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文档简介
空间向量的应用题型内容:(1)六种位置关系的证明与判断(2)三种空间角的求解(3)四种空间距离的求解(4)探索性问题的求解1.理解直线的方向向量与平面的法向量.2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角以及垂直与平行关系.3.能用向量方法证明平行和垂直.4.能用向量方法解决距离问题和简单夹角问题.重点难点:能用向量方法解决距离问题和简单夹角问题.阅读课本内容,自主完成下列内容。知识点一:直线的方向向量和平面的法向量1、直线的方向向量:点A是直线l上的一个点,是直线l的方向向量,在直线l上取,取定空间中的任意一点O,则点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使或,这就是空间直线的向量表达式.(1)在直线上取有向线段表示的向量,或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量,均为直线的方向向量.(2)在解具体立体几何题时,直线的方向向量一般不再叙述而直接应用,可以参与向量运算或向量的坐标运算.若在直线上,则直线的一个方向向量为(
)A.B.C.D.2、平面的法向量定义:直线l⊥α,取直线l的方向向量,我们称向量为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量,那么过点A,且以向量为法向量的平面完全确定,可以表示为集合.一个平面的法向量不是唯一的,在应用时,可适当取平面的一个法向量.已知一平面内两条相交直线的方向向量,可求出该平面的一个法向量.知识点二:空间位置关系的向量表示1.设直线l,m的方向向量分别为a,b,平面α,β的法向量分别为n1,n2,则线线平行l∥m⇔a=kb(k∈R)线面平行l∥α⇔a⊥n1⇔a·n1=0面面平行α∥β⇔n1∥n2⇔n1=kn2(k∈R)线线垂直l⊥m⇔a·b=0线面垂直l⊥α⇔a∥n1⇔a=kn1(k∈R)面面垂直α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2=02.利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤(1)建立空间直角坐标系,建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系.(2)建立空间图形与空间向量之间的关系,用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素.(3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量,再研究平行、垂直关系.(4)根据运算结果解释相关问题.1.若直线l的方向向量,平面的法向量,则(
)A. B. C. D.或2.平面的法向量为,平面的法向量为,则下列命题正确的是(
)A.,平行 B.,垂直C.,重合 D.,相交不垂直知识点三空间距离的向量求法1.点到线的距离:设直线l的单位方向向量为u,A∈l,Pl,设=a,则点P到直线l的距离d=2.点到面的距离:已知平面α的法向量为n,A∈α,Pα,则点P到平面α的距离为d=知识点四利用向量求空间角1.两条异面直线所成的角设异面直线l1,l2所成的角为θ,其方向向量分别为u,v,则cosθ=|cos〈u,v〉|==eq\f(|u·v|,|u||v|).两异面直线所成的角的范围为.两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得,但二者不完全相等,当两方向向量的夹角是钝角时,应取其补角作为两异面直线所成的角.2.直线和平面所成的角直线AB与平面α相交于B,设直线AB与平面α所成的角为θ,直线AB的方向向量为u,平面α的法向量为n,则sinθ=|cos〈u,n〉|==eq\f(|u·n|,|u||n|).3.二面角(1)两平面的夹角:平面α与平面β相交,形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.(2)两平面夹角的计算:设平面α,β的法向量分别是n1,n2,平面α与平面β的夹角为θ,则cosθ=|cos〈n1,n2〉|==eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值,即sinθ=|cos〈a,n〉|,不要误记为cosθ=|cos〈a,n〉|.2.二面角的范围是[0,π],两个平面夹角的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(π,2))).二面角的平面角等于或,即二面角等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角.①当法向量与的方向分别指向二面角的内侧与外侧时,二面角的大小等于的夹角的大小.②当法向量的方向同时指向二面角的内侧或外侧时,二面角的大小等于的夹角的补角的大小.知识点五、用向量方法求空间距离1、求点面距的一般步骤:①求出该平面的一个法向量;②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量;③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即可求出点到平面的距离.即:点到平面的距离,其中是平面的法向量.2、线面距、面面距均可转化为点面距离,用求点面距的方法进行求解-即:点到平面的距离,其中是平面的法向量.直线与平面之间的距离:,其中是平面的法向量.两平行平面之间的距离:,其中是平面的法向量.3、点线距设直线l的单位方向向量为,,,设,则点P到直线l的距离.考点一直线的方向向量例1在如图所示的坐标系中,ABCD-A1B1C1D1表示棱长为1的正方体,给出下列结论:①直线DD1的一个方向向量为(0,0,1);②直线BC1的一个方向向量为(0,1,1);③直线B1C的方向向量与DA1的方向向量共线;=4\*GB3④直线BD的方向向量是唯一的.其中正确的是________.(填序号)【对点演练】(2022·全国·高二课时练习)已知,分别是直线,的方向向量,那么“,不平行”是“,异面”的________条件.(填“必要不充分”“充分不必要”“充要”或“既不充分也不必要”)考点二平面的法向量例2(2023广东广州市培正中学高二期中)如图,在棱长为3的正方体中,点在棱上,且.以为原点,,,所在直线分别为轴、轴、轴,建立如图所示的空间直角坐标系.求平面的一个法向量.【对点演练1】已知,,.(1)写出直线BC的一个方向向量;(2)写出平面ABC的一个法向量.【对点演练2】已知平面内有两点,,平面的一个法向量为,则(
)A.4B.3C.2D.1【对点演练3】在棱长为2的正方体中,E,F分别为棱的中点,在如图所示的空间直角坐标系中,求:(1)平面的一个法向量;(2)平面的一个法向量.【对点演练4】(2023·高二课时练习)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,AB=AP=1,AD=,试建立恰当的空间直角坐标系,求平面PCD的一个法向量.考点三利用空间向量证明平行的方法角度1线线平行例3(2023·高二课时练习)已知棱长为1的正方体在空间直角坐标系中的位置如图所示,分别为棱的中点,求证:.【对点演练1】(2022·全国·高三专题练习)已知长方体中,,,,点S、P在棱、上,且,,点R、Q分别为AB、的中点.求证:直线直线.角度2直线与平面的平行例4(2023·全国·高二专题练习)如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AD=AA1=2,AB=6,E、F分别为A1D1、D1C1的中点.分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz.(1)求点E、F的坐标;(2)求证:EF∥平面ACD1.【对点演练1】(2023·全国·高二专题练习)如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,其中.平面,且,点在棱上,点为中点.若,证明:直线平面.【对点演练2】(2022·山东·青岛中学高一阶段练习)如图,已知AA1⊥平面ABC,BB1∥AA1,AB=AC=3,BC=2,AA1=,BB1=2,点E和F分别为BC和A1C的中点.求证:平面A1B1BA;【对点演练3】(2022·全国·高三专题练习)如图,在四棱锥P−ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,BC∥AD,PA=AB=BC=2,AD=4,E为棱PD的中点,(为常数,且).若直线BF平面ACE,求实数的值;角度3平面和平面平行例5(2022·天津市蓟州区擂鼓台中学高二阶段练习)如图,长方体中,,,(1)求证:平面平面;【对点演练1】(2022·全国·高三专题练习)如图,已知棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M,N,E,F分别是棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中点,求证:平面∥平面.考点四利用空间向量证明垂直关系角度1线线垂直例6如图,在四棱锥中,平面ABCD,底面四边形ABCD为直角梯形,,,,,Q为PD的中点.求证:.【对点演练1】如图,正方形与梯形所在的平面互相垂直,,,,,M为CE的中点.请用空间向量知识解决下列问题:(1)求证:;【对点演练2】(2022广州市第十七中学高一期中)如图,,,,,E,F分别是,的中点,M,N分别是,的中点,证明:.【对点演练3】如图,在空间直角坐标系Axyz中,底面ABCD为矩形,P(0,0,2),.(1)求证:;角度2线面垂直例7(2022·浙江·高三专题练习)如图所示,在长方体中,,,、分别、的中点.(1)求证:平面;(2)求证:平面.【对点演练1】(2022·全国·高二课时练习)已知直线的方向向量为,平面的一个法向量为,若,则(
)A. B. C. D.【对点演练2】(2022·江苏·徐州市王杰中学高二阶段练习)已知平面的法向量为,若直线平面,则直线的方向向量可以为(
).A.(8,6,4) B.C. D.【对点演练3】(2022·广东·广州奥林匹克中学高二阶段练习)如图,在正四棱柱中,是底面的中心,分别是的中点,则下列结论正确的是(
)A.//B.C.//平面D.平面【对点演练4】(2022·广东·高二期中)如图,在四棱锥中,底面,底面为正方形,,E,F分别是的中点.(1)求证:;(2)在平面内求一点G,使平面.角度3面面垂直例8在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是正方形,AS⊥底面ABCD,且AS=AB,E是SC的中点.求证:平面BDE⊥平面ABCD.【对点演练1】(2022·陕西·武功县普集高级中学高二期末(理))设分别是平面的法向量,若,则实数的值是________.【对点演练2】在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AB⊥BC,AB=BC=2,AA1=1,E为BB1的中点,求证:平面AEC1⊥平面AA1C1C.【对点演练2】(2022·全国·高三专题练习)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1上的动点.(1)求证:A1E⊥BD;(2)若平面A1BD⊥平面EBD,试确定E点的位置.考点五利用空间向量求角角度1异面直线所成角例9(2022河南商丘市一中高一)在正方体中,E,F分别为棱AD,的中点,则异面直线EF与所成角的余弦值为(
).A. B. C. D.例10(2022·辽宁丹东·高三阶段练习)如图,在正三棱柱中,,,则异面直线与所成角的余弦值为______.【对点演练1】如图,在棱长为1的正方体中,M,N分别为和的中点,那么直线AM与CN夹角的余弦值为(
)A. B. C. D.【对点演练2】在直三棱柱中,,,分别是的中点,则直线与所成角的余弦值等于(
)A. B. C. D.【对点演练3】(2022·河北南宫中学高三阶段练习)在平行六面体中,以顶点为端点的三条棱、、两两夹角都为,且,,,、分别为、的中点,则与所成角的余弦值为__________.【对点演练4】(2022·黑龙江·哈尔滨市第四中学校高二阶段练习)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,且,E,F分别为AC和CC1的中点,D为棱上的点.(1)证明:;(2)在棱A1B1上是否存在一点M,使得异面直线MF与AC所成的角为30°?若存在,指出M的位置;若不存在,说明理由.【对点演练5】6.(2022·四川省内江市第六中学高二开学考试(理))如图,在正方体中,M为线段的中点,N为线段上的动点,则直线与直线所成角的正弦值的最小值为(
)A. B. C. D.角度2线面角例11(2022·陕西渭南·高二期末(理))如图,在空间直角坐标系中有单位正方体分别是棱和的中点.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.【对点演练1】如图,在正方体中,,分别为棱,的中点,面,则与平面所成角的正弦值为(
)A. B. C. D.【对点演练2】】(2022·浙江绍兴·模拟预测)如图,三棱台中,,,.(1)证明:;(2)求直线与平面所成的角.【对点演练3】(2022·上海金山·一模)如图,在四棱锥中,已知底面,底面是正方形,.(1)求证:直线平面;(2)求直线与平面所成的角的正弦值.【对点演练4】(2022·河南省杞县高中模拟预测(理))如图,在四棱锥中,四边形ABCD为菱形,且,平面ABCD,E为BC的中点,F为棱PC上一点.(1)求证:平面平面PAD;(2)若G为PD的中点,,是否存在点F,使得直线EG与平面AEF所成角的正弦值为?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.角度3二面角例12在四棱锥中,平面,四边形是矩形,分别是的中点.(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值.【对点演练1】(2022·全国·模拟预测(理))如图,在四棱锥中,,,,,,平面平面.(1)证明:平面;(2)求二面角的余弦值.【对点演练2】(2022·云南曲靖·高三阶段练习)如图,在四棱锥中,底面为长方形,底面分别为线段的中点.(1)求证:平面平面;(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.【对点演练3】(2022·广东茂名·高二期末)如图,在四棱雉中,底面满足,,底面,且,.(1)求证:平面平面;(2)求平面与平面的夹角余弦值.考点六利用空间向量求距离角度1点线距例13(2022·陕西·西安市临潼区铁路中学高二阶段练习(理))在长方体中,,,,是的中点,建立空间直角坐标系,用向量方法解下列问题:(1)求直线与所成的角的余弦值;(2)求点到直线的距离.【对点演练】(2022·辽宁·渤海大学附属高级中学高二阶段练习)如图所示,在几何体中,四边形为直角梯形,,,底面,,,,.(1)求直线与直线所成角的余弦值;(2)求点到直线的距离.角度2点面距例14(2022·广东清远·高二期中)如图,在四棱锥中,底面ABCD为矩形,平面PAD,E是AD的中点,为等腰直角三角形,,=(1)求证:;(2)求点A到平面PBE的距离.【对点演练1】(2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习)已知平面的法向量为,点在平面内,则点到平面的距离为(
)A. B. C. D.【对点演练2】将边长为的正方形沿对角线折成直二面角,则点到平面的距离为______.【对点演练3】(2022·山西·太原市外国语学校高二期中)如图所示,正方形和矩形所在的平面互相垂直,,分别为的中点,.(1)证明:平面;(2)求点到平面的距离.角度3线面距例15(2022·黑龙江·哈尔滨市剑桥第三高级中学有限公司高二阶段练习)在棱长为1的正方体中,E为线段A1B1的中点,F为线段AB的中点.(1)求点B到直线AC1的距离;(2)求直线FC到平面AEC1的距离.角度4面面距例16(2022·全国·高三专题练习)直四棱柱中,底面为正方形,边长为,侧棱,分别为的中点,分别是的中点.(1)求证:平面平面;(2)求平面与平面的距离.一、单选题1、(2022·江苏·高二课时练习)如图,在正方体中,以为原点建立空间直角坐标系,为的中点,为的中点,则下列向量中,能作为平面的法向量的是(
).A.(1,,4) B.(,1,)C.(2,,1) D.(1,2,)2.(2022·全国·高二课时练习)如图,在空间直角坐标系中,有正方体,给出下列结论:①直线的一个方向向量为;②直线的一个方向向量为;③平面的一个法向量为;④平面的一个法向量为.其中正确的个数为(
).A.1 B.2 C.3 D.43(2022·全国·高三专题练习(文))在正方体中,E,F分别为的中点,则(
)A.平面平面 B.平面平面C.平面平面 D.平面平面4.(2022·北京市师达中学高二阶段练习)已知,则原点到平面的距离是(
)A. B. C. D.5.(2022·河南安阳·高一阶段练习)已知在四棱柱中,底面为正方形,侧棱底面.若,,是线段的中点,,则异面直线与所成角的余弦值为(
)A. B. C. D.6.(2022·河南开封·一模(文))如图,在正方体中,点M,N分别是,的中点,则下述结论中正确的个数为(
)①∥平面;
②平面平面;③直线与所成的角为;
④直线与平面所成的角为.A.1 B.2 C.3 D.47.(2022·陕西渭南·高二期末(理))将正方形沿对角线折成直二面角,得到如图所示的三棱锥,其中为的中点,则下列结论错误的是(
)A.平面B.平面与平面所成角的余弦值为C.与所成的角为D.与所成的角为二、多选题8.(2022·湖南·嘉禾县第六中学高二阶段练习)下列命题是真命题的有(
)A.平面经过三点,,,是平面的法向量,则,B.直线的方向向量为,直线的方向向量为,则与垂直C.直线的方向向量为,平面的法向量为,则D.,,,是空间四点,若,,不能构成空间的一个基底,那么,,,共面9.(2022·山东临沂·高二期中)在空间直角坐标系中,,,,则(
)A. B.异面直线OC与AB所成角等于C.点B到平面AOC的距离是2 D.直线OB与平面AOC所成角的正弦值为三、填空题10(2022·全国·高二课时练习)放置于空间直角坐标系中的棱长为2的正四面体ABCD中,H是底面中心,平面ABC,写出:(1)直线BC的一个方向向量___________;(2)点OD的一个方向向量___________;(3)平面BHD的一个法向量___________;(4)的重心坐标___________.11.(2022·福建·厦门一中高二阶段练习)在空间直角坐
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