12(2)60【拓展练习】已知a∈{3,4,6}，b∈{1,2,7,8}，r∈{8,9}，则