2018-2019学年九年级数学寒假先修作业-解直角三角形

解直角三角形解直角三角形.第六讲解直角三角形【问题探索】问题：已知平顶屋面的宽度L和坡顶的设计高度能求出斜面钢条的长度和倾角a吗？变：已知平顶屋面的宽度L和坡顶的设计倾角你能求出斜面钢条的长度和设计高度h吗？【新课引入】在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫在三角形中共有几个元素?直角三角形ABC中，/C=90°a、(1)三边之间关系：a2+b2=c2(2)锐角之间关系/A+/B=90°(3)边角之间关系：b、c、/A、/B这五个元素间有哪些等量关系呢?(勾股定理)•正弦函数:sinA=.A的对边

斜边余弦函数:cosA=■正切函数:tanA二厶A的对边.A的邻边【精选例题】(一)求直角三角形中的边和角解直角三角形，只有下面两种情况:(1)(2)例1形：已知两条边；已知一条边和一个锐角(两个已知元素中至少有一条边)在RtAABC中，/C=90°,a、b、c分别是/A、/B、/C的对边。解下列直角三角已知a=3,b=3,已知c=8,b=4,已知c=8，/A=45°解析:已知两直角边的长，根据勾股定理可求斜边 c=3・、2,由三角函数公式可求sinA=一,2推出NA=45°根据直角三角形两锐角互余”可求NB=45°a=43a=43，通过三角函数公式求角度SinA=孚可知N厲，根据直角三角形两锐角互余”得乂B=30；”得.B=45°”得.B=45°，由三角函数公式可知a=csin45=42,b=ccos45=4

前思后想:已知一锐角求另一锐角 ——“直角三角形两锐角互余”已知直角三角形的两边求第三边一一勾股定理；已知一边和一锐角——三角函数公式三角函数公式可变形为： a=csinA，b=ccosA，a=btanA，c=asinAc=c=asinAc=—，

cosAb=?_tanA例2例2在Rt「ABC中，.C=90，AC=6，D是AC上一1点，若tanZDBC ，AB=10，试求AD。解析：先由勾股定理求得BC=「AB2二AC2=8，再根据三角函数可求出AD=AC—DC=2.前思后想：本题用方程求解也可，解题过程如下：在RtAABC中，由勾股定理得： BC=AB2-AC2=8,设AD=x,设AD=x,则在RtCDBC中，由三角函数可知:tan.DBC=DC,BC_6—x8_解得：x=2，即：AD=2。由方程求解时，列方程的依据是等量关系三角函数公式。由方程求解时，列方程的依据是等量关系三角函数公式。牛刀小试:已知直角三角形ABC中，斜边AB的长为m,.B=40‘，则直角边BC的长是(A.msin40、 B.mcos40" C.mtan40" D.―tan40"'2.在Rt△ABC中，C=90〃,BC二5,AC=.15，则.A=( )A.90 B.60 C.45 D.30：'在AABC中，ZC为直角，ZA、ZB、ZC所对的边分别为a、b、c,且a=\3,b=3,解这个三角形.如图，正方形ABCD中，E是BC边上一点，以E为圆心、EC为半径的半圆与以A为圆心，AB为半径的圆弧外切，则sin.EAB的值为 。（写明理由）答案：B;D；在Rt△ABC中，由勾股定理得： C=、a2b2=2.3a1a1.sinA=—= ,c2，•”/A=30°。/B=60°。设两圆半径分别为R和r，在Rt△ABE中，由勾股定理可知:(R-r(R-rf F2=(R■I)，■R=4r.sin£EAB=R-r_3r_3Rr=5r=5（二）构造直角三角形求边角例3如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度为10（二）构造直角三角形求边角例3如图，厂房屋顶人字架（等腰三角形）的跨度为10米,/A=26°求中柱BC（C为底边中点）和上弦AB的长。（精确到0.01米，tan26o=0.4877,cos26o=0.8988）解析：先由等腰三角形的性质可知中柱 BC垂直平分横梁（跨度），即可把等腰三角形分成两个全等的直角三角形；再运用三角函数解直角三角形解答： 人字架是等腰三角形，BC是中柱，ABC，即可。BC垂直平分横梁即：AABC是直角三角形，AC=5mZA=26.tanA=匹,.tanA=匹,ACcosA=ACAB即：BC=ACtanA=50.48772.44AB=-AC= 5 5.56cosA0.8988答：中柱BC的长约为2.44米，上弦AB的长约为5.56米。前思后想：此题先要理解中柱”的含义一一底边上的中线，其次能立即想到等腰三角形 三线合一的性质找出直角三角形，最后才能运用三角函数解直角三角形例4已知△ABC中，/C=90°,AD是角平分线，且BD:CD=4:3，求sinB的值。解析：山穷水尽疑无路：首先想到2B是RtAABC的一个锐角，sinB=AC—C”，再苦思冥想AC、AB、BC三边之间的数量关系，总是AB不得其解。回头是岸：前面思路是由于审题时急功近利，过多的关注问题，没有仔细分析题目的条件,把自己带入了死胡同。解题不能 狭路相逢一一勇者胜”应该及早醒悟，回头是岸！柳暗花明乂一村：AD是角平分线，哪个角的平分线？由它能想到哪些结论？（角平分线的性质角平分线上的点到角两边的距离相等 ”），D点到AC边得距离是什么？与它相等的 D点到AB的距离呢？图中又出现哪些直角三角形？2 B是哪些直角三角形的锐角？我们能推

出该直角三角形哪些边的数量关系？正确解答：过D点作DE_AB,垂足为E,-AD是/BAC的角平分线，且/ C=90°.DE=DCBD:CD=4:3亠 亠 DEDC3.在Rt/△BDE中，sinB== =-BDBD4前思后想：本题是根据角平分线的性质来构造新的直角三角形， 求某个锐角的三角函数的。虽然题目给了我们一个直角三角形，但是它不能解决问题，此时就要及时回到已知条件，逐个条件进行推导，寻找新思路。例5如图，AB是半圆的直径，弦AD,BC相交于P,已知/DPB=60°D是6C的中点，贝Utan/ADC等于( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)33解析：错误思路：按照部分学生的解题思路，首先想到的就是在图形中找/ ADC所在的直角三角形，继而想到过C点作AD得垂线，但是又不符合垂径定理，结果发现无法进行下去。正确思路：从已知条件出发，每个条件逐一推导，就能找到解决问题的方法。解答：连接BD,'AB是半圆的直径./ADB=90°/DPB=60°./PBD=30°D是BC的中点.BD=CD/A=/C=/PBD=30°/ABD=60°./ADC=/ABC=/ABD—/PBD=30°43tan/ADC=tan30=-3前思后想：求一个角的三角函数值，寻找直角三角形是关键，但是也不是千篇一律， 方法如下：没有直角三角形时，就要根据题目条件构造直角三角形；根据条件进行等角转移，求相等角的三角函数值；

根据条件求出该角的度数，再由特殊角的三角函数值求解。例6小刚有一块含有30°角的直角三角板，他想测量其短直角边的长度，而手中另外只有一个量角器，于是他采用了如下的办法，并获得了相关数据：第一步，他先用三角板标有刻度的一边测出量角器的直径 AB的长度为9cm;第二步，将三角板与量角器按如图所示的方式摆放，并量得/BOC为80°（O为AB的中点）.请你根据小刚测得的数据，求出三角板的短直角边AC的长.（参考数据:sin80=0.98,cos80°=0.17,tan80=5.67;sin40=0.64,cos40°=0.77,tan40=0.84，结果精确到0.1cm.）解析：审题回答问题：① ABC是什么三角形？②/BAC多少度？③在.：ABC中我们知道哪几个因素？④要咱们求什么因素？解答：/ACB是直角三角板的直角，•：ABC为直角三角形.1 由题意可知：在Rt.lABC中，AB=9，/BAC=-/BOC=40.AC.cos/BAC= AC=ABcos/BAC=90.7769AB答：直角三角板的短直角边长为 6.9cm。前思后想:TOC\o"1-5"\h\z本题考察了同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 ”、运用三角函数解直角三角形 两个方面的知识，它是把问题放在具体的测量操作中进行考察的。 解决此题的关键是读题， 找到所求线段所在的直角三角形，从操作步骤中找出已知边的长度和已知角的度数。牛刀小试：等腰三角形的周长为 2 3，腰长为1，则底角等于如图，/1的正切值等于 ;如图，两条宽度都是 1的纸条交叉叠在一起，且它们的夹角为:,则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是（11A、 B、 —sin： cos：c、sin： D、1在RtMBC中，/C=90°/A、/B的对边分别是a、b，且满足a2—ab—b2=0,则tanA等于（ ）Fi

Fi如图，△ABC中，AB=AC,/A=45°AC的垂直平分线分别交AB,AC于D,E两点,TOC\o"1-5"\h\z连接CD。如果AD=1，那么tan/BCD= 。在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且/NMB=/MBC，贝Utan/ABM= 。_1_14.B; 5.■2-1; 6.13130° 2.-； 3.A;3【课后作业】1•在下列直角三角形中不能求解的是（ ）A、已知一直角边一锐角 B、已知一斜边一锐角C、已知两边 D、已知两角已知：在RtAABC中，/C=90°,b=2>/5,c=4。求：a、/B、/A解直角三角形在RtAABC中，/C=90°a=,b=3b=5,c=5.2a=6,A=30°B=30°,C=5,3如图，两建筑物的水平距离BC为24米，从点A测得点D的俯角=30°测得点C的俯角1=60°求AB和CD两座建筑物的高.（结果保留根号）AABC内接于圆0,若圆的半径是2,AB=3，求sinC已知AABC中，AB=42,/B=45°/C=60°AH丄BC于H，贝UCH= 平行四边形ABCD两邻边长分别为4cm和6cm，它们夹角60°则较短的对角线的长 cm。&等腰三角形底边长10cm，周长为36cm,则一底角的正切值为 如图，在AABC中，/C=90°,AC=8cm,AB的垂直平分线MNAC于D，连结BD，若cos/BDC=3，则BC的长是（ ）5A、4cm B、6cmC、8cm D、10cm如图，AABC是等腰三角形，/ACB=90°，过BC的中点D作DE丄AB，垂足为E,连结CE，求sin/ACE的值。

在正方形ABCD，点E在CD边上，且CE:DE=1:3,求/AEB的正弦值。12•在一堂学习解直角三角形课时，刘老师准备了道具：两根定在一起的木条， 一根AB长20厘米，另一根AC长30厘米。（如图所示）刘老师进行了如下提问： （（1）、（2）、（3）直接填空，（4）写过程）（1） 当两根木条垂直时，△ABC的面积是 （2） 当两根木条成30°夹角时，△ABC的面积是 （3） 当两根木条成夹角为％时（a是锐角），△ABC的面积是同学们认真思考两根木条成150°夹角时，△ABC的面积是多少?同学们认真思考两根木条成150°夹角时，△ABC的面积是多少?13.AD是厶ABC的高，AD在厶ABC的外部，AD=BD=1A.15° B.60C.105D.15或105°14.在△ABC中,Z0=90°,点D在AC上，且AD=BD,BC=3,DC=4，/BDC=a，贝Utan丄―=( )C.3△ABCC.3△ABC中,ZC=90°/BAC=30°,AD是中线，则tanZDAC=A.再B.逅 C.3再 D羊6如图，△ABC中,CD是中线，且CD丄CA,CD=3,tanZBCD=£，求△ABC各边的长。如图所示，等腰梯形ABCD,AD//BC,ZDBC=45°，翻折梯形ABCD,?使点B重合于点D,折痕分别交边AB、BC于点F、E，若AD=2,BC=8.求：（1）BE的长；（2）ZCOE的正切值.已知：如图，在梯形ABCD中,AD//BC,ZABC=90°上C=?45°BE丄CD于点E,AD=1,CD=22.求：BE的长.

如图，已知ABEC是等边三角形，/AEB=/DEC=90°.AE=DE,AC、BD的交点为O.求证：△AEC◎△DEB;若/ABC=/DCB=90°,AB=2cm,求图中阴影部分的面积.答案：1.D；在RtAABC中，/C=90°b=2廳,c=4，二由勾股定理可知： a=Jc2—b2=2。si叱#, 心0。在RtAABC中，/C=90°(1) b=3,a=3,c=a2b2=2、3,a1sinA=£=-,./A=30°，/B=60。c2b=5,c=5.2, .a=.c2—b2=5。sinA=a=二,.ZA=45，/B=45°。c2••-a=6,ZA=30°:丄B=60°sinA=旦=1,tanA=— 3,.c=12,b=63。c2 b3c=53,ZB=30°,.ZA=60°。b1 D_aV3 . 5厂_D_15'sinB=-= ,cosB= ,.b=csinB=-3。.a=ccosB=—。c2 c2 2 2延长CD，交水平线于E点。由题意可知：tan：二匹,tan1：=些,.DE=AEtan30‘^83,CE=AEtan60‘=24.3。AE AE.AB=CE243CD=CE-DE=16.3。答：AB、CD两座建筑物的高度分别为24.3、16.35•连接过A、B两点的半径，过O点作AB得垂线段OD,根据垂径定理可知：AD=32由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半 ”，可知：sinC=sinAOD=^D=-OA4

6.4、3； 7.27; 8.12; 9.A;3 510.过E点作EF_BC/ACB=90.EF//AC./ACE=/CEF-△ABC是等腰三角形，且D是BC中点,设CD=BD=x，贝UAC=2x,3 1.CF=—x,EF=—x:3 21 2CE=(2X)(2x)10x2.sin/ACE=sin:3 21 2CE=(2X)(2x)10x2.sin/