北京京工中学高三数学文上学期摸底试题含解析

北京京工中学高三数学文上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在等比数列中＞0,且()

A．

B．

C．

D．1004×1005参考答案：B2.过点P（－3，3）作圆的切线，则切线方程是

（

）

A．4x+3y+3=0

B．3x+4y－3=0

C．4x－3y+21=0

D．3x－4y+21=0参考答案：答案:C3.若函数在区间内单调递增，则的取值范围是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：C略4.抛物线的焦点为，若抛物线与直线交于、两点，则(

)A.5

B.6

C.7

D.8参考答案：C5.函数定义域为，若与都是奇函数，则（

）

A.是偶函数

B.是奇函数

C.

D.是奇函数参考答案：D略6.如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（）A．1﹣ B． C． D．1﹣参考答案：A【考点】几何概型．【分析】由题意，直接看顶部形状，及正方形内切一个圆，正方形面积为4，圆为π，即可求出“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率．【解答】解：由题意，正方形的面积为22=4．圆的面积为π．所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1﹣，故选：A．【点评】本题考查概率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．7.如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，则该几何体外接球的表面积为（）A． B．8π C．9π D．参考答案：D【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】作出几何体的直观图，根据三视图的特点找出外接球球心的位置，利用勾股定理列方程解出球的半径，即可求出该几何体外接球的表面积．【解答】解：该几何体为三棱锥A﹣BCD，设球心为O，O1，O2分别为△BCD和△ABD的外心，依题意，∴球的半径，∴该几何体外接球的表面积为．故选：D．8.在复平面内表示复数的点位于（

）第一象限

第二象限第三象限

第四象限

参考答案：A9.（2015?雅安模拟）设α为锐角，若cos=，则sin的值为（） A． B． C． ﹣ D． ﹣参考答案：B考点： 二倍角的正弦；三角函数的化简求值．专题： 三角函数的求值．分析： 利用同角三角函数基本关系式、倍角公式即可得出．解答： 解：∵α为锐角，cos=，∴∈，∴==．则sin===．故选：B．点评： 本题考查了同角三角函数基本关系式、倍角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.四棱锥P-ABCD的底面为正方形ABCD，PA⊥底面ABCD，，若该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上，则PA的长为（）A.3 B.2 C.1 D.参考答案：C【分析】连接AC、BD交于点E，取PC的中点O，连接OE,可得O为球心，由该四棱锥的所有顶点都在体积为的同一球面上，可得PA的值.【详解】解：连接AC、BD交于点E，取PC的中点O，连接OE，可得OE∥PA,OE⊥底面ABCD，可得O到四棱锥的所有顶点的距离相等，即O为球心，设球半径为R，可得，可得，解得PA=1,故选C.【点睛】本题主要考查空间几何体外接球的相关知识及球的体积公式，得出球心的位置是解题的关键.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x，y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y＝f(x)，则y＝f(x)的图象是______(填序号)．

参考答案：①

12.i是虚数单位，复数＝

．参考答案：．13.若函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是．参考答案：0＜b＜2【考点】函数的零点．【分析】由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可求b的范围【解答】解：由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点，结合函数的图象可得，0＜b＜2时符合条件，故答案为：0＜b＜214.已知.则的夹角为_______________.参考答案：120°15.已知函数满足，且时，,则函数与的图象的交点的个数是

.参考答案：416.某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名同学只参加一个小组）（单位：人）

篮球组书画组乐器组高一4530高二151020学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则的值为

.参考答案：30由题意知，，解得。17.已知直线过点,且有一方向向量与向量垂直,则的方程为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在一次水下考古活动中，某一潜水员需潜水50米到水底进行考古作业．其用氧量包含一下三个方面：①下潜平均速度为x米/分钟，每分钟用氧量为x2升；②水底作业时间范围是最少10分钟最多20分钟，每分钟用氧量为0.3升；③返回水面时，平均速度为x米/分钟，每分钟用氧量为0.32升．潜水员在此次考古活动中的总用氧量为y升．（1）如果水底作业时间是10分钟，将y表示为x的函数；（2）若x∈[6，10]，水底作业时间为20分钟，求总用氧量y的取值范围；（3）若潜水员携带氧气13.5升，请问潜水员最多在水下多少分钟（结果取整数）？参考答案：【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）依题意下潜时间分钟，返回时间分钟，进而列式可得结论；（2）通过基本不等式可知及x∈[6，10]可知y=++6在[6，8]上单调递减、在[8，10]上单调递增，比较当x=6、10时的取值情况即得结论；（3）潜水员在潜水与返回最少要用8升氧气，则在水下时间最长为≈18.3分钟．【解答】解：（1）依题意下潜时间分钟，返回时间分钟，∴y=，整理得y=++3（x＞0）…（2）由（1）同理得y=++6≥14（x∈[6，10]）函数在x∈[6，8]是减函数，x∈[8，10]是增函数，∴x=8时，ymin=14，x=6时，y=，x=10，y=＜，∴总用氧量y的取值范围是[14，]；（3）潜水员在潜水与返回最少要用8升氧气，则在水下时间最长为≈18.3分钟，所以潜水员最多在水下18分钟．…19.已知的两顶点坐标，，圆是的内切圆，在边，，上的切点分别为，（从圆外一点到圆的两条切线段长相等），动点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）设直线与曲线的另一交点为，当点在以线段为直径的圆上时，求直线的方程.参考答案：----------------------8分因为,所以

略20.已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为，右焦点到到右顶点的距离为1．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在与椭圆C交于A，B两点的直线l：y=kx+m（k∈R），使得|+2|=|﹣2|成立？若存在，求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．参考答案：考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由已知条件推导出e=，a﹣c=1．由此能求出椭圆C的标准方程．（2）存在直线l，使得||=||成立．设直线l的方程为y=kx+m，由得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．由此利用根的判别式和韦达定理结合已知条件能求出实数m的取值范围．解答： 解：（1）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），半焦距为c．依题意e=，由右焦点到右顶点的距离为1，得a﹣c=1．解得c=1，a=2．所以=4﹣1=3．

所以椭圆C的标准方程是．（2）解：存在直线l，使得||=||成立．理由如下：设直线l的方程为y=kx+m，由得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，化简得3+4k2＞m2．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．若||=||成立，即||2=||2，等价于．所以x1x2+y1y2=0．x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，（1+k2）?，化简得7m2=12+12k2．将代入3+4k2＞m2中，3+4（）＞m2，解得．又由7m2=12+12k2≥12，得，从而，解得或．所以实数m的取值范围是．点评：本题考查椭圆的标准方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地加以运用．21.(本小题满分13分)（Ⅰ）写出两角差的余弦公式cos(α-β)=

，并加以证明；（Ⅱ）并由此推导两角差的正弦公式sin(α-β)=

。参考答案：解：（Ⅰ）两角差的余弦公式

……1分在平面直角坐标系xOy内，以原点O为圆心作单位圆O，以Ox为始边，作角α,β，设其终边与单位圆的交点分别为A,B，则向量，向量,记两向量的夹角为，则

…4分(1)如果,那么，∴∴

……6分(2)如果,如图，不妨设α=2kπ+β+θ,k∈Z,所以有同样有

…………8分（Ⅱ），

…………9分证明如下：把公式中的换成，得

………………13分22.（13分）已知函数f（x）=lnx﹣ax+1（a＞0）．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若a=，且关于x的方程f（x）=﹣x+b在[1，4]上恰有两个不等的实根，求实数b的取值范围；（Ⅲ）设各项为正数的数列{an}满足a1=1，an+1=lnan+an+2（n∈N*），求证：an≤2n﹣1．参考答案：【考点】数列与函数的综合；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】综合题；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）求导数，确定函数的单调性，即可求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）设，求出函数的最大值，比较g（1），g（4），即可求实数b的取值范围；（Ⅲ）证明an+1+1≤2（an+1），可得当n≥2时，，，…，，相乘得，即可证明结论．【解答】（Ⅰ）解：函数的定义域为（0，+∞），，，当时，f（x）取最大值…（Ⅱ）解：，由得在[1，4]上有两个