空间向量的应用（原题版）

空间向量的应用题型内容：（1）六种位置关系的证明与判断（2）三种空间角的求解（3）四种空间距离的求解（4）探索性问题的求解1．理解直线的方向向量与平面的法向量．2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系．3．能用向量方法证明平行和垂直．4．能用向量方法解决距离问题和简单夹角问题．重点难点：能用向量方法解决距离问题和简单夹角问题．阅读课本内容，自主完成下列内容。知识点一：直线的方向向量和平面的法向量1、直线的方向向量：点A是直线l上的一个点，是直线l的方向向量，在直线l上取，取定空间中的任意一点O，则点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使或，这就是空间直线的向量表达式．（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量．（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算．若在直线上，则直线的一个方向向量为（

）A．B．C．D．2、平面的法向量定义：直线l⊥α，取直线l的方向向量，我们称向量为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量，那么过点A，且以向量为法向量的平面完全确定，可以表示为集合．一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量．已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量．知识点二：空间位置关系的向量表示1．设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则线线平行l∥m⇔a＝kb(k∈R)线面平行l∥α⇔a⊥n1⇔a·n1＝0面面平行α∥β⇔n1∥n2⇔n1＝kn2(k∈R)线线垂直l⊥m⇔a·b＝0线面垂直l⊥α⇔a∥n1⇔a＝kn1(k∈R)面面垂直α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝02．利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤(1)建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系．(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素．(3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系．(4)根据运算结果解释相关问题．1.若直线l的方向向量，平面的法向量，则（

）A． B． C． D．或2.平面的法向量为，平面的法向量为，则下列命题正确的是（

）A．，平行 B．，垂直C．，重合 D．，相交不垂直知识点三空间距离的向量求法1．点到线的距离：设直线l的单位方向向量为u，A∈l，Pl，设＝a，则点P到直线l的距离d＝2．点到面的距离：已知平面α的法向量为n，A∈α，Pα，则点P到平面α的距离为d＝知识点四利用向量求空间角1．两条异面直线所成的角设异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝＝eq\f(|u·v|,|u||v|)．两异面直线所成的角的范围为．两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角．2．直线和平面所成的角直线AB与平面α相交于B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝＝eq\f(|u·n|,|u||n|)．3．二面角(1)两平面的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．(2)两平面夹角的计算：设平面α，β的法向量分别是n1，n2，平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)．1．线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sinθ＝|cos〈a，n〉|，不要误记为cosθ＝|cos〈a，n〉|．2．二面角的范围是[0，π]，两个平面夹角的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))．二面角的平面角等于或，即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角．①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角的大小等于的夹角的大小．②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于的夹角的补角的大小．知识点五、用向量方法求空间距离1、求点面距的一般步骤：①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．即：点到平面的距离，其中是平面的法向量．2、线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解-即：点到平面的距离，其中是平面的法向量．直线与平面之间的距离：，其中是平面的法向量．两平行平面之间的距离：，其中是平面的法向量．3、点线距设直线l的单位方向向量为，，，设，则点P到直线l的距离．考点一直线的方向向量例1在如图所示的坐标系中，ABCD－A1B1C1D1表示棱长为1的正方体，给出下列结论：①直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)；②直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)；③直线B1C的方向向量与DA1的方向向量共线；=4\*GB3④直线BD的方向向量是唯一的．其中正确的是________．(填序号)【对点演练】（2022·全国·高二课时练习）已知，分别是直线，的方向向量，那么“，不平行”是“，异面”的________条件．（填“必要不充分”“充分不必要”“充要”或“既不充分也不必要”）考点二平面的法向量例2（2023广东广州市培正中学高二期中）如图，在棱长为3的正方体中，点在棱上，且．以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．求平面的一个法向量.【对点演练1】已知，，．(1)写出直线BC的一个方向向量；(2)写出平面ABC的一个法向量．【对点演练2】已知平面内有两点，，平面的一个法向量为，则（

）A．4B．3C．2D．1【对点演练3】在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：(1)平面的一个法向量；(2)平面的一个法向量.【对点演练4】（2023·高二课时练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面PCD的一个法向量.考点三利用空间向量证明平行的方法角度1线线平行例3（2023·高二课时练习）已知棱长为1的正方体在空间直角坐标系中的位置如图所示，分别为棱的中点，求证：.【对点演练1】（2022·全国·高三专题练习）已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分别为AB、的中点．求证：直线直线．角度2直线与平面的平行例4（2023·全国·高二专题练习）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝6，E、F分别为A1D1、D1C1的中点.分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz.(1)求点E、F的坐标；(2)求证：EF∥平面ACD1.【对点演练1】（2023·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中.平面，且，点在棱上，点为中点.若，证明：直线平面.【对点演练2】（2022·山东·青岛中学高一阶段练习）如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，点E和F分别为BC和A1C的中点.求证：平面A1B1BA；【对点演练3】（2022·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E为棱PD的中点，（为常数，且）．若直线BF平面ACE，求实数的值；角度3平面和平面平行例5（2022·天津市蓟州区擂鼓台中学高二阶段练习）如图，长方体中，，，(1)求证：平面平面;【对点演练1】（2022·全国·高三专题练习）如图，已知棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，求证：平面∥平面.考点四利用空间向量证明垂直关系角度1线线垂直例6如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，Q为PD的中点．求证：．【对点演练1】如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，M为CE的中点.请用空间向量知识解决下列问题：(1)求证：；【对点演练2】（2022广州市第十七中学高一期中）如图，，，，，E，F分别是，的中点，M，N分别是，的中点，证明：.【对点演练3】如图，在空间直角坐标系Axyz中，底面ABCD为矩形，P（0，0，2），．（1）求证：；角度2线面垂直例7（2022·浙江·高三专题练习）如图所示，在长方体中，，，、分别、的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面.【对点演练1】（2022·全国·高二课时练习）已知直线的方向向量为，平面的一个法向量为，若，则（

）A． B． C． D．【对点演练2】（2022·江苏·徐州市王杰中学高二阶段练习）已知平面的法向量为，若直线平面，则直线的方向向量可以为（

）.A．（8，6，4） B．C． D．【对点演练3】（2022·广东·广州奥林匹克中学高二阶段练习）如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，则下列结论正确的是（

）A．//B．C．//平面D．平面【对点演练4】（2022·广东·高二期中）如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，E，F分别是的中点.(1)求证：；(2)在平面内求一点G，使平面.角度3面面垂直例8在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点.求证：平面BDE⊥平面ABCD.【对点演练1】（2022·陕西·武功县普集高级中学高二期末（理））设分别是平面的法向量，若，则实数的值是________．【对点演练2】在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E为BB1的中点，求证：平面AEC1⊥平面AA1C1C.【对点演练2】（2022·全国·高三专题练习）已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．（1）求证：A1E⊥BD；（2）若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．考点五利用空间向量求角角度1异面直线所成角例9（2022河南商丘市一中高一）在正方体中，E，F分别为棱AD，的中点，则异面直线EF与所成角的余弦值为（

）．A． B． C． D．例10（2022·辽宁丹东·高三阶段练习）如图，在正三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为______．【对点演练1】如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别为和的中点，那么直线AM与CN夹角的余弦值为（

）A． B． C． D．【对点演练2】在直三棱柱中，，，分别是的中点，则直线与所成角的余弦值等于（

）A． B． C． D．【对点演练3】（2022·河北南宫中学高三阶段练习）在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱、、两两夹角都为，且，，，、分别为、的中点，则与所成角的余弦值为__________.【对点演练4】（2022·黑龙江·哈尔滨市第四中学校高二阶段练习）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B为正方形，AB=BC=2，且，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱上的点．(1)证明：；(2)在棱A1B1上是否存在一点M，使得异面直线MF与AC所成的角为30°？若存在，指出M的位置；若不存在，说明理由．【对点演练5】6．（2022·四川省内江市第六中学高二开学考试（理））如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与直线所成角的正弦值的最小值为（

）A． B． C． D．角度2线面角例11（2022·陕西渭南·高二期末（理））如图，在空间直角坐标系中有单位正方体分别是棱和的中点．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值．【对点演练1】如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，面，则与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．【对点演练2】】（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，三棱台中，，，．(1)证明：；(2)求直线与平面所成的角．【对点演练3】（2022·上海金山·一模）如图，在四棱锥中，已知底面，底面是正方形，.(1)求证：直线平面；(2)求直线与平面所成的角的正弦值.【对点演练4】（2022·河南省杞县高中模拟预测（理））如图，在四棱锥中，四边形ABCD为菱形，且，平面ABCD，E为BC的中点，F为棱PC上一点．(1)求证：平面平面PAD；(2)若G为PD的中点，，是否存在点F，使得直线EG与平面AEF所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．角度3二面角例12在四棱锥中，平面，四边形是矩形，分别是的中点．(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值．【对点演练1】（2022·全国·模拟预测（理））如图，在四棱锥中，，，，，，平面平面.(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值.【对点演练2】（2022·云南曲靖·高三阶段练习）如图，在四棱锥中，底面为长方形，底面分别为线段的中点.(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【对点演练3】（2022·广东茂名·高二期末）如图，在四棱雉中，底面满足，，底面，且，.(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面的夹角余弦值.考点六利用空间向量求距离角度1点线距例13（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学高二阶段练习（理））在长方体中，，，，是的中点，建立空间直角坐标系，用向量方法解下列问题：(1)求直线与所成的角的余弦值；(2)求点到直线的距离．【对点演练】（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学高二阶段练习）如图所示，在几何体中，四边形为直角梯形，，，底面，，，，．(1)求直线与直线所成角的余弦值；(2)求点到直线的距离．角度2点面距例14（2022·广东清远·高二期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面PAD，E是AD的中点，为等腰直角三角形，，=(1)求证：；(2)求点A到平面PBE的距离．【对点演练1】（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）已知平面的法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．【对点演练2】将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则点到平面的距离为______．【对点演练3】（2022·山西·太原市外国语学校高二期中）如图所示，正方形和矩形所在的平面互相垂直，，分别为的中点，.(1)证明：平面；(2)求点到平面的距离.角度3线面距例15（2022·黑龙江·哈尔滨市剑桥第三高级中学有限公司高二阶段练习）在棱长为1的正方体中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点．(1)求点B到直线AC1的距离；(2)求直线FC到平面AEC1的距离．角度4面面距例16（2022·全国·高三专题练习）直四棱柱中，底面为正方形，边长为，侧棱，分别为的中点，分别是的中点．(1)求证：平面平面；(2)求平面与平面的距离．一、单选题1、（2022·江苏·高二课时练习）如图，在正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，则下列向量中，能作为平面的法向量的是（

）．A．（1，，4） B．（，1，）C．（2，，1） D．（1，2，）2.（2022·全国·高二课时练习）如图，在空间直角坐标系中，有正方体，给出下列结论：①直线的一个方向向量为；②直线的一个方向向量为；③平面的一个法向量为；④平面的一个法向量为．其中正确的个数为（

）．A．1 B．2 C．3 D．43（2022·全国·高三专题练习（文））在正方体中，E，F分别为的中点，则（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面4．（2022·北京市师达中学高二阶段练习）已知，则原点到平面的距离是（

）A． B． C． D．5．（2022·河南安阳·高一阶段练习）已知在四棱柱中，底面为正方形，侧棱底面.若，，是线段的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．6．（2022·河南开封·一模（文））如图，在正方体中，点M，N分别是，的中点，则下述结论中正确的个数为（

）①∥平面；

②平面平面；③直线与所成的角为；

④直线与平面所成的角为．A．1 B．2 C．3 D．47．（2022·陕西渭南·高二期末（理））将正方形沿对角线折成直二面角，得到如图所示的三棱锥，其中为的中点，则下列结论错误的是（

）A．平面B．平面与平面所成角的余弦值为C．与所成的角为D．与所成的角为二、多选题8．（2022·湖南·嘉禾县第六中学高二阶段练习）下列命题是真命题的有（

）A．平面经过三点，，，是平面的法向量，则，B．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直C．直线的方向向量为，平面的法向量为，则D．，，，是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，那么，，，共面9．（2022·山东临沂·高二期中）在空间直角坐标系中，，，，则（

）A． B．异面直线OC与AB所成角等于C．点B到平面AOC的距离是2 D．直线OB与平面AOC所成角的正弦值为三、填空题10（2022·全国·高二课时练习）放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD中，H是底面中心，平面ABC，写出：（1）直线BC的一个方向向量___________；（2）点OD的一个方向向量___________；（3）平面BHD的一个法向量___________；（4）的重心坐标___________.11.（2022·福建·厦门一中高二阶段练习）在空间直角坐