第03讲解不等式

第03讲解不等式1．解不含参数的一元二次不等式=1\*GB3①化0：将一元二次不等式化为一端为0的形式；=2\*GB3②求根：求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实数根；=3\*GB3③画图：画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中；=4\*GB3④求解：根据不等号方向判断取草图中位于轴上方或下方；注意：开口向上，大于0取两边，小于0取中间；开口向下则相反。2．解含参数的一元二次不等式如：=1\*GB2⑴=2\*GB2⑵因式分解求两根3．解分式不等式(1)eq\f(fx,gx)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；(2)eq\f(fx,gx)≥0(≤0)⇔.4．解绝对值不等式平方后变成开口向上的一元二次不等式，再按一元二次不等式求解．5．解指数不等式(1)形如af(x)>ag(x)的不等式，可借助y＝ax的单调性求解；(2)形如af(x)>b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解；(3)形如ax>bx的不等式，可借助两函数y＝ax，y＝bx的图象求解．6．解对数不等式(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论．(2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解．(3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．7．解三角函数不等式用三角函数图象解三角不等式的步骤(1)作出相应的正弦函数或余弦函数或正切函数在[0,2π]上的图象；(2)写出不等式在区间[0,2π]上的解集；(3)根据公式一写出定义域内的解集．一．解不含参数的一元二次不等式例1．解不等式：=1\*GB2⑴.=2\*GB2⑵.=3\*GB2⑶.=4\*GB2⑷.=5\*GB2⑸=6\*GB2⑹；=7\*GB2⑺.【复习指导】：对比以上7个小例题，结合图像，总结区分解集为两根之间、两根之外、∅、R、＝或≠某根的情况。【详解】=1\*GB2⑴所以，即解集为.=2\*GB2⑵等价于等价于，解得：或，所以不等式的解集为；=3\*GB2⑶，，，所以原不等式的解集为.=4\*GB2⑷设函数，令，则，即函数的图象与x轴无公共点，又二次函数图象开口向下，不等式恒成立，所以不等式的解集是：R.=5\*GB2⑸因为，所以的解集为.=6\*GB2⑹，可得，∴不等式解集为.=7\*GB2⑺原不等式造价变形为，即，设函数，则函数的图象与x轴交点的横坐标为或，又二次函数图象开口向上，由得：得或，所以不等式的解集是：.二．解含参数的一元二次不等式例2．解关于x的不等式：x【详解】方程的解为，，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.例3．解关于x的不等式：ax【复习指导】：前的进行分类讨论，=0，＞0，＜0；3.对两根进行比较大小，分类讨论。【详解】①当时，原不等式可化为：,可得不等式的解集为，②当时，原不等式可化为：，不等式的解集为：；③当时，原不等式可化为：,当时，不等式的解集为：,当时，不等式的解集为：,当时，不等式的解集为:.三．解分式不等式例4．解不等式：（1）.(2).(3)．(4).【复习指导】：1.注意分母≠0的情况；2.不等号右边是非0常数时，一般化为不等号右边为0的一元二次不等式再计算。【详解】（1）原不等式化为：方程的2个解为，根据函数的图像，可知：原不等式解集为.（2）由得，∴，解得，故不等式的解集为.(3)依题意：,,,,解集为.(4)原不等式可变形为，即，设函数，由得或，即函数的图象与x轴交点的横坐标为或，又二次函数图象开口向上，由，且得：，所以不等式的解集是：.四．解绝对值不等式例5．解下列不等式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【复习指导】：解含绝对值的不等式时，(1)利用公式或，化简不等式求其解；(2)不等式两边正负性相同时，可通过两边平方化简不等式求其解；(3)通过讨论去掉绝对值，再解不等式可得结果.【详解】(1)利用绝对值的几何意义可以将转化为或，解得或；(2)利用绝对值的几何意义可以将转化为，从而解得.(3)不等式可化为，由可得或∴或，由可得，∴

，∴或，∴

的解集为(4)不等式可化为或，∴或，∴

，∴

不等式的解集为，(5)由不等式两边平方得，，整理得，即，解得，所以，原不等式的解集为.(6)不等式可化为或或∴

或或，故的解集为五．解指数不等式例6．解不等式：（1）；（2）.（3）(（4）【复习指导】：解指数不等式时，将不等式两边的指数幂或常数化为同底数的指数幂，再利用指数函数的单调性解不等式。【详解】（1）.又在定义域上是增函数，，即的取值范围是.（2），∴指数函数在上是减函数.又，即的取值范围是.（3）由，得又因为是增函数，，解得.所以解集为（4）原不等式可化为，因为，所以，解得．所以原不等式的解集是．例7．解关于x的不等式a2x2−3x+2>a2【详解】当时，原不等式可化为，解得:，所以原不等式的解集为；当时，原不等式可化为，解得：，所以原不等式的解集为.六．解对数不等式例8．解不等式：（1）log（2）lg（3）.（4）(1【复习指导】：解对数不等式时，将常数化为同底数的对数结构，利用对数函数的单调性化简不等式，特别要注意对数函数的真数＞0，不要漏写不等式。【详解】（1）由，得，解得，所以不等式的解集为（2）原不等式可以化为，由于对数函数是定义域为上的增函数，原不等式等价于或，因此，原不等式的解集为或.（3）.，函数是减函数，.，得：，解出：，又解出：综上，.（4）不等式可化为log3（x-1）≤-1，即0＜x-1≤，解得1＜x≤，所以不等式的解集为（1，]．例9．解不等式：loga(x－4)>loga(x－2)【详解】(1)当a>1时，原不等式等价于该不等式组无解；(2)当0<a<1时，原不等式等价于解得x>4.所以当a>1时，原不等式的解集为空集；当0<a<1时，原不等式的解集为(4，＋∞)．七．解三角函数不等式例10．求下列不等式的解集.（1）12（2）cosx（3）3tan（4）（5）33【复习指导】：将三角函数不等式化为形如的形式，即不等号一边是三角函数值，另一边是常数，然后结合三角函数图像找出正确的范围，注意检查不等式结果是否要有“＝”号。【详解】（1）∵，∴，利用正弦线或正弦曲线可知所求解集为.（2）∵，∴，利用余弦线或余弦曲线可知所求解集为.（3）∵∴，利用正切线或正切曲线可知所求解集为.（4）作出正弦函数的图象，如图：由图象可知，当时，则或（5）作出正切函数在区间上的图象如下图所示：由图象可知，不等式在上的解为.因此，不等式的解集为.1．不等式的解集为（

）A．或 B．C．或 D．【答案】A【分析】根据二次不等式的解法求解即可.【详解】可化为，即，即或．所以不等式的解集为或.故选：A2．“”是“”成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解不等式，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出结论.【详解】解：解不等式，得或，又，所以“”是“”成立的充分不必要条件.故选：A.3．不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】将不等式转化为，通过平方可解得结果.【详解】不等式.故选：D.4．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据对数函数的单调性和绝对值不等式求得集合，再根据交集的运算即可求解.【详解】解：因为，所以．故选：A.5．已知，“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求出和的解集，再根据集合间的关系，即可得解；【详解】解不等式可得或，解得或，解不等式，可得或.或或，因此，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】掌握充分条件和必要条件的定义是解题关键.6．设集合，，则等于（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据绝对值不等式与分式不等式的解法求出集合的等价条件，根据集合的交集运算进行求解即可．【详解】因为或，，，所以，故选：A．7．设，则“”的必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据必要不充分条件的含义可知所选集合应该能真包含集合，由此可判断答案.【详解】由，得，即，则选项是“”的必要不充分条件，即是选项中集合的真子集，结合选项，A,B中集合都不含3，不符合题意，D中集合不能包含，不符合题意，而C集合满足，故选：C.8．设全集为，集合，则（

）A． B．C．或 D．【答案】B【分析】根据指数函数的性质求出集合，再解一元二次不等式求出集合，最后根据并集、补集的定义计算可得.【详解】解：由，即，所以，解得，所以，由，即，解得，所以，所以，所以；故选：B9．设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先解指数不等式与对数不等式分别求出集合、，再根据交集的定义计算可得.【详解】解：由，即，所以，即，由，即，所以，所以，所以，则；故选：C10．若集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解无理不等式确定集合，解指数不等式确定集合，然后由交集定义求解．【详解】，，所以．故选：C．11．设集合，，则等于（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】首先解指数不等式、一元二次不等式求出集合、，再根据交集的定义计算可得.【详解】解：由，即，解得，所以，由，即，解得，即，所以.故选：D12．“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由是否得出，判定充分性；由是否推出，判定必要性是否成立．【详解】∵等价于，当或时，不成立；∴充分性不成立；又∵等价于，有；∴必要性成立；∴“”是“”的必要不充分条件．故选：B．13．设全集，，（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题分别算出集合包含的范围,再取交集即可.【详解】由得,又所以.又,其中所以,故,所以.故选D.【点睛】本题主要考查集合的基本运算,注意看清集合是自变量还是因变量的范围.14．设集合M=，，则M∩N＝（

）A．[0，1) B．(0，1) C．(－1，+∞) D．(1，+∞)【答案】B【分析】首先求出集合，，再根据交集的定义计算可得；【详解】解：因为M=，所以，，故选：B15．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解一元一次不等式得集合A，由根式的性质求集合B，根据并运算求即可.【详解】由题意知，，，∴.故选：D16．已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先解指数不等式与对数不等式求出集合、，再根据交集的定义计算可得；【详解】解：由，即，所以，所以，所以，由，所以，所以，即，所以.故选：A17．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出集合、，再根据交集的定义计算即可；【详解】解：因为，，所以，故选：A．18．设集合，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解出集合、，利用并集的定义可求出集合.【详解】，，因此，.故选：B.【点睛】本题考查并集的计算，同时也考查了对数不等式和一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.19．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】先解对数不等式和分式不等式分别化简集合，求得，再进行交集运算即可.【详解】，，即，集合，则或，又由，得等价于且，即，集合，故.故选：A.20．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】首先求出集合、，再根据交集的定义计算可得；【详解】解：因为所以，，所以，所以故选：D【点睛】本题考查交集的运算，属于基础题.21．已知，，则集合（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先解一元二次不等式得到集合，再解对数不等式得到集合，最后根据并集的定义计算可得；【详解】解：由，即，解得，所以，由，所以，所以，所以；故选：B22．已知全集，集合，，那么（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出集合、，进而根据集合的补集的定义求得，再根据两个集合的交集的定义，求出．【详解】解：因为，所以或，，，所以，故选：B.23．若，，则中的元素有（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】B【详解】分析：先分别求出A和B，然后再求出，最后求出，从而得到的元素个数.解析：，，，.则的元素个数为1.故选：B.24．已知全集，集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分别解绝对值不等式与分式不等式求得集合A,B,再求得，及．【详解】由题意得，，∴，∴．故选C．【点睛】集合与集合运算，一般先化简集合到最简形式，如果两个集合都是连续型数集，则常利用数轴求集合运算结果，如果是离散型集合运算常运用枚举法或韦恩图．25．满足的的集合是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，得，从而可求出的范围【详解】解：由，得，解得，故选：A【点睛】此题考查正弦三角函数不等式的解法，属于基础题26．已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先解三角不等式和一元二次不等式求出集合，再由交集的概念求解即可.【详解】.故选：B.27．设，已知，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】试题分析：考点：三角函数基本公式及三角函数性质28．已知，则满足的的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由余弦函数的单调性可求.【详解】由，，得，又函数在上单调递减，不等式等价于，所以，故的取值范围是．故选D．【点睛】本题考查余弦函数的单调性的应用，属于基础题.29．满足的三角形的内角A的取值范围是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】由于，再结合正切函数的图象和性质可求得答案【详解】因为A为三角形的内角，所以．又，结合正切曲线得．故选：D30．函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据偶次根式被开方数非负得出的不等式组，结合正切函数的单调性解出即可.【详解】由题意可得，即，得，得，解得或，因此，函数的定义域为.故选：C.【点睛】本题考查函数定义域的求解，涉及正切不等式与二次不等式的求解，考查计算能力，属于中等题.31．不等式的解集是_________．【答案】【分析】转化为不等式求解即可.【详解】由题得，所以，所以或且.故答案为：.32．已知集合，．若，则实数的取值范围是______________________________．【答案】(2，3)【详解】集合={x|a－1≤x≤a+1}，={x|x≥4或x≤1}．又，∴，解得2<a<3，实数的取值范围是(2，3)．33．不等式的解集为_____________【答案】或【分析】由题意可知，不等式变形为，即，解不等式，即可.【详解】不等式变形为，即，解得或故答案为：或【点睛】本题考查不等式的解法，利用指数函数单调性等价变形是解决本题的关键.属于中档题.34．设函数，则满足的的取值范围是__________.【答案】或.【分析】当时，或；当时，，综合即得解.【详解】当时，或，因为，所以或；当时，，因为，所以.综合得或.故答案为：或.【点睛】本题主要考查分段函数，考查二次不等式的解法和指数不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.35．若，则满足的的取值范围______.【答案】【分析】由题设有，可得，进而求解即可.【详解】由题意，则且，而，所以，即，故，可得.故答案为：36．已知，，则________.【答案】【分析】求出与中不等式的解集分别确定出与，找出两集合的交集即可．【详解】集合中不等式，当时，解得：，此时，当时，解得：，无解，，集合中不等式变形得：，即，解得：，即，则.故答案为：．【点睛】本题考查不等式的求解、集合的交运算，考查运算求解能力，属于基础题．37．不等式的解集为______【答案】【分析】由对数函数的单调性可得出，解此不等式即可得解.【详解】由可得.解不等式，即，解得；解不等式，即，解得或.因此，不等式的解集为.故答案为：.38．函数的定义域为___________.【答案】【分析】函数有意义可得，然后解三角不等式即可求解.【详解】函数有意义，则，即，所以，所以函数的定义域为.故答案为：39．不等式在区间上的解集为__________．【答案】【分析】原不等式可化为，利用正弦函数的性质和整体法可求其解集.【详解】由有，所以，解出，又，所以或，故解集为.故答案为：.【点睛】本题考查三角不等式，注意利用三角变换公式将原不等式化简为的形式，再利用正弦函数的性质求解.40．不等式的解集为__________．【答案】，【分析】利用二倍角的余弦函数公式化简可得，进而根据余弦函数的图象和性质即可求解．【详解】解：∵，∴，可得，，解得，，∴不等式的解集为，，故答案为：，．【点睛】本题考查了二倍角的余弦函数公式，余弦函数的图象和性质的综合应用，考查了函数思想．41．求f(x)=的定义域___________.【答案】【解析】将定义域问题转化为求，然后将看成一个整体，利用余弦函数的图象即可得到关于的不等式组，求解即可得到函数的定义域.【详解】解：要使函数有意义，则,即，由余弦函数的图象得，，解得，，故函数的定义域是.故答案为：.【点睛】本题主要考查利用余弦函数的图象解三角不等式，利用三角函数的图象求解关于的正余弦，正切的不等式，是十分重要的，一般的将看做一个整体，利用函数的图象与直线，利用数形结合方法求解.当然，本题还可以利用诱导公式转化为关于正弦的不等式求解，但此处采用一种通性通法来求解，更具有一般性.42．不等式：的解集为_______________.【答案】【分析】把作为整体，结合正切函数的单调性和定义域可得不等式的解集．【详解】由得,解得，所以不等式的解集为．故答案为．【点睛】解答本题时不要忽视正切函数的定义域，考查三角不等式的解法和计算能力，属于基础题．43．解下列不等式：（1）；（2）；（3）；（4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【分析】（1）根据绝对值不等式的定义，去掉绝对值号，即可求解；（2）把不等式，转化为等价不等式组或，即可求解；（3）把不等式的两边平方得，得出，结合一元二次不等式的解法，即可求解；.（4）根据零点分类讨论法，即可求解.【详解】（1）由题意，不等式，可得或，解得或，所以原不等式的解集为.（2）由题意，不等式，可化为或，解得，即或，所以原不等式的解集为.（3）由不等式两边平方得，，整理得，即，解得，所以，原不等式的解集为.（4）当时，原不等式化为，即，此时，不等式的解集为；当时，原不等式化为，即，始终不成立，舍去；当时，原不等式化为，即，此时，不等式的解集为.综上所述，原不等式的解集为.44．解下列不等式：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）化简分式不等式，等价成一元二次不等式进行求解即可；（2）先换元将含指数的不等式转化成一元二次不等式进行求解，再解指数不等式即得结果.【详解】解：（1）即∴，等价于，故或，∴不等式的解集为；（2）令，∴，解得，即，故，∴不等式的解集为.45．解下列不等式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.【答案】（1）或；（2）或；（3）当时，；当时，；（4）；（5）【分析】（1）移项通分，转化为，再解高次不等式组，即可得出结论；（2）找零点分区间讨论去绝对值，转化为一次不等式求解；（3）利用，转化为关于的一元二次不等式，求解得到指数不等式，即可得出结论；（4）分类讨论去绝对值，转化为求一元二次不等式即可；（5）两边同除以，得到关于的一元二次不等式，再求解指数不等式，即可得出结论.【详解】（1）化为，即，解得或，所以原不等式的解集是或；（2）等价于或或解得或或，所以原不等式的解集是或；（3）化为，即，，当时，原不等式的解集是；当时，原不等式的解集是；（4）等价于或，解得且，或或所以原不等式的解集是；（5）两边同除以，得，，或（舍去），，所以原不等式的解集是【点睛】本题考查不等式的求解，涉及到一元二次不等式、指对数不等式、高次不等式、绝对值不等式的求解