21.相似形及应用C

相似形及应用一、选择题7.(2016湖北咸宁，7，3分)如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：①=；②=；③=；④=.其中正确的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个（第7题）【考点】三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质．【分析】①DE是△ABC的中位线，根据三角形的中位线等于第三边长度的一半可判断；②利用相似三角形面积的比等于相似比的平方可判定；③利用相似三角形的性质可判断；④利用相似三角面积的比等于相似比的平方可判定．【解答】解：①∵DE是△ABC的中位线，∴DE=BC，即=；故①正确；②∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC∴△DOE∽△COB∴=（）2=(）2=,故②错误；③∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴=△DOE∽△COB∴=∴=，故③正确；④∵△ABC的中线BE与CD交于点O。∴点O是△ABC的重心，根据重心性质，BO=2OE，△ABC的高=3△BOC的高，且△ABC与△BOC同底（BC）∴S△ABC=3S△BOC，由②和③知，S△ODE=S△COB，S△ADE=S△BOC，∴=.故④正确.综上，①③④正确.故选C.16．（2016台湾，16）如图的矩形ABCD中，E点在CD上，且AE＜AC．若P、Q两点分别在AD、AE上，AP：PD=4：1，AQ：QE=4：1，直线PQ交AC于R点，且Q、R两点到CD的距离分别为q、r，则下列关系何者正确？（）A．q＜r，QE=RCB．q＜r，QE＜RCC．q=r，QE=RCD．q=r，QE＜RC【考点】平行线分线段成比例；矩形的性质．【分析】根据矩形的性质得到AB∥CD，根据已知条件得到，根据平行线分线段成比例定理得到PQ∥CD，=4，根据平行线间的距离相等，得到q=r，证得=，于是得到结论．【答案】解：∵在矩形ABCD中，AB∥CD，∵AP：PD=4：1，AQ：QE=4：1，∴，∴PQ∥CD，∴=4，∵平行线间的距离相等，∴q=r，∵=4，∴=，∵AE＜AC，∴QE＜CR．故选D．二、填空题14．（3分）（2016•娄底，14，3分）如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是AB∥DE．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．【解答】解：∵∠A=∠D，∴当∠B=∠DEF时，△ABC∽△DEF，∵AB∥DE时，∠B=∠DEF，∴添加AB∥DE时，使△ABC∽△DEF．故答案为AB∥DE．【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．16．（3分）（2016•沈阳，16，2分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是或．【分析】分两种情形讨论即可①∠MN′O′=90°，根据=计算即可②∠MON=90°，利用△DOE∽△EFM，得=计算即可．【解答】解：如图作EF⊥BC于F，DN′⊥BC于N′交EM于点O′，此时∠MN′O′=90°，∵DE是△ABC中位线，∴DE∥BC，DE=BC=10，∵DN′∥EF，∴四边形DEFN′是平行四边形，∵∠EFN′=90°，∴四边形DEFN′是矩形，∴EF=DN′，DE=FN′=10，∵AB=AC，∠A=90°，∴∠B=∠C=45°，∴BN′=DN′=EF=FC=5，∴=，∴=，∴DO′=．当∠MON=90°时，∵△DOE∽△EFM，∴=，∵EM==13，∴DO=，故答案为或．【点评】本题考查三角形中位线定理、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会分类讨论，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．三、解答题25．（2016四川眉山，25，9分）如图,△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，且∠ACB＝∠BEC＝90°，AC＝4，点P为线段BE延长线上一点，连接CP以CP为直角边向下作等腰直角△CPD，线段BE与CD相交于点F.（1）求证：；（2）连接BD，请你判断AC与BD有什么位置关系？并说明理由；（3）设PE＝x，△PBD的面积为S，求S与x之间的函数关系式.【答案】（1）∵△BCE和△CDP均为等腰直角三角形，∴∠ECB＝∠PCD＝45°，∠CEB＝∠CPD＝90°…1分∴△BCE∽△DCP∴…2分（2）AC∥BD…3分∵∠PCE＋∠ECD＝∠BCD＋∠ECD＝45°，∴∠PCE＝∠BCD又∵，∴△PCE∽△DCB…4分∴∠CBD＝∠CEP＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CBD.∴AC∥BD.…5分（3）作PM⊥BD于M，∵AC＝4，△ABC和△BEC均为等腰直角三角形，∴BE＝CE＝4.∵△PCE∽△DCB，∴.即.∴…7分∵∠PBM＝∠CBD－∠CBP＝45°，BP=BE+PE=4+x，∴，∴△PBD的面积S…9分27．（10分）（2016•无锡，27，10分）如图，已知▱ABCD的三个顶点A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）（m＞n＞0），作▱ABCD关于直线AD的对称图形AB1C1D（1）若m=3，试求四边形CC1B1B面积S的最大值；（2）若点B1恰好落在y轴上，试求的值．【分析】（1）如图1，易证S▱BCEF=S▱BCDA=S▱B1C1DA=S▱B1C1EF，从而可得S▱BCC1B1=2S▱BCDA=﹣4（n﹣）2+9，根据二次函数的最值性就可解决问题；（2）如图2，易证△AOD∽△B1OB，根据相似三角形的性质可得OB1=，然后在Rt△AOB1中运用勾股定理就可解决问题．【解答】解：（1）如图1，∵▱ABCD与四边形AB1C1D关于直线AD对称，∴四边形AB1C1D是平行四边形，CC1⊥EF，BB1⊥EF，∴BC∥AD∥B1C1，CC1∥BB1，∴四边形BCEF、B1C1EF是平行四边形，∴S▱BCEF=S▱BCDA=S▱B1C1DA=S▱B1C1EF，∴S▱BCC1B1=2S▱BCDA．∵A（n，0）、B（m，0）、D（0，2n）、m=3，∴AB=m﹣n=3﹣n，OD=2n，∴S▱BCDA=AB•OD=（3﹣n）•2n=﹣2（n2﹣3n）=﹣2（n﹣）2+，∴S▱BCC1B1=2S▱BCDA=﹣4（n﹣）2+9．∵﹣4＜0，∴当n=时，S▱BCC1B1最大值为9；（2）当点B1恰好落在y轴上，如图2，∵DF⊥BB1，DB1⊥OB，∴∠B1DF+∠DB1F=90°，∠B1BO+∠OB1B=90°，∴∠B1DF=∠OBB1．∵∠DOA=∠BOB1=90°，∴△AOD∽△B1OB，∴=，∴=，∴OB1=．由轴对称的性质可得AB1=AB=m﹣n．在Rt△AOB1中，n2+（）2=（m﹣n）2，整理得3m2﹣8mn=0．∵m＞0，∴3m﹣8n=0，∴=．【点评】本题主要考查了轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值性、勾股定理等知识，得到S▱BCC1B1=2S▱BCDA是解决第（1）小题的关键，在Rt△AOB1中运用勾股定理是解决第（2）小题．24．(2016辽宁大连，24，11分)如图1，△ABC中，∠C=90°，线段DE在射线BC上，且DE=AC，线段DE沿射线BC运动，开始时，点D与点B重合，点D到达点C时运动停止，过点D作DF=DB，与射线BA相交于点F，过点E作BC的垂线，与射线BA相交于点G．设BD=x，四边形DEGF与△ABC重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中0＜x≤m，1＜x≤m，m＜x≤3时，函数的解析式不同）（1）填空：BC的长是3；（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．【考点】四边形综合题．【分析】（1）由图象即可解决问题．（2）分三种情形①如图1中，当0≤x≤1时，作DM⊥AB于M，根据S=S△ABC﹣S△BDF﹣S四边形ECAG即可解决．②如图2中，作AN∥DF交BC于N，设BN=AN=x，在RT△ANC中，利用勾股定理求出x，再根据S=S△ABC﹣S△BDF﹣S四边形ECAG即可解决．③如图3中，根据S=CD•CM，求出CM即可解决问题．【解答】解；（1）由图象可知BC=3．故答案为3．（2）①如图1中，当0≤x≤1时，作DM⊥AB于M，由题意BC=3，AC=2，∠C=90°，∴AB==，∵∠B=∠B，∠DMB=∠C=90°，∴△BMD∽△BCA，∴==，∴DM=，BM=，∵BD=DF，DM⊥BF，∴BM=MF，∴S△BDF=x2，∵EG∥AC，∴=，∴=，∴EG=（x+2），∴S四边形ECAG=[2+（x+2）]•（1﹣x），∴S=S△ABC﹣S△BDF﹣S四边形ECAG=3﹣x2﹣[2+（x+2）]•（1﹣x）=﹣x2+x+．②如图②中，作AN∥DF交BC于N，设BN=AN=x，在RT△ANC中，∵AN2=CN2+AC2，∴x2=22+（3﹣x）2，∴x=，∴当1＜x≤时，S=S△ABC﹣S△BDF=3﹣x2，③如图3中，当＜x≤3时，∵DM∥AN，∴=，∴=，∴CM=（3﹣x），∴S=CD•CM=（3﹣x）2，综上所述S=．【点评】本题考查四边形综合题、等腰三角形的性质、相似三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会分类讨论，正确画出图形，属于中考压轴题．21．（2016广西南宁，21，8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）（1）请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在y轴右侧画出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值．【考点】作图-位似变换；作图-平移变换．【分析】（1）将A、B、C三点分别向左平移6个单位即可得到的△A1B1C1；（2）连接OA、OC，分别取OA、OB、OC的中点即可画出△A2B2C2，求出直线AC与OB的交点，求出∠ACB的正弦值即可解决问题．【解答】解：（1）请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1，如图1所示，（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在y轴右侧画出△A2B2C2，如图2所示，∵A（2，2），C（4，﹣4），B（4，0），∴直线AC解析式为y=﹣3x+8，与x轴交于点D（，0），∵∠CBD=90°，∴CD==，∴sin∠DCB===．∵∠A2C2B2=∠ACB，∴sin∠A2C2B2=sin∠DCB=．25．(2016辽宁大连，25，12分)阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，∠DAB=∠ABD，BE⊥AD，垂足为E，求证：BC=2AE．小明经探究发现，过点A作AF⊥BC，垂足为F，得到∠AFB=∠BEA，从而可证△ABF≌△BAE（如图2），使问题得到解决．（1）根据阅读材料回答：△ABF与△BAE全等的条件是AAS（填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一个）参考小明思考问题的方法，解答下列问题：（2）如图3，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，E为DC的中点，点F在AC的延长线上，且∠CDF=∠EAC，若CF=2，求AB的长；（3）如图4，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D、E分别在AB、AC边上，且AD=kDB（其中0＜k＜），∠AED=∠BCD，求的值（用含k的式子表示）．【考点】相似形综合题．【分析】（1）作AF⊥BC，判断出△ABF≌△BAE（AAS），得出BF=AE，即可；（2）先求出tan∠DAE=，再由tan∠F=tan∠DAE，求出CG，最后用△DCG∽△ACE求出AC；（3）构造含30°角的直角三角形，设出DG，在Rt△ABH，Rt△ADN，Rt△ABH中分别用a，k表示出AB=2a（k+1），BH=a（k+1），BC=2BH=2a（k+1），CG=a（2k+1），DN=ka，最后用△NDE∽△GDC，求出AE，EC即可．【解答】证明：（1）如图2，作AF⊥BC，∵BE⊥AD，∴∠AFB=∠BEA，在△ABF和△BAE中，，∴△ABF≌△BAE（AAS），∴BF=AE∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=BC，∴BC=2AE，故答案为AAS（2）如图3，连接AD，作CG⊥AF，在Rt△ABC中，AB=AC，点D是BC中点，∴AD=CD，∵点E是DC中点，∴DE=CD=AD，∴tan∠DAE===，∵AB=AC，∠BAC=90°，点D为BC中点，∴∠ADC=90°，∠ACB=∠DAC=45°，∴∠F+∠CDF=∠ACB=45°，∵∠CDF=∠EAC，∴∠F+∠EAC=45°，∵∠DAE+∠EAC=45°，∴∠F=∠DAE，∴tan∠F=tan∠DAE=，∴，∴CG=×2=1，∵∠ACG=90°，∠ACB=45°，∴∠DCG=45°，∵∠CDF=∠EAC，∴△DCG∽△ACE，∴，∵CD=AC，CE=CD=AC，∴，∴AC=4；∴AB=4；（3）如图4，过点D作DG⊥BC，设DG=a，在Rt△BGD中，∠B=30°，∴BD=2a，BG=a，∵AD=kDB，∴AD=2ka，AB=BD+AD=2a+2ka=2a（k+1），过点A作AH⊥BC，在Rt△ABH中，∠B=30°．∴BH=a（k+1），∵