2017-2018学年浙教版八年级数学上册习题特殊三角形

第2章特殊三角形1图形的轴对称01基础题知识点1轴对称图形及其性质（余杭区仁和中学期末） 下列图形是轴对称图形的是（A）AB CD下列轴对称图形中，只有两条对称轴的图形是（A）如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列说法错误的是C5.如图，若厶ABC与厶C5.如图，若厶ABC与厶A'DB'关于直线MN对称，BB'交MN于点0,则下列说法中，不定正确的是（B）AC=A'C'AB//B'CAA'丄MNAM=BMAP=BNMN垂直平分线段ABD./ANM=ZBNM知识点2轴对称及其性质B'关于直线MN成轴对称的是（B）如图，B'关于直线MN成轴对称的是（B）D.BO=B'O知识点3D.BO=B'O知识点3画轴对称图形如图所示，已知△ABC和直线MN.求作：△A'B'C',使厶A ABC关于直线MN对称.（不要求写作法，只保留作图痕迹）解：如图所示.知识点4轴对称的应用如图所示,MN是线段AB的垂直平分线，点C在MN夕卜，且与点A在MN的同一侧，BC交MN于点P,则（C）BC>PC+APBCvPC+APBC=PC+APD.BC>PC+AP如图，村庄A,B位于一条小河的两侧，若河岸a,b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥 CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？解：略.02中档题如图，在直角△ACB中，/ACB=90°,在AC边上的B'处，则/ADB等于（D）25° B.30° C.,D是,D是AB上一点，将直角△ABC沿CD折叠，使B点落经桌边反弹最后进入球洞的序号是( A)① B.② C.⑤ D.⑥如图，正方形ABCD的边长为4cm,则图中阴影部分的面积为8cm2.第11题图如图所示，直线I是四边形ABCD的对称轴，AD//BC,现给出下列结论：①AB//CD•，②ABBC;④AO=OC,其中正确的结论是①②④.(填序号)在4X4的方格中，有五个同样大小的正方形如图所示摆放 ，移动其中一个正方形到空白方格中BC:③BC:③AB丄,与其余四个解：如图所示:连结连结P1P2,分如图，P是/AOB内任一点，以OA,OB为对称轴分别画出点P经轴对称变换后的点Pi,P2,别与OA,OB相交于点C,D.若PiP2=8cm,求厶PCD的周长.解：根据轴对称变换的性质，可知PC=PiC,PD=P2D,•••△PCD的周长为PC+CD+PD=PQ+CD+P2D=PiP2=8cm.03综合题沿着DE折叠如图，在折纸活动中，小明制作了一张厶ABC纸片，点D、E分别在边AB、AC上，将厶ABC压平，A'与沿着DE折叠若/A=75°,则/1+Z2=150°;若/A=n°,则/1+Z2=2n°;由(1)(2)探索/A与/1+Z2之间的数量关系，并说明理由.解：/1+Z2=2/A.理由如下：•••/AED=ZAED/ADE=ZADE又•••/AED+ZAEDbZ1=180°,/ADE+ZADE+Z2=180°•••/1+Z2+2(/AED+ZADE)=360°•••/1+Z2+2(180°—/A)=360°•••/1+Z2=2/A.2.2等腰三角形01基础题知识点1等腰（等边）三角形及相关概念1.若厶ABC的三边a,b,c满足关系式（a—b）2+（b—c）2=0,则厶ABC是（C）等腰三角形B等腰三角形B•直角三角形C.C.等边三角形D.锐角三角形2.2.等腰三角形的周长是16,底边长是4,则它的腰长是（B）4 B.6C.7 D.8如图，在厶ACD中，若AD=DC,则腰是AD,DC,底角是/DAC,/DCA;若AB=BD=BC,则图中除了△ABC是等腰三角形外，还有△ABD,△BCD是等腰三角形.如图，等边△ABC的边长如图所示,那么y=3.在活动课上，小红已有两根长分别为4cm,8cm的小木棒，她打算拼一个等腰三角形，则小红应取的第三根小木棒的长是8cm.如图所示,在厶ABC中，AB=AC,D是AC上一点，AD=BD=BC,则图中有几个等腰三角形？分别指出它们的顶角、底角、腰和底边.解：有三个等腰三角形，它们分别是△ABC,△DAB,△BCD.在厶ABC在厶ABC中，AB和AC是腰，BC是底边，在厶DAB中，AD和BD是腰，AB是底边，/A是顶角，/ABC和/ACB是底角；/ADB是顶角，/DAB和/ABD是底角;在厶BCD在厶BCD中，BC和BD是腰，CD是底边，/CBD是顶角，/BCD和/BDC是底角.知识点2等腰（等边）三角形的轴对称性等腰三角形的对称轴是（D）顶角的平分线底边上的高底边上的中线D.底边的垂直平分线所在的直线（嘉兴期末）等腰三角形的对称轴有（D）A.1条 B.2条C.3条 D.1条或3条在等边三角形、角、正方形这三个图形中 ，对称轴最多的是 ,有4条对称轴，最少的是,有1条对称轴，剩下的图形有3条对称轴.1010.已知：如图，在厶ABC中，/C=90°解：如图所示.知识点3等腰三角形的作图如图，已知线段a,b,请用直尺和圆规作出一个以线段a长为腰，线段b长为底的等腰三角形.解：图略.02中档题（萧山区期中）已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分成 9cm和12cm两部分，则等腰三角形的底边长为（D）9cm B.5cmC.6cm或5cm D.5cm或9cm（莱芜中考）已知△ABC中，AB=6,AC=8,BC=11,任作一条直线将厶ABC分成两个三角形，若其中有一个三角形是等腰三角形，则这样的直线最多有（C）A.3条 B.5条C.7条 D.8条在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A,B是两格点，若C也是图中的格点，且使得厶ABC为等腰三角形，则点C的个数是（C）678D.9已知在△ABC中，AB=3,BC=a+2,AC=7•若△ABC为等腰三角形，求这个三角形的周长.解：•••△ABC为等腰三角形，•••a+2=3或a+2=7.a=1或a=5.又•.•当a=1时，AB=3,BC=3,AC=7,此时这三边长不能构成三角形，aH1.•••△ABC的周长为3+7+7=17.如图，已知C为BE上一点，点A,D分别在BE两侧，AB//ED,AB=CE,BC=ED.问：△ADC是等腰三角形吗？请说明理由.解：△ADC是等腰三角形，理由如下:•/AB//ED,•••/B=ZE.在厶ABC和厶CED中，•AB=CE,丿/B=ZE,BC=ED,△ABC◎△CED(SAS).AC=CD.△ADC是等腰三角形.03综合题如图，在厶ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D,交边AB于点丘若厶EDC的周长为24,△ABC与四边形AEDC的周长之差为12,求线段DE的长.解：•••DE是BC边上的垂直平分线,BE=CE,BD=CD.•/△EDC的周长为24,ED+DC+EC=24.①•••△ABC与四边形AEDC的周长之差为12,(AB+AC+BC)—(AE+ED+DC+AC)=(AB+AC+BC)—(AE+DC+AC)—DE=12.BE+BD—DE=12.②•/BE=CE,BD=DC,•①一②，得DE=6.2.3 等腰三角形的性质定理第1课时 等腰三角形性质定理 1及其推论0101基础题知识点1在同一个三角形中在厶ABC中，AB=AC,A.2.知识点1在同一个三角形中在厶ABC中，AB=AC,A.2.A.3.A.,等边对等角/B=40°,则/C=(A)D.100°或40°50°,那么它的顶角为(D)D.80°40° B.70° C.100如果等腰三角形的底角为50° B.（南宁中考）如图，在厶ABC中，AB=AD=DC,/B=70°,则/C的度数为（A）35°60° C.70°B.4.（湘西中考）36在厶ABC中，AB=AC,A.5.如图如图，等腰△ABCB.60°C.72°/A=40°,则厶ABCD.108的外角/BCD=110°.如图如图第6题图AB//CD,CP交AB于点O,AO=PO,若/C=50°,则/A=25度.在厶ABC中，AB=AC,D是厶ABC内一点，且BD=CD.求证：/ABD=ZACD.•/AB=AC,证明：•••/ABC=ZACB.•/BD•/BD=CD,•••/DBC=ZDCB.•••/ABC-ZDBC=ZACB-ZDCB,即/ABD=ZACD.如图，在厶ABC中，AD=BD=BC,若ZDBC=28°,求ZABC和ZC的度数.解：设ZA=x°.IAD=BD,•••/ABD=ZA=x°.•••/BDC=2x°.•/BD=BC,C=ZBDC=2x°.•••/DBC=28°,/BDC+ZC+ZDBC=180°,2x+2x+28=180.-x=38.ZC=76°,ZABC=ZABD+ZDBC=38°+28°=66°.知识点2等边三角形的各个内角都等于 60°等边三角形的两条角平分线所夹的锐角的度数为（C）A.30° B.45° C.60° D.90°如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形 ，则图中Za+ZB的度数是（C）TOC\o"1-5"\h\z180°220°240°300°02中档题如图，在厶ABC中，AB=AC,ZA=30°,DE垂直平分AC,则ZBCD的度数为（D）A.80° B.75° C.65° D.45°第11题图 第12题图如图，ZEAF=15°,AB=BC=CD=DE=EF,则ZDEF等于（C）A.90° B.75°C.60° D.45°三个等边三角形的位置如图所示 ，若Z3=50°,则Z1+Z2=130°.第13题图 第14题图如图,M、N是厶ABC的边BC上的两点,且BM=MN=NC=AM=AN,贝UZBAN=90_.（萧山区期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 36°,则该等腰三角形的底角的度数为 63°或27°如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD,AD与BE相交于点F.求证：△ABE◎△CAD;求/BFD的度数.解：(1)证明：•••△ABC为等边三角形，•••/BAE=ZC=60°,AB=CA.在厶ABE和厶CAD中，AB=CA,/BAE=ZC,AE=CD,•△ABE◎△CAD(SAS).v^ABE◎△CAD,•••/ABE=ZCAD.•••/BFD=ZABE+ZBAD,•••/BFD=ZCAD+ZBAD=ZBAC=60°.03综合题11如图，在厶ABC中，AB=AC,/1=~ZABC,/2=㊁/ACB,BD与CE交于点O,/BOC的大小与/A的111大小有什么关系？若/1=-ZABC,/2=-ZACB,则/BOC与/A的大小有什么关系？若/1=-/ABC,/2=3 3 n1丄ZACB,则ZBOC与ZA的大小有什么关系？解：•••AB=AC,ZABC=ZACB.11•/Z1=?ZABC,Z2=?ZACB,ZBOC=180°—(Z1+Z2)1=180°—2(ZABC+ZACB)1=180°—一(180°—ZA)2=90。+1zA.1 1当Z1=3ZABC,Z2=3ZACB时,3 3ZBOC=180°—(Z1+Z2)1=180°—3(/ABC+ZACB)31=180°—丄(180°—/A)31=120°+丄/A.31 1当/1=/ABC,/2=/ACB时,n n/BOC=180°—(/1+/2)1=180°—-(/ABC+/ACB)n1=180°—1(180°—/A)nn—1 o1= 'X180°+一/A.n n第2第2课时微课堂等腰三角形性质定理201基础题知识点1等腰三角形的“三线合一1.如图，在厶ABC1.如图，在厶ABC中,AB=AC,AD丄BC,F列结论中不正确的是（A)AB=2BDB.B.AD平分ZBACD.BD=CD2.2.如图，在厶ABC中，AB=AC,D为BC中点，ZBAD=35°,则ZBAC的度数为（D）35° 35° B.45C.55° D.70°如图是人字形屋架的设计图，由AB,AC,BC,AD四根钢条焊接而成，其中A,B,C,D均为焊接点，且AB=AC,D为BC的中点，现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出BC的中点，如果焊接工身边只有检验直角的角尺，那么为了准确快速地焊接，他首先应取的两根钢条及焊接点是（ D）AB和BC及焊接点BAB和AC及焊接点AAB和AD及焊接点AD.AD和BC及焊接点D如图，在厶ABC如图，在厶ABC中，AB=AC,AD平分ZBAC,若CD=4,贝UBC=8.第4题图第5题图如图，△ABC是等边三角形，AD丄BC,DE丄AC,若AB=8,贝UBD=4,ZCDE=30°.（北京中考）如图，在厶ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线，BE丄AC于点E.求证：ZCBE=ZBAD.证明：•••AB=AC,•••△ABC是等腰三角形.•/AD是BC边上的中线，AD丄BC,ZBAD=ZCAD.ZCAD+ZC=90°.•/BE丄AC,•••/CBE+ZC=90°:丄CBE=ZCAD.•••/CBE=ZBAD.如图，在等腰△ABC中，AB=AC,AD是BC边上的中线，/ABC的平分线BG分别交AD,AC于点E,G,EF丄AB,垂足为F,求证：EF=ED.证明：•••AB=AC,AD是BC边上的中线，•AD丄BC.•/BG平分/ABC,EF±AB,ED丄BC,•EF=ED.知识点2用尺规作等腰三角形已知：线段a,b,求作：△ABC,使AC=CB=a,△ABC的高为b.解：图略.02中档题如图所示,在厶ABC中，AB=AC,E在CA延长线上，AE=AF,AD是高，试判断EF与BC的位置关系，并说明理由.解：垂直.理由：•••在△ABC中，AB=AC,AD是高，/BAD=ZCAD.•/AE=AF,/E=ZEFA.•••/BAC=ZE+ZEFA=2/EFA,/EFA=ZBAD.EF//AD.•/AD丄BC,EF±BC.故EF与BC的位置关系为垂直.（上城区期中）如图，△ABC是等边三角形，BD丄AC,AE丄BC,垂足分别为D、E,AE、BD相交于点O,连结DE.判断△CDE的形状，并说明理由.若AO=12,求0E的长.解：解：(〔)△CDE是等边三角形•理由：•••△11•••/C=11•••/C=60°,CE=2BC,CD=2AC.•/BC=AC,CD=CE,△CDE是等边三角形.(2)由(1)知AE、BD分别是△ABC的中线，AO=20E.•/A0=12,0E=6.在厶ABC中，AB=AC.如图1,若/BAD=30°,AD是BC上的高，AD=AE,则/EDC=15°;如图2,若/BAD=40°,AD是BC上的高，AD=AE,则/EDC=20°;思考：通过以上两题，你发现/BAD与/EDC之间有什么关系？并给予证明.1解：/1解：/BAD=2/EDC(或/EDC=-/BAD).2理由如下：•/AD=AE,/AED=ZADE.•/AB=AC,/B=ZC.•••/AED=ZCDE+ZC,/ADC=ZB+ZBAD,/B+ZBAD=ZCDE+ZC+ZCDE,即/BAD=2/CDE.03综合题如图所示，△ABC中，AB=BC,DE丄AB于点E,DF丄BC于点D,交AC于F.若/AFD=155°，求/A的度数；1若点F是AC的中点，求证：/CFD=寸/B.解：(1)vZAFD=155°,•••/DFC=25°.•/DF丄BC,•••/FDC=90°.•••/C=90°—25°=65°.•/AB=BC,A=ZC=65°.(2)证明：连结BF.•••AB=BC,且点F是AC的中点，1BF丄AC,/ABF=ZCBF=丄/ABC.2•••/CFD+ZBFD=90°,/CBF+ZBFD=90•••/CFD=ZCBF.1•••/CFD=-ZABC.22.4 等腰三角形的判定定理01基础题知识点1在同一个三角形中，等角对等边在厶ABC中，其两个内角如下，则能判定厶ABC为等腰三角形的是（B）/A=50°,/B=60°/A=30°,/B=75°/A=20°,/B=100°D./A=40°,/B=60°如果一个三角形的一内角平分线与对边垂直 ，那么这个三角形一定是（A）A.等腰三角形 B•锐角三角形C.直角三角形 D•钝角三角形（永嘉县校级期中） 如图，在厶ABC中，/ABC和/ACB的平分线交于点F,过点F作EG//BC分别交AB、AC于点E、G,若BE+CG=18,则线段EG的长为（C）A.16B.17C.18D.19在厶ABC中，/A=100°,当/B=40°时，△ABC是等腰三角形.如图，在厶ABC中，AB=AC,DE//BC,交AB于点D,交AC于点E,△ADE也是等腰三角形吗？为什么?解：△ADE是等腰三角形.理由：•/AB=AC,•••/B=ZC.又•••DE//BC,•••/ADE=ZB,/AED=ZC.•••/ADE=ZAED.•AD=AE.ADE是等腰三角形.（襄阳中考）如图，在厶ABC中，点D,E分别在边AC,AB上,BD与CE交于点O,给出下列三个条件：①/EBO=ZDCO:②BE=CD:③OB=OC.（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）（2） 请选择（1）中的一种情形，写出证明过程.解：(1)①②；①③.(2)选①③，证明如下：•••OB=OC,•••/OBC=ZOCB.•••/EBO=ZDCO,且/ABC=ZEBO+ZOBC,/ACB=ZDCO+ZOCB,

:丄ABC=ZACB.•••AB=AC.•••△ABC是等腰三角形.知识点2等边三角形的判定定理在厶ABC中：①若AB=BC=CA,则厶ABC为等边三角形；②若/A=ZB=ZC,则厶ABC为等边三角形;③有两个角都是60°的三角形是等边三角形；④一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.上述结论中正确的有（D）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个已知△ABC中，/A=ZB=60°，且AB=10cm,贝UBC=10cm.（绍兴中考）由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作•小敏设计了一种衣架 ,在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可，如图1,衣架杆0A=OB=18cm,若衣架收拢时，/AOB=60°,如图2,则此时A,B两点之间的距离是18cm.如图所示，锐角△ABC中，/A=60°,它的两条高BD,CE相交于点0,且OB=0C,求证：△ABC是等边三角形.证明：在厶EOB和厶DOC中，•••/OEB=ZODC=90°,/EOB=ZDOC,OB=OC,•••△EOB◎△DOC.•••/EBO=ZDCO.•/OB=OC,•••/OBC=ZOCB.•••/EBC=ZDCB.•AB=AC.又•••/A=60°,ABC是等边三角形.02中档题,AB=AC,BD是厶ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=（陕西中考）如图，在厶ABC,AB=AC,BD是厶ABC的角平分线.若在边AB上截取BE=TOC\o"1-5"\h\z2个3个4个D.5个已知/AOB=30°，点P在/AOB内部，P1与P关于OB对称，P?与P关于OA对称，贝VR,O,P2三点所构成的三角形是（D）A.直角三角形 B.钝角三角形

C.等腰三角形 D•等边三角形已知，如图，延长△ABC的各边，使得BF=AC,AE=CD=AB，顺次连结D,E,F,得到△DEF为等边三角形.求证：(AEF◎△CDE;AABC为等边三角形.证明：(1)vBF=AC,AB=AE,•••FA=EC.•••△DEF是等边三角形，EF=DE.又•••AE=CD,△AEF◎△CDE(SSS•(2)v^AEF◎△CDE,•••/FEA=ZEDC.•••/BCA=ZEDC+ZDEC=ZFEA+ZDEC=ZDEF=60°同理可证/BAC=60°.△ABC是等边三角形.如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P,Q同时从A,B两点出发，分别沿AB,BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点Q到达点C时，P,Q两点都停止运动.设运动时间为ts,当t=2时，判断△BPQ的形状，并说明理由.解：△BPQ是等边三角形.理由：当t=2时，AP=2X1=2(cm),BQ=2X2=4(cm),BP=AB—AP=6-2=4(cm).BQ=BP.又•••/B=60°,△BPQ是等边三角形.03综合题(江山期末)课本中有一探究活动：如图1,有甲、乙两个三角形，甲三角形内角分别为10°,20°,150°;乙三角形内角分别为80°,25°,75°.你能把每一个三角形分成两个等腰三角形吗？画一画，并标出每个等腰三角形顶角的度数.

(1)小明按要求画出了图1中甲图的分割线，请你帮他作出图1中乙图的分割线;(2)小明进一步探究发现：能将一个顶角为108。的等腰三角形分成三个等腰三角形.请在图2中用两种不同的方法画出分割线，并标注每个等腰三角形顶角的度数.(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种方法)解：(1)按要求作图如图:2.5逆命题和逆定理01基础题知识点1命题与逆命题下列命题的逆命题为真命题的是(C)如果a=b,那么a2=b2平行四边形是中心对称图形两组对角分别相等的四边形是平行四边形D.内错角相等(萧山区期中)写出“对顶角相等”的逆命题相等的角是对顶角.写出下列命题的逆命题，并判断其真假性.命题：“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题为：有两个 ,是真命题；命题：“在三角形中有两个角是锐角 ，则另一个角一定是钝角”的逆命题为：在一个三角形中有一个角是钝角，则另两个角一定是锐角，是真命题；命题：“质数都是奇数”的逆命题为：所有的奇数都是质数 ，是假命题；命题：“绝对值相等的两个数一定是相反数”的逆命题为：互为相 ,是真命题； _命题：“全等三角形的对应边相等”的逆命题为：对应边 ,是真命题.已知命题“若a>b,则a2>b2”.此命题是真命题还是假命题？若是真命题 ，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例；写出此命题的逆命题,并判断逆命题的真假.若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个反例.解：(1)假命题.反例：a=2,b=—3,有a>b,但a2vb2.(2)逆命题：若a2>b2,则a>b.假命题，反例：a=—3,b=—2.知识点2定理与逆定理下列定理中，有逆定理的是(D)四边形的内角和等于360°同角的余角相等全等三角形的对应角相等D.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等如果一个定理的逆命题能被证明是真命题 ,那么就叫它是原定理的逆定理 ，这两个定理叫做互逆定理.知识点3线段垂直平分线的性质定理的逆定理如图，AC=AD,BC=BD,则有(A)AB垂直平分CDCD垂直平分ABAB与CD互相垂直平分D.CD平分/ACB如图，△ABC中，边AB,BC的垂直平分线交于点P.求证：PA=PB=PC；点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论?解：(1证明：•••点P是AB,BC的垂直平分线的交点•••PA=PB,PB=PC.PA=PB=PC.(2)点P在边AC的垂直平分线上，结论：三角形三边的垂直平分线相交于一点.02中档题写出符合下列条件的一个原命题：(1)原命题和逆命题都是真命题；原命题是假命题，但逆命题是真命题；原命题是真命题，但逆命题是假命题；原命题和逆命题都是假命题.解：答案不唯一，女口：原命题：若a>1,则一a<—1;逆命题：若一a<—1,贝Ua>1.原命题：若a+b>0,贝Ua>0,b>0;逆命题：若a>0,b>0,则a+b>0.原命题：若a>0,b>0,贝Ua+b>0;逆命题：若a+b>0,则a>0,b>0.原命题：若a=1,b=2,贝Ua+b=4;逆命题：若a+b=4,贝Ua=1,b=2.如图，点D,E在厶ABC的边BC上，连结AD,AE.①AB=AC:②AD=AE:③BD=CE•以此三个等式中的两个作为命题的条件，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②？③；①③？②；②③？①•以上三个命题是真命题的为①② ？③，①③？②，②③？①;(直接作答)请选择一个真命题进行证明. (先写出所选命题，然后证明)解：选择①③？②.证明：•••AB=AC,•••/B=ZC.在厶ABD和厶ACE中,■pAB=AC,/B=ZC,BD=CE,△ABD◎△ACE.AD=AE.如图，AF平分/BAC,P是AF上任意一点，过P向AB、AC作垂线PD、PE,D、E分别为垂足，连结DE.求证：AF垂直平分DE.证明：•••AF平分/BAC证明：•••AF平分/BAC,PD丄AB,PE丄AC,•••/BAF=ZCAF,/ADP=ZAEP=90°,DP=EP.•••△ADP◎△AEP.•AD=AE.•••点A、P在DE的垂直平分线上，即AF垂直平分DE.03综合题如图，四边形ABCD中，AD//BC,E是CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F.求证：CF=AD;(2(2)若AD=2,AB=8,当BC的长为多少时解：(1)证明：TAD//BC,•••/ADC=ZFCE.•••E是CD的中点，•DE=CE.在厶ADE和厶FCE中,•••/ADC=ZFCE,DE=CE,/AED=ZFEC,•△ADE也厶FCE(ASA).•CF=AD.当BC=6时，点B在线段AF的垂直平分线上理由如下：•/AD=2,CF=AD,•CF=2.BF=BC+CF=6+2=8.AB=BF.•••点B在AF的垂直平分线上.2.6直角三角形第1课时 直角三角形的性质01基础题知识点1直角三角形的两个锐角互余1.F列性质中，直角三角形具有而等腰三角形不一定具有的是（ C）A.B.两边之和大于第三边有一个角的平分线垂直于这个角的对边有两个锐角的和等于 90°内角和等于180°2.C.D.如图，AD是RtAABC的斜边BC上的高，则图中与/A.1个 B.2个C.3个 D.4个B互余的角有（B）3.第3题图,DE过点C,且DE//AB,若/ACD=50°,则/B的度数是（B）4.5.数.如图，RtAABC中，/ACB=90°A.50° B.40C.30° D.25°直角三角形两锐角的平分线相交得到的钝角为（ B）A.150° B.135°C.120° D.120°或135°如图所示,在厶ABC中，/A=60°,BD,CE分别是AC,AB上的高，H是BD,CE的交点，求/BHC的度解：•••BD,CE分别是AC,AB上的高，•/•/ADB=ZBEH=90°.ABD=90°—/A=90°—60°=30°.BHE=90°—/ABD=60°.BHC=180°—/BHE=120°.知识点2直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（北京中考）如图，公路AC,BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AM的长为1.2km,M,C两点间的距离为（D）6.则A.0.5kmB.0.6kmC.0.9kmD.1.2km在Rt△ABC中A.CD=2AB,CD是斜边AB上的中线，则以下判断正确的是（D）1C.CD=2BC D.CD=AD=BD如图，在厶ABC中，/B=ZC,AD是中线，E为AB的中点，AC=6,贝UDE=(B)2 B.3C.4 D.6第8题图 第9题图如图所示,PA丄OA,PB丄OB,垂足分别是A和B,点D是0P的中点，贝UDA与DB的长度关系是相等.02中档题如图，在RtAABC中，/B=90°,ED是AC的垂直平分线，交AC于点D,交BC于点E,已知/BAE=30°,则/C的度数为(C)A.50°B.60°C.30°D.40°如图，在RtAABC中，/ACB=90°,/A=50°,将其折叠，使点A落在边CB上的A'处，折痕为CD,则/ADB=(D)A.40° B.30° C.20° D.10°如图，BE、CF分别是△ABC的高，M为BC的中点，EF=5,BC=8,则厶EFM的周长是(D)A.21B.18C.15D.13如图，在厶MNP中，/MNP=45°,H是厶MNP的高MQ和高NR的交点.求证：HN=PM.证明：•/MQ丄PN,/MNP=45°,/•MQ=NQ.•••/HMR+ZMHR=ZQNH+ZQHN=90°,/MHR=ZQHN,•••/HMR=ZQNH.在厶MQP和厶NQH中,ZMQP=ZNQH=90°,MQ=NQ,ZHMR=ZQNH,△MQP◎△NQH(ASA).HN=PM.(萧山区期中)如图，在厶ABC中，点D在边AC上，BD=BA，点E是AD的中点，点F是BC的中点.1求证：EF=2BC;过点C作CG//EF,交BE的延长线于G,求证：△BCG是等腰三角形.证明：(1)vBD=BA,E是AD的中点，BE丄AD.△EBC为直角三角形.•••F是BC的中点，EF是直角三角形斜边上的中线.EF=2bc.(2)vCG//EF,ZG=ZFEB.1TEF=2BC=BF,ZFEB=ZCBE.ZG=ZCBE.GC=BC.•△BCG是等腰三角形.03综合题如图所示，一根长2a的木棍（AB）,斜靠在与地面（0M）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行.（1）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由；（2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值.解：(1不变.理由：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，因为斜边AB不变，所以斜边上的中线0P不变.(2)当厶AOB的斜边上的高h等于中线0P时，△AOB的面积最大.理由：若h与0P不相等，则总有h<OP,故根据三角形面积公式，当h与0P相等时，△AOB的面积最大.此时112S^aob=qAB•h=2x2aa=a,所以△AOB的最大面积为a2.第2课时直角三角形的判定01基础题知识点有两个角互余的三角形是直角三角形已知/A=37°,/B=53°,则厶ABC为（C）锐角三角形钝角三角形直角三角形D.以上都有可能（温州八中月考）在下列条件：①/A+ZB=ZC;②/A:/B:/C=2:3:4;③/A=90°—/B;④/A1=/B=2/C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（C）A.1个 B.2个C.3个 D.4个把等边△ABC的边AB延长一倍到点D,则厶ADC是（D）等腰三角形等边三角形等腰直角三角形D.直角三角形如图，△ABC中，CD是AB边上的高，若2/ACB=3/B=6/A,则/BCD=30°.如图，点E是厶ABC中AC边上的一点，过E作ED丄AB,垂足为D.若/1=/2,则厶ABC是直角三角形吗?为什么？解：△ABC是直角三角形.理由如下：TED丄AB,•••/ADE=90°.•••/1+/A=90°.又•••/1=/2,/2+/A=90°.△ABC是直角三角形.如图，已知AB//CD,/BEF与/DFE的平分线相交于点G,△EFG是直角三角形吗？请说明理由.解：是.理由：•••AB//CD,•/BEF+/DFE=180又•••EG、FG为角平分线,1 1•••/FEG=—/BEF,/EFG=-ZDFE.2 2•••/FEG+ZEFG=90°.•△EFG是直角三角形.02中档题如图，等腰RtAOAB中，/AOB=90°,等腰RtAEOF中，/EOF=90°,连结AE,BF.求证:AE=BF;AE丄BF.证明：(1)：公OAB与厶EOF是等腰直角三角形，AO=BO,OE=OF,/AOE=90°—/BOE=ZBOF.△AEO◎△BFO.AE=BF.(2)延长AE交BF于D,交OB于C,则/BCD=/ACO,由(1)知，/OAC=/OBF,•••/BCD+/OBF=90°.•••/ADB=90°.AE丄BF.如图，在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC,AD=AE,且/B=/ADE.1如图1,当点D为BC中点时，求证：/EDC=1/BAC;如图2,连结CE,当EC丄BC时，求证：△ABC为等腰直角三角形.证明：(1)v点D为BC中点，AB=AC,1•AD丄BC,/BAD=-/BAC.2•••/ADB=/ADC=90°.•••/BAD+/B=90°,/ADE+/EDC=90°又•••/B=/ADE,1•••/EDC=/BAD=-/BAC.(2)vAB=AC,AD=AE,/B=/ADE,:丄BAC=ZDAE.•••/BAC=ZBAD+ZDAC,/DAE=ZDAC+ZCAE,•••/BAD=ZCAE.<AB=AC,在厶BAD和厶CAE中，丿/BAD=ZCAE,.AD=AE,△BAD◎△CAE(SAS).•••/B=ZACE=ZACB.•/EC丄BC,•••/ACB=ZACE=45°,/B=45°.△ABC为等腰直角三角形.如图所示,在厶ABC中，/BAC=2/B,AB=2AC.求证：△ABC是直角三角形.证明：作线段AB的垂直平分线，垂足为D,且与BC相交于点E,连结AE.11二AD=2AB=2X2AC=AC,EA=EB.•••/B=ZEAD.•••/BAC=2/B,/EAD+ZEAC=ZBAC,•••/EAC=ZEAD.在厶AEC和厶AED中，•/AE=AE,/EAC=ZEAD,AC=AD,△AEC◎△AED.•••/C=ZEDA=90°.△ABC是直角三角形.03综合题已知：△ABC中，/A=90°,AB=AC,D为BC的中点.如图，E,F分别是AB,AC上的点，且BE=AF,求证：△DEF为等腰直角三角形；若E,F分别为AB,CA延长线上的点，仍有BE=AF,其他条件不变，那么，△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论.解：(1)证明：连结AD,•/AB=AC,/BAC=90°,D为BC的中点，AD丄BC,BD=AD.•••/B=ZDAC=45°.又•••BE=AF,•••△BDE◎△ADF(SAS).ED=FD,/BDE=ZADF.•••/EDF=ZEDA+ZADF=ZEDA+ZBDE=ZBDA=90°•••△DEF为等腰直角三角形.(2)ADEF仍为等腰直角三角形.证明：连结AD,•/AB=AC,△ABC为等腰三角形.•••/BAC=90°,D为BC的中点，AD=BD,AD丄BC.•••/DAC=ZABD=45°.•••/DAF=ZDBE=135°.又•••AF=BE,△DAF◎△DBE(SAS).FD=ED,/FDA=ZEDB.•••/EDF=ZEDB+ZFDB=ZFDA+ZFDB=ZADB=90°△DEF仍为等腰直角三角形.2.72.7探索勾股定理第1课时探索勾股定理01基础题知识点1勾股定理1.在RtAABC1.在RtAABC中，A.18cmC.8cm2.在RtAABCA.18C.6中，/A=90°,a=13cm,b=5cm,则第三边c为(B)B.12cmD.6cm斜边长BC=3,AB2+AC2+BC2的值为(A)B.9D•无法计算（萧山区期中）我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25,小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是 a和b,那么ab的值为（C）TOC\o"1-5"\h\z492512D.1在厶ABC中，/C=90°,/A、/B、/C的对边分别是a、b、c.若b=2,c=3,求a的值；若a:c=3:5,b=32,求a、c的值.解：(1)va2+b2=c2,a=；c2—b2=・J5.(2)设a=3x,c=5x,222a2+b2=c2,•••(3x)2+322=(5x)2.解得x=8.•a=24,c=40.知识点2在数轴上表示无理数如图，长方形ABCD中，AB=3,AD=1,AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M,则点M表示的数为（C）TOC\o"1-5"\h\z2.5—1.10—15知识点3勾股定理的实际应用（杭州期中）如图是某地的长方形大理石广场示意图 ，如果小琴从A角走到C角，至少走（B）90米 B.100米C.120米 D.140米

如果梯子的底端离建筑物 9m,那么10m B.11mC.12m D.13m如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径” ，在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了4步路（假设2步为1米）,却踩伤了花草.《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过 70km/h•如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方 30m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m.这辆小汽车超速了吗？解：这辆小汽车超速了.依题意得AB=50m,AC=30m,由勾股定理，得BC=AB2-AC2= 502-302=40（m）.小汽车速度为40吃=20（m/s）=72（km/h）.•••小汽车在城市道路上行驶速度不得超过 70km/h,a这辆小汽车超速了.0210.中档题（丽水岭头中学月考）A.5C..70210.中档题（丽水岭头中学月考）A.5C..7已知直角三角形的两条边的长为B.4D.3和4,则第三条边的长为（D）（杭州期中）如图，△ABC则厶ACD的周长为（B）A.16C.205或.7中，/C=90°,AB的中垂线DE交AB于E,交BC于D,若AB=10,AC=6,B.D.1418将一根长24cm的筷子，置于底面直径为15cm,高8cm的圆柱形水杯中，如图所示,设筷子露在杯子外面的长度为hcm,则h的取值范围是（D）h<17cmh>8cm15cmwh<16cmD.7cm<h<16cm如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形 ，所有的三角形都是直角三角形 ，若正方形A、B、C、D的边长分别是3,5,2,3,则最大的正方形E的面积是（C）TOC\o"1-5"\h\z132647D.94（杭州下城区校级期中） 如图，在RtAABC中，/ACB=90°.（1） 用尺规在边BC上求作一点P,使PA=PB（不写作法，保留作图痕迹）（2） 连结AP,若AC=4,BC=8时，试求点P到AC边的距离.解：（1）如图，点P为所作.(2)设BP=x,贝UAP=x,PC=BC—BP=8-x,在RtAACP中，•/PC2+AC2=AP2,•••(8—x)2+42=x2,解得x=5.•••PC=3,即点P到AC的距离为3.为了向建国六十八周年献礼，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动 ，八年级（1）班开展了手工制作竞赛每个同学都在规定时间内完成一件手工作品•陈莉同学在制作手工作品的第一、二个步骤是：先裁下了一张长BC=20cm,宽AB=16cm的长方形纸片ABCD;将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的F处.请你根据①②步骤解答下列问题：求EC,FC的长.解：因ADE与厶AFE关于AE对称，所以△ADE◎△AFE.所以DE=FE,AD=AF.因为BC=20cm,AB=16cm,所以CD=16cm,AD=AF=20cm.在Rt△ABF中，由勾股定理，得BF=12cm.所以FC=20—12=8(cm).设CE=x,贝UDE=EF=16—x,在Rt△CEF中，由勾股定理，得(16—x)2=82+X2解得x=6.所以EC=6cm.

03综合题（萧山区期中）如图，在四边形ABCD中，AD//BC,DE丄BC,垂足为点E,连结AC交DE于点F，点G为AFAF的中点，/ACD=2/ACB.若DG=3,TOC\o"1-5"\h\z2.3.102.26

第2课时探索勾股定理的逆定理01基础题知识点勾股定理的逆定理1.在厶ABC中，AB=8,AC=15,BC=17,则该三角形为（B）A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形DC.钝角三角形D.等腰直角三角形2.（下城区校级期中）以下列各数为边长,不能组成直角三角形的是（A.7,23,25 B.8,15,17C.9,40,41 D.3,6,3.3下列各组数中，可以构成勾股数的是(D)A.13,16,19 B.17,21,23C.18,24,36 D.12,35,37如图，每个小正方形的边长为 1,A,B,C是小正方形的顶点，则ZABC的度数为（C）TOC\o"1-5"\h\z90°60°45°D.30°在厶ABC中，AB2=(a+b)2,AC2=(a—b)2,BC2=4ab,且a>b>0,则(C)/A=90° B.ZB=90°C./C=90° D.ZC工90°下列命题中，是假命题的是(C)在厶ABC中，若ZB=ZC+ZA,则厶ABC是直角三角形在厶ABC中，若a2=(b+c)(b—c),则厶ABC是直角三角形在厶ABC中，若ZA:ZB:ZC=3:4:5,则厶ABC是直角三角形D.在厶ABC中，若a:b:c=5:4:3,则厶ABC是直角三角形13如图，已知△ABC中，AB=5cm,BC=12cm,AC=13cm,那么AC边上的中线BD的长为—cm.第7题图 第8题图如图，在厶ABC中，以厶ABC各边为边在△ABC外作正方形，Si,S2,S3分别表示这三个正方形的面积，已知Si=81,S2=144,S3=225,则厶ABC是直角三角形.已知：在厶ABC中，ZA、ZB、ZC的对边分别是a、b、c,三边分别为下列长度，判断该三角形是不是直角三角形，并指出哪一个角是直角.（1） a=5,b=7,c=9;（2） a=2,b=\/3,c=-解：（1）不是.（2）是，ZC是直角.

9如图，在厶ABC中，CD丄AB于点D,AC=4,BC=3,DB=5.求CD,AD的值；判断△ABC的形状，并说明理由.解：(1)vCD丄AB,•••△CDB,△CAD为直角三角形.在Rt在RtACDB中，CD2=CB2—BD214412•CD=12在RtA在RtACAD中,AD2=AC2—CD2=256

"25.16•AD=T.(2)AABC为直角三角形.16 9理由：tAD==,BD=9,5 5AB=AD+BD=5.AC2+BC2=42+32=25=52=AB2.•••根据勾股定理的逆定理，得△ABC为直角三角形.02中档题1111.如图，ADABC的中线，且AB=13,A.10B.11C.12D.1312.五根小木棒，其长度分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形 ，其中正确的是(C)13.如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB13.如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是(B)A.CD、EF、GHAB、EF、GHAB、CD、GHD.AB、CD、EF已知两条线段的长为3cm和2cm,当第三条线段的长为..5或..13cm时，这三条线段能组成一个直角三角形.(丽水岭头中学月考) 如图所示的一块地，/ADC=90°,AD=4m,CD=3m,AB=13m,BC=12m,求这块地的面积.解：连结AC,•••/ADC=90°,AD=4,CD=3,•••AC2=AD2+CD2=42+32=25.又•••AC>0,AC=5.又•••BC=12,AB=13,AC2+BC2=52+122=169.又•••AB2=169,AC2+BC2=AB2./ACB=90°.S四边形abcd=S^abc一Ssdc=30—6=24(m2).03综合题(萧山区期中)如图，P是等边△ABC内的一点，连结PA,PB,PC,以BP为边作/PBQ=60°,且BP=BQ,连结CQ.观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由.若PA=3,PB=4,PC=5,连结PQ,判断△PQC的形状并说明理由.解：(1)AP=CQ.理由如下：•••/ABP+ZCBP=60°,/CBQ+ZCBP=60°,/ABP=ZCBQ.在厶ABP和厶CBQ中，pAB=CB,/ABP=ZCBQ,BP=BQ,△ABP◎△CBQ(SAS).AP=CQ.(2)^PQC为直角三角形•理由如下:•••/PBQ=60°,且BQ=BP,•••△BPQ为等边三角形.pq=PB=4.由（1）知CQ=PA=4.•/PQ2+CQ2=PC2,.△PQC为直角三角形.2.8 直角三角形全等的判定基础题“斜边、直角边” （HL）定理和RtADEF基础题“斜边、直角边” （HL）定理和RtADEF全等的条件可以是B.ZA=ZD,AB=DED.01知识点11.如图，用Hl”A.AC=DF,C.AC=DF,判定RtAABCBC=EFAB=DE(C)2.(萧山区期中)A.SSSC.SSA如图，OD丄AB于点B.ASAD.HL第2题图且OD=OP,则厶AOD与厶AOP全等的理由是（D）3.3.如图，已知AD是厶ABC的BC边上的高，F列能使△ABD◎△ACD的条件是（A）A.AB=ACZBAC=90°BD=ACD.ZB=45°44.如图，AC丄BC,AD丄BD,垂足分别为C、解：RtAABC也Rt△BAD.理由如下：•/AC丄BC,AD丄BD,「•ZC=ZD=90°.在RtAABC和RtABAD中,AB=BA,AC=BD,•••RtAABC也RtABAD(HL).知识点2直角三角形全等的综合判定在RtAABC和RtAA'B'C'中，ZC=ZC'=90°,如图，那么下列各条件中，不能使RtAABC也RtAA'BC'的是（B）AB=A'民5,BC=B'=3AB=B'=5,ZA=ZB'=40c.AC=AG5,BC=B'G3D.AC=A'G5,/A=ZA'=40°如图，AB=AC,CD丄AB于点D,BE丄AC于点E,BE与CD相交于点O,图中有3对全等的直角三角形.如图，在厶ABC中，点D是BC的中点，DE丄AB于点E,DF丄AC于点F,BE=CF.图中有几对全等的三角形？请一一列出；选择一对你认为全等的三角形说明理由.解：(〔)△BDE CDF,△AED◎△AFD,△ABD◎△ACD.(2)vDE丄AB,DF丄AC,•••△BDE和厶CDF是直角三角形.•/D是BC的中点，BD=CD.又•••BE=CF,RtABDE也RtACDF(HL).知识点3角平分线性质定理的逆定理已知：如图，OC是/AOB内部的一条射线,P是射线OC上任意点，PD丄OA,PE丄OB.下列条件：①/AOC=ZBOC:②PD=PE;③OD=OE;④/DPO=ZEPO,能判定OC是/AOB的平分线的有(D)TOC\o"1-5"\h\z1个2个3个D.4个02中档题两个直角三角形中，有一条直角边对应相等.如果斜边上的高对应相等，那么这两个直角三角形全等；如果直角的平分线相等，那么这两个直角三角形全等；如果斜边上的中线对应相等，那么这两个直角三角形全等；如果两个直角三角形都有一个锐角是 30°,那么这两个直角三角形全等.其中正确命题的个数有(C)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个如图，CA丄AB,垂足为点A,AB=8cm,AC=4cm,射线BM丄AB,垂足为点B,一动点E从A点出发以2cm/s的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB,当点E运动0,2,6,8秒时，△DEB与厶BCA全等.如图，RtAABC中，/ACB是直角，D是AB上一点，BD=BC,过D作AB的垂线交AC于点E,求证：CD丄BE.证明：•••DE丄AB,•••/BDE=90°.在RtADEB和RtACEB中，'BD=BC,q.BE=BE,•RtADEB也RtACEB(HL).DE=CE.BE垂直平分DC.BE丄CD.如图，在△ABC中，AB=CB,/ABC=90°,F为AB延长线上一点，点E在BC上,且AE=CF.求证：RtAABE也RtACBF;若/CAE=30°,求/ACF的度数.解：(1)证明：•••/ABC=90°,/ABE=ZCBF=90°.△ABE和厶CBF是直角三角形.•/AB=CB,AE=CF,Rt△ABE也Rt△CBF(HL).(2)vAB=BC,/ABC=90°,•△ABC是等腰直角三角形./BAC=ZBCA=45°./BAE=ZBAC-ZCAE=45°—30°=15•/Rt△ABE也Rt△CBF,ZBCF=ZBAE=15°.ZACF=ZBCF+ZBCA=15°+45°=6003综合题

如图1,A,E,F,C在一条直线上，AE=CF,过点E,F分别作DE丄AC,BF丄AC,且AB=CD.求证：BD平分EF;若将△DEC的边EC沿AC方向移动变为图2，其余的条件不变，上述结论是否成立？请说明理由.解：(1)证明：TBF丄AC,DE丄AC,•••/BFA=ZDEC=90°•/AE=CF,AF=CE.又•••AB=CD,RtAABF也RtACDE(HL).BF=DE.RtABFG也RtADEG(AAS).FG=EG,即BD平分EF.(2)仍成立，理由同(1).章末复习（二） 特殊三角形01基础题知识点1轴对称图形与轴对称下列四个手机APP图标中，是轴对称图形的是（C）A B C D（萧山区期中）下列图案中，是轴对称图形的有（B）⑪㊁曹QAA.1个 B.2个3个 D.4个知识点2等腰三角形的性质与判定3.（丽水岭头中学月考）A.等腰三角形C.等腰直角三角形4.（杭州青春中学期中）A.80°C.80°或20°已知a、b、c是厶ABC的三边长,且满足.c23.（丽水岭头中学月考）A.等腰三角形C.等腰直角三角形4.（杭州青春中学期中）A.80°C.80°或20°B.直角三角形D.等边三角形已知等腰三角形的一个外角等于 100°,则它的顶角是（C）20°D.不能确定5.如图,(1)(2)已知△ABC中，/ACB=120°,CE平分/ACB,AD//5.如图,(1)(2)试找出图中的等边三角形，并说明理由.解：(1)vZACB=120°,CE平分/ACB,1•••/BCE=-ZABC=60°.2(2)^ACD是等边三角形，理由：•••/BCE=60°,AD//EC,ZBCE=ZD=60°.vZACB=120°,ZACD=60°.△ACD是等边三角形.（杭州下城区校级期中） 如图，△ABC中，AB=AC,AE=BC,AC的垂直平分线交AB于E,D为垂足，连结EC.（1） 若CE=12,求BC长；（2） 求ZECD的度数.

解：（1）VED垂直平分AC,•••AE=EC.•/AE=BC,BC=CE=12.（2）vAE=CE=BC,•••/A=ZACE,/B=ZCEB.•/AB=AC,/B=ZACB.•••/BEC=ZA+ZECA=2/A,•设/A=x,则/BEC=ZB=ZACB=2x.5x=180°,x=36°./ECD=ZA=36°.知识点3逆命题与逆定理命题：“平行四边形是中心对称图形”的逆命题为具有中心对称的图形是平行四边形.知识点4直角三角形的性质与判定8.如图，将三角尺与直尺贴在一起,使三角尺的直角顶点C（/ACB=90°）在直尺的一边上，若/2=608.如图，将三角尺与直尺贴在一起,使三角尺的直角顶点C（/ACB=90°）在直尺的一边上，若/2=60/1的度数等于（D）A.75°C.45°B.60°9.如图，在厶ABC中，/ACB=90°,/ABC=60°,BD平分/ABC,P点是BD的中点，若AD=8,则长为（C）CP的A.3 B.3.5C.4 D.4.510.（萧山区期中）命题“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是什么？是真命题还是假命题？若是真命题请你证明，若是假命题请你举反例说明.解：逆命题：有一边的中线等于该边一半的三角形是直角三角形;为真命题；1已知：在厶ABC中，AD是BC边的中线，AD=QBC.求证：△ABC是直角三角形.证明：•••AD是BC边的中线，•BD=CD=2BC.AD=^BC,AD=BD=CD./1=ZB,/2=ZC.

•••/1+Z2=ZB+ZC,即/BAC=ZB+ZC.•/2/BAC=ZBAC+ZB+ZC=180°,•••/BAC=90°.•△ABC是直角三角形.知识点5勾股定理直角三角形的斜边比一直角边长 2cm,另一直角边长为6cm,则它的斜边长为(C)A.4cm B.8cm10cm D.12cm（平阳县校级月考）如图，校园内有两棵树，相距8米，一棵树高AB=13米，另一棵树高CD=7米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端 ，小鸟至少要飞10米.abc（金华月考）已知，在厶ABC中，AB=c,BC=a,AC=b,3=-=5,2c—b=12,求厶ABC的面积.解：•••|=解：•••|=c5,•••设a=Ik,贝Vb=4k,c=5k.•/2c—b=12,.•.10k—4k=12.k=2.a=6,b=8,c=10.•/62+82=102,a2+b2=c2.•△ABC为直角三角形.1△ABC的面积为：2X6X8=24.知识点6直角三角形全等的判定如图，/ACB=/C