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文档简介
相似形及应用一、选择题7.(2016湖北咸宁,7,3分)如图,在△ABC中,中线BE,CD相交于点O,连接DE,下列结论:①=;②=;③=;④=.其中正确的个数有()A.1个B.2个C.3个D.4个(第7题)【考点】三角形中位线定理,相似三角形的判定和性质.【分析】①DE是△ABC的中位线,根据三角形的中位线等于第三边长度的一半可判断;②利用相似三角形面积的比等于相似比的平方可判定;③利用相似三角形的性质可判断;④利用相似三角面积的比等于相似比的平方可判定.【解答】解:①∵DE是△ABC的中位线,∴DE=BC,即=;故①正确;②∵DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC∴△DOE∽△COB∴=()2=()2=,故②错误;③∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴=△DOE∽△COB∴=∴=,故③正确;④∵△ABC的中线BE与CD交于点O。∴点O是△ABC的重心,根据重心性质,BO=2OE,△ABC的高=3△BOC的高,且△ABC与△BOC同底(BC)∴S△ABC=3S△BOC,由②和③知,S△ODE=S△COB,S△ADE=S△BOC,∴=.故④正确.综上,①③④正确.故选C.16.(2016台湾,16)如图的矩形ABCD中,E点在CD上,且AE<AC.若P、Q两点分别在AD、AE上,AP:PD=4:1,AQ:QE=4:1,直线PQ交AC于R点,且Q、R两点到CD的距离分别为q、r,则下列关系何者正确?()A.q<r,QE=RCB.q<r,QE<RCC.q=r,QE=RCD.q=r,QE<RC【考点】平行线分线段成比例;矩形的性质.【分析】根据矩形的性质得到AB∥CD,根据已知条件得到,根据平行线分线段成比例定理得到PQ∥CD,=4,根据平行线间的距离相等,得到q=r,证得=,于是得到结论.【答案】解:∵在矩形ABCD中,AB∥CD,∵AP:PD=4:1,AQ:QE=4:1,∴,∴PQ∥CD,∴=4,∵平行线间的距离相等,∴q=r,∵=4,∴=,∵AE<AC,∴QE<CR.故选D.二、填空题14.(3分)(2016•娄底,14,3分)如图,已知∠A=∠D,要使△ABC∽△DEF,还需添加一个条件,你添加的条件是AB∥DE.(只需写一个条件,不添加辅助线和字母)【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件.【解答】解:∵∠A=∠D,∴当∠B=∠DEF时,△ABC∽△DEF,∵AB∥DE时,∠B=∠DEF,∴添加AB∥DE时,使△ABC∽△DEF.故答案为AB∥DE.【点评】本题考查了相似三角形的判定:有两组角对应相等的两个三角形相似.16.(3分)(2016•沈阳,16,2分)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=20,DE是△ABC的中位线,点M是边BC上一点,BM=3,点N是线段MC上的一个动点,连接DN,ME,DN与ME相交于点O.若△OMN是直角三角形,则DO的长是或.【分析】分两种情形讨论即可①∠MN′O′=90°,根据=计算即可②∠MON=90°,利用△DOE∽△EFM,得=计算即可.【解答】解:如图作EF⊥BC于F,DN′⊥BC于N′交EM于点O′,此时∠MN′O′=90°,∵DE是△ABC中位线,∴DE∥BC,DE=BC=10,∵DN′∥EF,∴四边形DEFN′是平行四边形,∵∠EFN′=90°,∴四边形DEFN′是矩形,∴EF=DN′,DE=FN′=10,∵AB=AC,∠A=90°,∴∠B=∠C=45°,∴BN′=DN′=EF=FC=5,∴=,∴=,∴DO′=.当∠MON=90°时,∵△DOE∽△EFM,∴=,∵EM==13,∴DO=,故答案为或.【点评】本题考查三角形中位线定理、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是学会分类讨论,学会添加常用辅助线,属于中考常考题型.三、解答题25.(2016四川眉山,25,9分)如图,△ABC和△BEC均为等腰直角三角形,且∠ACB=∠BEC=90°,AC=4,点P为线段BE延长线上一点,连接CP以CP为直角边向下作等腰直角△CPD,线段BE与CD相交于点F.(1)求证:;(2)连接BD,请你判断AC与BD有什么位置关系?并说明理由;(3)设PE=x,△PBD的面积为S,求S与x之间的函数关系式.【答案】(1)∵△BCE和△CDP均为等腰直角三角形,∴∠ECB=∠PCD=45°,∠CEB=∠CPD=90°…1分∴△BCE∽△DCP∴…2分(2)AC∥BD…3分∵∠PCE+∠ECD=∠BCD+∠ECD=45°,∴∠PCE=∠BCD又∵,∴△PCE∽△DCB…4分∴∠CBD=∠CEP=90°.∵∠ACB=90°,∴∠ACB=∠CBD.∴AC∥BD.…5分(3)作PM⊥BD于M,∵AC=4,△ABC和△BEC均为等腰直角三角形,∴BE=CE=4.∵△PCE∽△DCB,∴.即.∴…7分∵∠PBM=∠CBD-∠CBP=45°,BP=BE+PE=4+x,∴,∴△PBD的面积S…9分27.(10分)(2016•无锡,27,10分)如图,已知▱ABCD的三个顶点A(n,0)、B(m,0)、D(0,2n)(m>n>0),作▱ABCD关于直线AD的对称图形AB1C1D(1)若m=3,试求四边形CC1B1B面积S的最大值;(2)若点B1恰好落在y轴上,试求的值.【分析】(1)如图1,易证S▱BCEF=S▱BCDA=S▱B1C1DA=S▱B1C1EF,从而可得S▱BCC1B1=2S▱BCDA=﹣4(n﹣)2+9,根据二次函数的最值性就可解决问题;(2)如图2,易证△AOD∽△B1OB,根据相似三角形的性质可得OB1=,然后在Rt△AOB1中运用勾股定理就可解决问题.【解答】解:(1)如图1,∵▱ABCD与四边形AB1C1D关于直线AD对称,∴四边形AB1C1D是平行四边形,CC1⊥EF,BB1⊥EF,∴BC∥AD∥B1C1,CC1∥BB1,∴四边形BCEF、B1C1EF是平行四边形,∴S▱BCEF=S▱BCDA=S▱B1C1DA=S▱B1C1EF,∴S▱BCC1B1=2S▱BCDA.∵A(n,0)、B(m,0)、D(0,2n)、m=3,∴AB=m﹣n=3﹣n,OD=2n,∴S▱BCDA=AB•OD=(3﹣n)•2n=﹣2(n2﹣3n)=﹣2(n﹣)2+,∴S▱BCC1B1=2S▱BCDA=﹣4(n﹣)2+9.∵﹣4<0,∴当n=时,S▱BCC1B1最大值为9;(2)当点B1恰好落在y轴上,如图2,∵DF⊥BB1,DB1⊥OB,∴∠B1DF+∠DB1F=90°,∠B1BO+∠OB1B=90°,∴∠B1DF=∠OBB1.∵∠DOA=∠BOB1=90°,∴△AOD∽△B1OB,∴=,∴=,∴OB1=.由轴对称的性质可得AB1=AB=m﹣n.在Rt△AOB1中,n2+()2=(m﹣n)2,整理得3m2﹣8mn=0.∵m>0,∴3m﹣8n=0,∴=.【点评】本题主要考查了轴对称的性质、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值性、勾股定理等知识,得到S▱BCC1B1=2S▱BCDA是解决第(1)小题的关键,在Rt△AOB1中运用勾股定理是解决第(2)小题.24.(2016辽宁大连,24,11分)如图1,△ABC中,∠C=90°,线段DE在射线BC上,且DE=AC,线段DE沿射线BC运动,开始时,点D与点B重合,点D到达点C时运动停止,过点D作DF=DB,与射线BA相交于点F,过点E作BC的垂线,与射线BA相交于点G.设BD=x,四边形DEGF与△ABC重叠部分的面积为S,S关于x的函数图象如图2所示(其中0<x≤m,1<x≤m,m<x≤3时,函数的解析式不同)(1)填空:BC的长是3;(2)求S关于x的函数关系式,并写出x的取值范围.【考点】四边形综合题.【分析】(1)由图象即可解决问题.(2)分三种情形①如图1中,当0≤x≤1时,作DM⊥AB于M,根据S=S△ABC﹣S△BDF﹣S四边形ECAG即可解决.②如图2中,作AN∥DF交BC于N,设BN=AN=x,在RT△ANC中,利用勾股定理求出x,再根据S=S△ABC﹣S△BDF﹣S四边形ECAG即可解决.③如图3中,根据S=CD•CM,求出CM即可解决问题.【解答】解;(1)由图象可知BC=3.故答案为3.(2)①如图1中,当0≤x≤1时,作DM⊥AB于M,由题意BC=3,AC=2,∠C=90°,∴AB==,∵∠B=∠B,∠DMB=∠C=90°,∴△BMD∽△BCA,∴==,∴DM=,BM=,∵BD=DF,DM⊥BF,∴BM=MF,∴S△BDF=x2,∵EG∥AC,∴=,∴=,∴EG=(x+2),∴S四边形ECAG=[2+(x+2)]•(1﹣x),∴S=S△ABC﹣S△BDF﹣S四边形ECAG=3﹣x2﹣[2+(x+2)]•(1﹣x)=﹣x2+x+.②如图②中,作AN∥DF交BC于N,设BN=AN=x,在RT△ANC中,∵AN2=CN2+AC2,∴x2=22+(3﹣x)2,∴x=,∴当1<x≤时,S=S△ABC﹣S△BDF=3﹣x2,③如图3中,当<x≤3时,∵DM∥AN,∴=,∴=,∴CM=(3﹣x),∴S=CD•CM=(3﹣x)2,综上所述S=.【点评】本题考查四边形综合题、等腰三角形的性质、相似三角形的性质、勾股定理等知识,解题的关键是学会分类讨论,正确画出图形,属于中考压轴题.21.(2016广西南宁,21,8分)如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(2,2),B(4,0),C(4,﹣4)(1)请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1;(2)以点O为位似中心,将△ABC缩小为原来的,得到△A2B2C2,请在y轴右侧画出△A2B2C2,并求出∠A2C2B2的正弦值.【考点】作图-位似变换;作图-平移变换.【分析】(1)将A、B、C三点分别向左平移6个单位即可得到的△A1B1C1;(2)连接OA、OC,分别取OA、OB、OC的中点即可画出△A2B2C2,求出直线AC与OB的交点,求出∠ACB的正弦值即可解决问题.【解答】解:(1)请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1,如图1所示,(2)以点O为位似中心,将△ABC缩小为原来的,得到△A2B2C2,请在y轴右侧画出△A2B2C2,如图2所示,∵A(2,2),C(4,﹣4),B(4,0),∴直线AC解析式为y=﹣3x+8,与x轴交于点D(,0),∵∠CBD=90°,∴CD==,∴sin∠DCB===.∵∠A2C2B2=∠ACB,∴sin∠A2C2B2=sin∠DCB=.25.(2016辽宁大连,25,12分)阅读下面材料:小明遇到这样一个问题:如图1,△ABC中,AB=AC,点D在BC边上,∠DAB=∠ABD,BE⊥AD,垂足为E,求证:BC=2AE.小明经探究发现,过点A作AF⊥BC,垂足为F,得到∠AFB=∠BEA,从而可证△ABF≌△BAE(如图2),使问题得到解决.(1)根据阅读材料回答:△ABF与△BAE全等的条件是AAS(填“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”或“HL”中的一个)参考小明思考问题的方法,解答下列问题:(2)如图3,△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D为BC的中点,E为DC的中点,点F在AC的延长线上,且∠CDF=∠EAC,若CF=2,求AB的长;(3)如图4,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,点D、E分别在AB、AC边上,且AD=kDB(其中0<k<),∠AED=∠BCD,求的值(用含k的式子表示).【考点】相似形综合题.【分析】(1)作AF⊥BC,判断出△ABF≌△BAE(AAS),得出BF=AE,即可;(2)先求出tan∠DAE=,再由tan∠F=tan∠DAE,求出CG,最后用△DCG∽△ACE求出AC;(3)构造含30°角的直角三角形,设出DG,在Rt△ABH,Rt△ADN,Rt△ABH中分别用a,k表示出AB=2a(k+1),BH=a(k+1),BC=2BH=2a(k+1),CG=a(2k+1),DN=ka,最后用△NDE∽△GDC,求出AE,EC即可.【解答】证明:(1)如图2,作AF⊥BC,∵BE⊥AD,∴∠AFB=∠BEA,在△ABF和△BAE中,,∴△ABF≌△BAE(AAS),∴BF=AE∵AB=AC,AF⊥BC,∴BF=BC,∴BC=2AE,故答案为AAS(2)如图3,连接AD,作CG⊥AF,在Rt△ABC中,AB=AC,点D是BC中点,∴AD=CD,∵点E是DC中点,∴DE=CD=AD,∴tan∠DAE===,∵AB=AC,∠BAC=90°,点D为BC中点,∴∠ADC=90°,∠ACB=∠DAC=45°,∴∠F+∠CDF=∠ACB=45°,∵∠CDF=∠EAC,∴∠F+∠EAC=45°,∵∠DAE+∠EAC=45°,∴∠F=∠DAE,∴tan∠F=tan∠DAE=,∴,∴CG=×2=1,∵∠ACG=90°,∠ACB=45°,∴∠DCG=45°,∵∠CDF=∠EAC,∴△DCG∽△ACE,∴,∵CD=AC,CE=CD=AC,∴,∴AC=4;∴AB=4;(3)如图4,过点D作DG⊥BC,设DG=a,在Rt△BGD中,∠B=30°,∴BD=2a,BG=a,∵AD=kDB,∴AD=2ka,AB=BD+AD=2a+2ka=2a(k+1),过点A作AH⊥BC,在Rt△ABH中,∠B=30°.∴BH=a(k+1),∵
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