北京第一八二中学高三数学文下学期摸底试题含解析

北京第一八二中学高三数学文下学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设等差数列{an}满足3a8=5a15，且，Sn为其前n项和，则数列{Sn}的最大项为（）A． B．S24 C．S25 D．S26参考答案：C【考点】等差数列的前n项和．【分析】设等差数列{an}的公差为d，由3a8=5a15，利用通项公式化为2a1+49d=0，由，可得d＜0，Sn=na1+d=（n﹣25）2﹣d．利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵3a8=5a15，∴3（a1+7d）=5（a1+14d），化为2a1+49d=0，∵，∴d＜0，∴等差数列{an}单调递减，Sn=na1+d=+d=（n﹣25）2﹣d．∴当n=25时，数列{Sn}取得最大值，故选：C．2.变量x，y满足约束条件则目标函数的取值范围是（

）

A.

[1,8]

B.[3,8]

C．[1,3]

D.[1,6]参考答案：A3.复数z＝a＋bi(a，b∈R)的虚部记作Im(z)＝b，则Im()＝

A－ B.

C．－

D．.参考答案：A4.下列命题正确的是：（1）已知命题（2）设表示不同的直线，表示平面，若；（3）利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a，则事件“”发生的概率为（4）“”是“”的充分不必要条件.A.（1）（4） B.（2）（3） C.（1）（3） D.（3）（4）参考答案：D

【知识点】命题的真假判断与应用A2（1）命题p：?x∈R，2x=1．则?p是：?x∈R，2x≠1，因此不正确；（2）设l，m表示不同的直线，α表示平面，若m∥l，且m∥α，则l∥α或l?α，因此不正确；（3）P（3a﹣1＞0）=P（a＞）=，正确；（4）“a＞0，b＞0”?“”，反之不成立，例如a＜0，b＜0，则“”成立，因此“a＞0，b＞0”是“”的充分不必要条件，正确．综上只有：（3）（4）正确．故选：D．【思路点拨】（1）利用命题的否定即可判断出正误；（2）若m∥l，且m∥α，则l∥α或l?α，即可判断出正误；（3）利用几何概率计算公式即可判断出正误；（4）“a＞0，b＞0”?“”，反之不成立，例如a＜0，b＜0，则“”成立，即可判断出正误．5.已知半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是Ａ．?

Ｂ.

Ｃ．

Ｄ.

参考答案：D6.一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔的南偏西距塔68海里的处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的处，则这只船航行的速度为（）A.海里/小时B.海里/小时

C.海里/小时D.海里/小时参考答案：A7.已知点A（﹣2，0），点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则|AM|的最小值是（）A．5 B．3 C．2 D．参考答案：D【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】首先画出不等式组表示的平面区域，根据图形分析|AM|的最小值的几何意义．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图，结合图象可知|AM|的最小值为点A到直线2x+y﹣2=0的距离，即|AM|min=．故选：D．【点评】本题考查了不等式组表示的平面区域的画法以及运用；关键是正确画图，明确所求的几何意义．8.等差数列中，，若数列的前项和为，则的值为（

）A、14

B、15

C、16

D、18参考答案：C9.设函数与的图像的交点为，则所在的区间是

A．

B．

C．

D．参考答案：B10.已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且轴，则双曲线的离心率为 A． B．

C．

D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设是定义在上的奇函数，当时，，则__________。参考答案：-112.设点P是双曲线与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，其中F1,F2分别是双曲线的左、右焦点，且，则双曲线的离心率为______.参考答案：13.已知函数在处取得极值10，则取值的集合为

．参考答案：．试题分析：由函数得，．因为函数在处取得极值10，所以，，即，所以或．当时，，所以，；，；所以满足题意；当时，，所以在处不存在取得极值．所以，所以，所以取值的集合为．考点：利用导数研究函数的极值．14.从五件正品，一件次品中随机取出两件，则取出的两件产品中恰好是一件正品，一件次品的概率是

。参考答案：

解析：15.如图，圆的割线交圆于、两点，割线经过圆心.已知，，.则圆的半径_______________．参考答案：8略16.命题“”的否定是

。参考答案：试题分析：∵命题“”是特称命题，∴命题的否定为：．考点：命题的否定．17.已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若S9=27，则a2﹣3a4等于

．参考答案：﹣6【考点】等差数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】在等差数列{an}中，由S9=27求得a5，利用a4﹣a2=2（a5﹣a4）可求解a2﹣3a4的值．【解答】解：因为数列{an}为等差数列，且Sn为其前n项和，由S9=27，得9a5=27，所以a5=3．又在等差数列{an}中，a4﹣a2=2（a5﹣a4），所以a2﹣3a4=﹣2a5=﹣6．故答案为﹣6．【点评】本题考查了等差数列的前n项和，考查了等差数列的性质，考查了学生的灵活变形能力，是基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，分别为AB，CC1的中点.（1）求证：CM∥平面B1AN；（2）若，求平面B1AN与平面B1MC所成锐二面角的余弦值参考答案：(1)见证明；(2)【分析】（1）取的中点E，连接EM，EN，可得四边形EMCN为平行四边形，得到CM∥NE．再由直线与平面平行的判定可得平面；（2）由已知证明平面，以M为坐标原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，由平面的法向量与所成角的余弦值可得平面与平面所成锐二面角的余弦值．【详解】（1）证明：取的中点E，连接EM，EN，在△中，E，M分别是，AB的中点，则EM∥，且，又N为的中点，∥，∴∥，，从而有EM∥NC且EM=NC，∴四边形EMCN为平行四边形，则CM∥NE．又∵CM?平面，NE?平面，∴CM∥平面；（2）∵AC=BC，M为AB的中点，∴CM⊥AB，直三棱柱中，由⊥平面ABC，得⊥，又∵AB∩=，∴⊥平面，从而又∵，，∴⊥平面，从而有，∵，∴．由（1）知∥，∴⊥平面ABC．以M为坐标原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系M-，则，C（0，2，0），N（0，2，）．∴．设平面AN的法向量为=（），则，取，则=（1，0，-2），平面的法向量为，∴，∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为．【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．19.（本小题满分12分）已知三棱柱中，在底面ABC上的射影恰为AC的中点D.（1）求证：；（2）求四棱锥的体积.参考答案：（1）见解析（2）

【知识点】直线与平面垂直的性质B4（1）证明：∵A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，∴A1D⊥平面ABC，∵A1D平面A1AC，∴平面A1AC⊥平面ABC，∵BC⊥AC，平面A1AC∩平面ABC=AC，∴BC⊥平面A1AC，∵AC1平面A1AC，∴BC⊥AC1，∵四边形ACC1A1为平行四边形，AA1=AC，∴四边形ACC1A1为菱形，∴A1C⊥AC1，∵A1C平面A1CB，BC平面A1CB，A1C∩BC=C，∴AC1⊥平面A1CB，∵BA1平面A1CB，∴AC1⊥BA1．（2）∵=S△ABC?A1D=××××=．=S△ABC?A1D=×××=．∴=﹣=﹣=．【思路点拨】（1）先利用面面垂直的判定定理证明出平面A1AC⊥平面ABC，进而证明出BC⊥AC1，同理根据菱形的性质证明出A1C⊥AC1，利用线面垂直的判定定理证明出AC1⊥平面A1CB，最后根据线面垂直的性质证明出AC1⊥BA1．（2）分别求出和最后作差即可．20.（本小题满分12分）已知函数sin（ωx＋φ）（ω＞0，0≤φ≤π）为偶函数，其图象上相邻的两个最低点间的距离为2π.（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）将函数图像向右平移个单位得到函数的图像，若，且，求的值．参考答案：【知识点】三角函数的图象与性质C3（Ⅰ）f(x)=cosx（Ⅱ）（Ⅰ）因为周期为2π，所以ω＝1，又因为0≤φ≤π，f（x）为偶函数，所以φ＝，则．（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）＝cosx．得g（）=cos（-）=，==cos（-）=【思路点拨】由周期为2π，所以ω＝1，f（x）为偶函数φ＝，求出解析式。由（Ⅰ）f（x）＝cosx．得化简得结果。21.如图，是圆的直径，弦于点，是延长线上一点，，，，切圆于，交于．（1）求证：△为等腰三角形；（2）求线段的长．参考答案：（1）证明见解析；（2）.试题分析：（1）由，，，四点共圆，得到，再得到，得出△为等腰三角形；（2）由勾股定理算出,由，求出，由切割线定理求出,再求出.试题解析：（1）证明：连接，，则，，，共圆，∴，∵，∴，∴，∴，∴△为等腰三角形．（2）解：由，，可得，∴，，∴，连接，则，∴．考点：1.勾股定理；2.切割线定理.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（是参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程