第02讲常用逻辑用语精讲

第02讲常用逻辑用语(精讲）目录TOC\o"1-2"\h\u第一部分：知识点必背 1第二部分：高考真题回归 3第三部分：高频考点一遍过 4高频考点一：充分条件与必要条件的判断 4高频考点二：充分条件与必要条件的应用 6高频考点三：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比 9高频考点四：全称量词命题与存在量词命题的真假判断 13高频考点五：含有一个量词的命题的否定 15高频考点六：根据全称（特称）命题的真假求参数 16第四部分：高考新题型 20①开放性试题 20②劣构性试题 21温馨提醒：浏览过程中按ctrl+Home可回到开头第一部分：知识点必背1、充分条件、必要条件与充要条件的概念（1）若，则是的充分条件，是的必要条件；（2）若且，则是的充分不必要条件；（3）若且，则是的必要不充分条件；（4）若，则是的充要条件；（5）若且，则是的既不充分也不必要条件.拓展延伸一：等价转化法判断充分条件、必要条件（1）是的充分不必要条件是的充分不必要条件；（2）是的必要不充分条件是的必要不充分条件；（3）是的充要条件是的充要条件；（4）是的既不充分也不必要条件是的既不充分也不必要条件.拓展延伸二：集合判断法判断充分条件、必要条件若以集合的形式出现，以集合的形式出现，即：，：，则（1）若，则是的充分条件；（2）若，则是的必要条件；（3）若，则是的充分不必要条件；（4）若，则是的必要不充分条件；（5）若，则是的充要条件；（6）若且，则是的既不充分也不必要条件.拓展延伸三：充分性必要性高考高频考点结构（1）是的充分不必要条件且（注意标志性词：“是”，此时与正常顺序）（2）的充分不必要条件是且（注意标志性词：“的”，此时与倒装顺序）2、全称量词与存在量词（1）全称量词短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.（2）存在量词短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.（3）全称量词命题及其否定（高频考点）①全称量词命题：对中的任意一个，有成立；数学语言：.②全称量词命题的否定：.（4）存在量词命题及其否定（高频考点）①存在量词命题：存在中的元素，有成立；数学语言：.②存在量词命题的否定：.（5）常用的正面叙述词语和它的否定词语正面词语等于（）大于（）小于（）是否定词语不等于（）不大于（）不小于（）不是正面词语都是任意的所有的至多一个至少一个否定词语不都是某个某些至少两个一个也没有第二部分：高考真题回归1．（2022·北京·高考真题）设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】设等差数列的公差为，则，记为不超过的最大整数.若为单调递增数列，则，若，则当时，；若，则，由可得，取，则当时，，所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”；若存在正整数，当时，，取且，，假设，令可得，且，当时，，与题设矛盾，假设不成立，则，即数列是递增数列.所以，“是递增数列”“存在正整数，当时，”.所以，“是递增数列”是“存在正整数，当时，”的充分必要条件.故选：C.2．（2022·天津·高考真题）“为整数”是“为整数”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】当为整数时，必为整数；当为整数时，比一定为整数，例如当时，.所以“为整数”是“为整数”的充分不必要条件.故选：A.3．（2022·浙江·高考真题）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】因为可得：当时，，充分性成立；当时，，必要性不成立；所以当，是的充分不必要条件.故选：A.第三部分：高频考点一遍过高频考点一：充分条件与必要条件的判断典型例题例题1．（2023秋·天津河北·高三统考期末）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由得：或，，，“”是“”的充分不必要条件.故选：A.例题2．（2023秋·河北唐山·高一统考期末）已知，则“”是“”成立的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】不等式，解得记，因为，所以“”是“”成立充分不必要条件.故选：A例题3．（2023·全国·高一专题练习）已知，，则是的______条件．【答案】充分非必要【详解】，，因为，所以是的充分非必要条件.故答案为：充分非必要练透核心考点1．（2023秋·云南·高二统考期末）设集合，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】当时，，此时有，则条件具有充分性；当时，有或，得到，故不具有必要性，所以“”是“”的充分不必要条件，故选：A．2．（2023秋·云南楚雄·高一统考期末）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】由，可得；由，可得．故“”是“”的必要不充分条件．故选：B3．（2023·全国·高三专题练习）已知命题p：，q：，那么p是q的_______条件（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”或“既非充分又非必要”）．【答案】充分非必要【详解】不等式解得，命题p：，命题q：，命题p：成立，能推出命题q：成立，命题q：成立，不能推出命题p：成立，所以p是q的充分非必要条件.故答案为：充分非必要高频考点二：充分条件与必要条件的应用典型例题例题1．（2023秋·山东济南·高一统考期末）已知集合或，.(1)当时，求；(2)若“”是“”成立的必要不充分条件，求的取值范围.【答案】(1)或；(2).【详解】（1）当时，或，由，得，所以，所以或.（2）若“”是“”成立的必要不充分条件，则是的真子集，故，解得.例题2．（2023春·湖南邵阳·高一统考阶段练习）已知全集，集合，______．在下面三个条件中任选一个，补充在上面的已知条件中并作答：①②③(1)当时，求；(2)当时，“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．【答案】(1)条件选择见解析，(2)【详解】（1）当时，，或．选①，，解得，∴，∴．选②，,解得，，∴．选③，，，，∴．（2）当时，，∵“”是“的充分不必要条件，∴，解得．故的范围为．例题3．（2023秋·江苏盐城·高一江苏省上冈高级中学校联考期末）已知函数定义域为，集合.(1)求集合；(2)若是成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】(1)，(2)【详解】（1）由题意知：，解得或.集合.对于集合B满足：.又.（2）若是的充分不必要条件，则集合是的真子集，由（1）知，只需满足或即可，解得或.综述，满足题意的的取值范围是.练透核心考点1．（2023春·广东广州·高一广东实验中学校考阶段练习）设，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是______.【答案】【详解】由，解得，即，记；由，解得，即，记，因为是的充分不必要条件，所以，即，解得，所以a的取值范围是.故答案为：.2．（2023秋·陕西宝鸡·高一统考期末）已知全集为R，集合，.(1)求；(2)若，且“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1），又，；（2）因为“”是“的必要不充分条件，所以，因为，所以且等号不同时成立，解得，即3．（2023秋·贵州安顺·高一统考期末）设p：实数x满足，q：实数x满足．(1)若q为真，求实数x的取值范围；(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1）若q为真，则实数x满足，即，所以，解得：，即q为真时，实数x的取值范围为；（2）对于p：实数x满足，变形为：，即，所以，对于q，由（1）有：，因为p是q的必要不充分条件，则q可推出p，而p不能推出q则，解得，故实数a的取值范围为.4．（2023秋·江苏无锡·高一统考期末）设全集，集合，其中．(1)若“”是“”成立的必要不充分条件，求的取值范围；(2)若命题“，使得”是真命题，求的取值范围．【答案】(1)(2)【详解】（1），得，解得：，即，因为“”是“”成立的必要不充分条件，所以，则，解得：；（2）由条件可知，，或，所以或，解得：，所以的取值范围是高频考点三：充分条件与必要条件（“是”，“的”）结构对比典型例题例题1．（2023秋·湖北襄阳·高一统考期末）下列选项中，是“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件的是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】令，其图象开口向上，∵不等式在上恒成立，∴，解得，又∵，∴是的必要不充分条件，选项,,则是的充要条件，选项,,则是的充分不必要条件，选项,,则是的充分不必要条件.故选：A.例题2．（多选）（2023秋·湖南常德·高一汉寿县第一中学校考期末）已知命题：关于的不等式的解集为，那么命题的一个必要不充分条件是（

）A． B．C． D．【答案】CD【详解】命题p：关于x的不等式的解集为R，则，解得又，，故选：CD．例题3．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（

）A．或 B．C． D．或【答案】C【详解】因为，所以，因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，则，故，所以实数的取值范围为．故选：C．例题4．（2023·全国·高三专题练习）若不等式的解集为，则成立的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为若不等式的解集为，所以与3是方程的两个根，且，由韦达定理可知，，，所以可化为，解得．由A，B，C，D四个选项中可知，只有选项D满足是的真子集，从而成立的一个必要不充分条件是.故选：D.练透核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）已知集合的一个必要条件是，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解不等式，即，得，故，所以的一个必要条件是，则对于A,，不一定是的子集，A错误；对于B，，不是的子集，B错误；对于C，，是的子集，C正确；对于D,,不一定是的子集，比如时，D错误；故选：C2．（2023·全国·高三专题练习）命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为为真命题，所以或，对A，是命题“”为真命题的充分不必要条件，A对，对B，是命题“”为真命题的充要条件，B错，对C，是命题“”为真命题的必要不充分条件，C错，对D，是命题“”为真命题的必要不充分条件，D错，故选：A3．（2023春·新疆乌鲁木齐·高一校考开学考试）设，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】因为p是q的充分不必要条件，所以，所以，即实数a的取值范围是.故选：B.4．（2023秋·湖北襄阳·高一襄阳四中校考期末）若“”是“”的充分不必要条件，则实数k的取值范围是______．【答案】或【详解】由，则，由，则或，因为“”是“”的充分不必要条件，所以是的真子集，则或，即或．故答案为：或．高频考点四：全称量词命题与存在量词命题的真假判断典型例题例题1．（2023秋·宁夏银川·高一银川唐徕回民中学校考期末）关于命题，下列说法正确的是（

）A．，且命题是假命题B．，且命题是真命题C．，且命题是假命题D．，且命题是真命题【答案】A【详解】根据特称命题的否定是全称命题得，对于命题，当时，，即命题是真命题，所以命题是假命题.故选：A.例题2．（多选）（2023·全国·高三专题练习）下列命题的否定中，真命题的是（

）A．， B．所有正方形既是矩形也是菱形C．， D．所有三角形都有外接圆【答案】AC【详解】选项A，，所以原命题为假命题，则原命题的否定为真命题，所以选项A满足条件；选项B，所有正方形既是矩形也是菱形，原命题是真命题，原命题的否定为假命题，所以选项B不满足条件；选项C，当时，，所以原命题为假命题，原命题的否定为真命题，所以选项C满足条件；选项D，所有三角形都有外接圆，原命题是真命题，原命题的否定为假命题，所以选项D不满足条件.故选：AC.例题3．（2023·高一课时练习）下列命题中是真命题的有________________（填序号）．（1），（2）所有的正方形都是矩形（3），（4）至少有一个实数，使【答案】（1）（2）【详解】（1）因为，故（1）正确；（2）因为正方形的四个角都是直角，故（2）正确；（3）因为恒成立，故（3）错误；（3）因为没有实数根，故（4）错误.综上所述，正确的有（1）（2）.故答案为：（1）（2）.练透核心考点1．（2023·高一课时练习）下列四个命题中，是真命题的为（

）A．任意，有 B．任意，有C．存在，使 D．存在，使【答案】C【详解】由于对任意，都有，因而有，故A为假命题．由于，当时，不成立，故B为假命题．由于，当时，，故C为真命题．由于使成立的数只有，而它们都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方等于3，故D是假命题．故选：C2．（2023·河北·高三学业考试）下列命题中的假命题是A．， B．，C．， D．，【答案】B【详解】试题分析：当x=1时，（x-1）2=0,显然选项B中的命题为假命题，故选B．3．（多选）（2023春·河南漯河·高一漯河高中校考开学考试）在下列命题中，真命题是（

）A．命题“”的否定形式是：“，”.B．.C．，使得.D．.【答案】AC【详解】对于A，特称命题的否定为全称命题，所以命题“”的否定形式是：“，”，正确；对于B，，所以不正确；对于C，当时，所以正确；对于D，当是，，所以不正确.故选：AC.高频考点五：含有一个量词的命题的否定典型例题例题1．（2023秋·内蒙古阿拉善盟·高三阿拉善盟第一中学校考期末）命题“，是奇函数”的否定是（

）A．，是偶函数 B．，不是奇函数C．，是偶函数 D．，不是奇函数【答案】B【详解】命题“，是奇函数”的否定是：，不是奇函数.故选：B.例题2．（2023·河南信阳·河南省信阳市第二高级中学校联考一模）已知命题：，使得且，则为（

）A．，使得且 B．，使得或C．，使得或 D．，使得且【答案】C【详解】“存在一个符合A且B”的否定为“任意一个都不符合A且B”，即“任意一个都符合或”.即使得或,故选：C.例题3．（2023秋·湖南衡阳·高一统考期末）命题：，的否定为___________；使命题成立的一个的值为___________．【答案】

，

【详解】解：因为命题p：，，所以命题p：，；当时，成立，所以命题p成立的一个x的值为1.故答案为：，，1.练透核心考点1．（2023·全国·模拟预测）已知命题，使得，则为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【详解】因为，使得，根据特称命题的否定得：，．故选：B．2．（2023秋·山东济宁·高一统考期末）已知命题：，，则是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【详解】：，.故选：C.3．（2023春·广东广州·高一统考开学考试）命题“，”的否定是______.【答案】，【详解】命题“，”的否定是“，”，故答案为：，.高频考点六：根据全称（特称）命题的真假求参数典型例题例题1．（2023·河南·长葛市第一高级中学统考模拟预测）已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：因为命题“，”为真命题，所以，命题“，”为真命题，所以，时，，因为，，所以，当时，，当且仅当时取得等号.所以，时，，即实数的取值范围是故选：C例题2．（2023秋·四川成都·高一统考期末）若“，”是假命题，则实数的取值范围是______．【答案】【详解】命题“，”的否定是：，，依题意，命题“，”为真命题，当时，成立，则，当时，不等式恒成立，则，解得，综上得：，所以实数的取值范围是.故答案为：例题3．（2023·高三课时练习）已知命题“存在，使等式成立”是假命题，则实数的取值范围是______.【答案】【详解】由，可得：.因为在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，所以在上的值域为.若命题“存在，使等式成立”是真命题，则.所以命题“存在，使等式成立”是假命题时，实数m的取值范围是或.即实数m的取值范围是.故答案为：.例题4．（2023·全国·高三专题练习）命题：，为真命题的一个充分条件是_________．【答案】（不唯一，集合的子集即可）【详解】解：因为，对于，为真命题，所以，对于，恒成立，所以，对于，恒成立，因为，对勾函数的最大值为，所以，对于，恒成立，则所以，命题为真命题时，的取值范围是，所以，命题：，为真命题的一个充分条件可以是（不唯一，集合的子集即可）故答案为：（不唯一，集合的子集即可）练透核心考点1．（2023秋·山东菏泽·高一统考期末）若，使得成立是假命题，则实数可能取值是（

）．A． B． C．4 D．5【答案】B【详解】由题意得：，成立是真命题，故在上恒成立，由基本不等式得：，当且仅当，即时，等号成立，故，故选：B.2．（2023·吉林·统考二模）命题“，”为假命题，则实数的取值范围为___________.【答案】【详解】由题意可知，命题“，”为真命题.当时，由可得，不合乎题意；当时，由题意可得，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.3．（2023秋·四川眉山·高二眉山中学校考期末）若命题：“，使”是假命题，则实数m的取值范围为____．【答案】或【详解】由题意得，“，使”是真命题，当时，易得时命题成立；当时，由抛物线开口向下，命题不成立；当时，则命题等价于，即或故答案为：或4．（2023·全国·高三专题练习）命题“，”为假命题，则实数的取值范围为______.【答案】【详解】由题意可知，命题“，”为真命题.①当时，可得.若，则有，合乎题意；若，则有，解得，不合乎题意；②若，则，解得.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.第四部分：高考新题型①开放性试题1．（2023春·北京·高三北京市八一中学校考开学考试）若实数满足，则使得成立的一个的值是________.【答案】（答案不唯一）【详解】解：由得，所以，解得：或，故取即可，答案不唯一故答案为：2．（2023秋·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考期末）设，写出“”的一个充分条件：______．【答案】（答案不唯一）．【详解】只要是集合的子集即可，如．故答案为：（答案不唯一）．3．（2023·全国·高三对口高考）能说明“若，则”为假命题的一组，的值依次为____________．（写出满足条件的一组即可）【答案】，（答案不唯一）【详解】解：使“若则”为假命题，则使“若，则”为真命题即可，只需取，即可满足，所以满足条件的一组，的值为，（答案不唯一）．故答案为：，（答案不唯一）4．（2022秋·广东肇庆·高一校考阶段练习）若“”是“”的必要不充分条件，则的值可以是__________.（写出满足条件的一个值即可）【答案】（答案不唯一，满足即可）【详解】由于“”是“”的必要不充分条件，所以，所以的值只需小于即可.故答案为：（答案不唯一，满足即可）②劣构性试题1．（2023秋·山东济宁·高一济宁一中校考期末）从①“充分不必要条件”、②“必要不充分条件”两个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，并解答下列问题：已知集合，.(1)若，求；(2)若存在正实数，使得“”是“”成立的，求正实数的取值范围.【答案】(1)；(2)条件选择，答案见解析.【详解】（1）依题意，，解得，即，当时，解不等式得：，即,所以.（2）选①，由（1）知，，，解不等式得：，即，因为“x∈A”是“x∈B”成立的充分不必要条件，则有，于是得或，解得或，即有，所以正实数