2017-2018学年高中数学人教A版浙江专版必修2讲学案3直线平面垂直的判定及其性质

23直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定课课前自主学习，基稳才能楼高预习课本P64〜66,思考并完成以下问题直线与平面垂直的定义是怎样的？.直线与平面垂直的判定定理是什么?.直线与平面所成的角是怎样定义的?.直线与平面所成的角的范围是什么?［新知初探］1.直线与平面垂直的定义自然语言：如果直线l与平面a内的任意一条直线都垂直，就说直线 l与平面a互相垂直，记作I丄a.直线l叫做平面a的垂线，平面a叫做直线I的垂面.直线与平面垂直时，它们惟一的公共点P叫做垂足.图形语言：如图.画直线I与平面a垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.(3)符号语言：任意a?a,都有I丄a?IXa-［点睛］直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情形.注意定义中“任意一条直线”与“所有直线”等同但不可说成“无数条直线直线与平面垂直的判定定理自然语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.⑵图形语言：如图所示.(3)符号语言：a?a,b?a,aAb=P,I丄a,I丄b?I丄a.［点睛］判定定理条件中的“两条相交直线”是关键性词语，此处强调 “相交”，若两条直线平行，则直线与平面不一定垂直.直线与平面所成的角⑴定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.如图，/PAO就是斜线AP与平面a所成的角.⑵当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是 90°.当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是 0(4)线面角0的范围：0°W縫90°［点睛］把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点 P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段.［小试身手］TOC\o"1-5"\h\z1.判断下列命题是否正确.(正确的打错误的打“X” )若直线l垂直于平面a,则I与平面a内的直线可能相交，可能异面，也可能平行()若a//b, a? a,I丄a,贝U I丄b( )若a丄b, b± a,则a// a( )答案：⑴X(2)V(3)X2.直线I与平面a内的两条直线都垂直，则直线 I与平面a的位置关系是( )A.平行 B.垂直D.无法确定C.在平面aD.无法确定解析：选D当平面a内的两条直线相交时，直线内的两直线平行时，I?a或I/a或I与a垂直或I与3.如图，/BCA=90°,PC丄平面ABC，则在△在的直线中：(1)与 PC 垂直的 ?(2) 与 AP 垂 直 的 直 线 有

解析：(1)•/PC丄平面ABC,AB,AC,BC?平面ABC.•••PC丄AB,PC丄AC,PC丄BC.(2)/BCA=90°，即BC丄AC,又BC丄PC,ACnPC=C,「.BC丄平面PAC,•BC丄AP.答案：(1)AB,AC,BC(2)BCim对直线与平面垂直的判定定理的理解课堂讲练设计*举—能通类观［典例］下列说法正确的有 （填序号）.垂直于同一条直线的两条直线平行；如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直；若I与平面a不垂直，则平面a内一定没有直线与I垂直.［解析］因为空间内与一条直线同时垂直的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故①不正确.由线面垂直的定义可得，故②正确.因为这两条直线可能是平行直线，故③不正确.如图，I与a不垂直，但a?a,I丄a,故④不正确.（1） 对于线面垂直的定义要注意 直线垂直于平面内的所有直线"说法与直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交.（2） 判定定理中要注意必须是平面内两相交直线.［活学活用］1.若三条直线OA,OB,OC两两垂直，则直线OA垂直于（ ）A.平面OAB B.平面OACC.平面OBC D.平面ABC解析：选C•/OA丄OB,OA丄OC,OBnOC=O,OB,OC?平面OBC,•OA丄平面OBC.2.如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边.能保证该直线与平面垂直的是 （填序号）.

解析：根据直线与平面垂直的判定定理，平面内这两条直线必须是相交的，①③④中给定的两直线一定相交，能保证直线与平面垂直•而②梯形的两边可能是上、下底边，它们互相平行，不满足定理条件•故填①③④答案：①③④［典例］如图，在三棱锥［典例］如图，在三棱锥S-ABC中，/ABC=90中点，且SA=SB=SC.⑴求证：SD丄平面ABC;(2)若AB=BC,求证：BD丄平面SAC.［证明］ ⑴因为SA=SC,D是AC的中点,所以SD丄AC.在Rt△ABC中，AD=BD,由已知SA=SB,所以△ADS◎△BDS,所以SD丄BD.又ACABD=D,所以SD丄平面ABC.⑵因为AB=BC,D为AC的中点，所以BD丄AC.由⑴知SD丄BD.又因为SDAAC=D，所以BD丄平面SAC.利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直;确定这个平面内的两条直线是相交的直线；根据判定定理得出结论.利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直;确定这个平面内的两条直线是相交的直线；根据判定定理得出结论.［活学活用］如图，AB为OO的直径，PA垂直于OO所在的平面，M为圆周上任意一点，AN丄PM,N为垂足.求证：AN丄平面PBM.若AQ丄PB,垂足为Q,求证：NQ丄PB.证明：⑴•/AB为OO的直径，•••AM丄BM.又PA丄平面ABM,•PA丄BM.又•••PAnAM=A又•••PAnAM=A,.・.BM丄平面PAM.又AN?平面PAM,•••BM丄AN.又AN丄PM，且BMnPM=M,AN丄平面PBM.(2)由(1)知AN丄平面PBM,PB?平面PBM,•AN丄PB.又•••AQ丄PB,ANnAQ=A,PB丄平面ANQ.又NQ?平面ANQ,•PB丄NQ.题型三直线与平面所成角［典例］三棱锥S-ABC的所有棱长都相等且为a,求SA与底面ABC所成角的余弦值.［解］如图，过S作SO丄平面ABC于点O,SO丄CO.TSA=SB=SC=a,△SOA也厶SOB^ASOC,AO=BO=CO,OABC的外心.连接AO,BO,CO.则SO丄AO,SO丄BO,•••△ABC为正三角形，•O ABC的中心.•/SO丄平面ABC,•/SAO即为SA与平面ABC所成的角.在Rt△SAO中，SA=a,AO=彳^予二申,•皿SAO=AA•SA与底面ABC所成角的余弦值为求斜线与平面所成的角的步骤（1）作角：作（或找）出斜线在平面上的射影，将空间角 （斜线与平面所成的角）转化为平面角（两条相交直线所成的锐角），作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足 （有时可以是两垂足）作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算.（2） 证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角.（3） 计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.

［活学活用］在正方体ABCD-AiBiCiDi中,（1） 直线AiB与平面abcd所成的角的大小为 ；（2） 直线AiB与平面ABCiDi所成的角的大小为 ⑶直线AiB与平面ABiCiD所成的角的大小为 解析：⑴由线面角定义知，/AiBA为AiB与平面ABCD所成的角，/AiBA=45⑵如图，连接AiD,设AiDAADi=0,连接BO,则易证AiD丄平面ABCiDi,：AiB在平面ABCiDi内的射影为OB,aAiB与平面ABCiDi所i成的角为/AiBO.•/AiO=2AiB,：ZAiBO=30°.(3)•/AiB丄ABi,AiB丄BiCi,：AiB丄平面ABiCiD,即AiB与平面ABiCiD所成的角的大小为90课后层级训练.歩歩提升陡力课后层级训练.歩歩提升陡力层级一学业水平达标.已知m和n是两条不同的直线， a和B是两个不重合的平面，那么下面给出的条件TOC\o"1-5"\h\z中，一定能推出m丄B的是（ ）A.a//®且m?a B.m//n,且n丄BC.m±n，且n?B D.m丄n,且n/B解析：选BA中，由allB,且m?a,知m//B；B中，由n丄B,知n垂直于平面B内的任意直线，再由m/n，知m也垂直于B内的任意直线，所以m丄B,符合题意；C、D中，m?B或m/B或m与B相交，不符合题意，故选 B..若两条不同的直线与同一平面所成的角相等，则这两条直线 （ ）A.平行 B.相交C.异面 D.以上皆有可能解析：选D在正方体ABCD-AiBiCiDi中，AiA,BiB与底面ABCD所成的角相等，此时两直线平行；AiBi,BiCi与底面ABCD所成的角相等，此时两直线相交； AiBi,BC与底面ABCD所成的角相等，此时两直线异面.故选 D.3.下列四个命题中，正确的是（ ）若一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，则这条直线与这个平面垂直；若一条直线平行于一个平面，则垂直于这条直线的直线必垂直于这个平面；若一条直线平行于一个平面，另一条直线垂直于这个平面，则这两条直线互相垂直；

若两条直线垂直，则过其中一条直线有惟一一个平面与另一条直线垂直.B.②③AB.②③C.②④C.②④解析：选D①②不正确.D.③④5.如图所示，若斜线段AB是它在平面a上的射影BO5.如图所示，若斜线段AB是它在平面a上的射影BO的2倍，则AB与平面a所成的角是（ ）A.60°45°C.30°120°解析：选A/ABO即是斜线AB与平面a所成的角,4.如图，an3=l，点A,C€a,点B€3,且BA丄a,BC丄3,那么直线l与直线AC的关系是（ ）A•异面 B•平行C.垂直 D.不确定解析：选C•/BA丄a,an3=l,l?a,二BA丄I.同理BC丄l.又BAnBC=B,：l丄平面ABC.vAC?平面ABC,二I丄AC.1在Rt△AOB中，AB=2BO，所以cos/ABO=寸,即/ABO=606.已知直线l,a,b,平面a,若要得到结论I丄a,则需要在条件a?a,b?a,I丄a,l丄b中另外添加的一个条件是 .答案：a,b相交

7.如图所示，三棱锥P-ABC中，PA丄平面ABC,PA=AB,则直线PB与平面ABC所成的角等于 .解析：因为PA丄平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB,所以/PBA即为直线PB与平面ABC所成的角.在△PAB中，/BAP=90°,PA=AB,所以/PBA=45°，即直线PB与平面ABC所成的角等于45答案：458.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC丄BD，则平行四边形ABCDr曰解析：如图，•••PA丄平面ABCD,BD?平面ABCD,二BD丄解析：如图，•••PA丄平面ABCD,BD?平面ABCD,二BD丄PA.又BD丄PC,PAnPC=P,•••BD丄平面PAC.又AC?平面PAC,「.BD丄AC.二平行四边形ABCD为菱形.答案：菱形9.如图，在四面体A-BCD中，/BDC=90°,AC=BD=2,E,分别为AD,BC的中点，且EF=2.求证：BD丄平面ACD.证明：取CD的中点为G,连接EG,FG.又•••E,F分别为AD,BC的中点，•FG//BD,EG//AC.AC=BD=2,贝UEG=FG=1.•/EF=2,aEF2=EG2+FG2,•EG丄FG,•BD丄EG.•••/BDC=90°,•BD丄CD.又EGnCD=G,「.BD丄平面ACD.10.在棱长为1的正方体ABCD-AiBiCiDi中，E是AjBi的中点，求直线AE与平面ABCiDi所成的角的正弦值.解：如图，取CD的中点F，连接EF交平面ABCiDi于O,连接AO,BiC.由ABCD-AiBiCiDi为正方体，易得 BiC丄BCi,BiC丄DiCi,BCinDiCi=Ci,BCi?平面ABCiDi,平面ABCiDi,•BiC丄平面ABCiDi.■A/I£•/E,F分别为AiBi,CD的中点，•EF//BiC,•EF丄平面ACi，即/EAO为直线AE与平面ABCiDi所成的角.在Rt△EOA中,EO=2ef=企心了,AE=AiE2+AA「 :22+«=令,•••sin/EAO=EO=』.AE5•直线AE与平面ABCiDi所成的角的正弦值为 冥5层级二 应试能力达标1.在正方体ABCD-AiBiCiDi中，与ADi垂直的平面是（ ）A.平面DD1C1C B.平面AiDBiC.平面A1B1C1D1 D.平面AiDB答案：b2.下面四个命题：过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条;过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条;过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个;过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个.TOC\o"1-5"\h\z其中正确的是（ ）A.①④ B.②③C.①② D.③④解析：选B过一点和一条直线垂直的直线有无数条，故①不正确；过一点和一个平面垂直的平面有无数个，故④不正确；易知②③均正确.故选 B..设I,m是两条不同的直线， a是一个平面，则下列命题正确的是 （ ）A.若I丄m,m?a,贝UI丄a B.若I丄a,I//m，贝Um±aC.若I//a,m?a,贝yI/m D.若I//a,m//a，贝UI//m解析：选b根据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面，知选项B正确.SD丄底面ABCD，则下列结论中不正确的是4.SD丄底面ABCD，则下列结论中不正确的是）A.AC丄SBB.AB//平面SCDC.SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D.AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

解析：选D选项A正确，因为SD垂直于平面ABCD，而AC在平面ABCD内，所以AC垂直于SD;再由ABCD为正方形，所以AC垂直于BD，而BD与SD相交，所以AC垂直于平面SBD，进而垂直于SB.选项B正确，因为AB平行于CD，而CD在平面SCD内，AB不在平面SCD内，所以AB平行于平面SCD.选项C正确，设AC与BD的交点为0,连接SO,则SA与平面SBD所成的角就是/ASO,SC与平面SBD所成的角就是/CS0,易知这两个角相等.选项D错误，AB与SC所成的角等于/SCD，而DC与SA所成的角是/SAB，这两个角不相等.5.如图，在棱长为2的正方体ABCD-AiBiCiDi中，E是AD的中点，F是BBi的中点，则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为 .解析：连接EB，由BB1±平面ABCD，知/FEB即直线EF与平面ABCD所成的角.在Rt△FBE中，BF=1,BE=5,贝Utan/FEB=严.答案:6.如图所示，将平面四边形ABCD沿对角线AC折成空间四边形，当平面四边形ABCD满足 时，空间四边形中的两条对角线互相垂直. （填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能情况 ）解析：在平面四边形中，设AC与BD交于E，假设AC丄BD，贝UAC丄DE,AC丄BE.折叠后，AC与DE,AC与BE依然垂直，所以AC丄平面BDE，所以AC丄BD.若四边形ABCD为菱形或正方形，因为它们的对角线互相垂直，同上可证AC丄BD.答案：AC丄BD（或四边形ABCD为菱形、正方形等）7.如图，在直三棱柱ABC-AiBiCi中，/BAC=90°,AB=AC=AAi.（1）求证：AB1丄平面A1BC1.⑵若D为B1C1的中点，求AD与平面A1B1C1所成角的正弦值.解：（1）证明：由题意知四边形AA1B1B是正方形，AB1丄BA1.由AA1丄平面A1B1C1得AA1丄A1C1.又.A1C1丄A1B1,AA1nA1B1=a*,•••AiCi丄平面AAiBiB,又•••ABi?平面AAiBiB,

--AiCi丄ABi.又•••BAiAAiCi=Ai,「.ABi丄平面AiBCi.(2)连接AiD.设AB=AC=AAi=i,•••AAi丄平面AiBiCi,•••/AiDA是AD与平面AiBiCi所成的角.在等腰直角三角形AiBiCi中，D为斜边的中点,•AiD=2xBiCi=甲.•sin/A1da=AiA品AD="3在Rt△AiDA中，AD=AiD•sin/A1da=AiA品AD="3即AD与平面AiBiCi所成角的正弦值为8.如图，直三棱柱ABC-AiBiCi中，AC=BC=1,/ACB=90°,AAi=■.2,D是AiBi的中点.求证CiD丄平面AAiBiB;当点F在BBi上的什么位置时，会使得 ABi丄平面CiDF?并证明你的结论.证明：(1)•/ABC-AiBiCi是直三棱柱,A1C1=B1C1=1，且/A1C1B1=90°.又D是AiBi的中点，CiD丄AiBi.•••AAi丄平面AiBiCi,CiD?平面AiBiCi,AAi丄CiD，又AiBiACiD=D,CiD丄平面AAiBiB.⑵作DE丄ABi交ABi于E,延长DE交BBi于F，连接CiF，则ABi丄平面SDF，点F为所求.•「CiD丄平面AAiBiB,ABi?平面AAiBiB,：CiD丄ABi.又ABi丄DF,DFACiD=D,•ABi丄平面CiDF.「AAi=AiBi=.2,「.四边形AAiBiB为正方形.又D为AiBi的中点，DF丄ABi,「.F为BBi的中点，•当点F为BBi的中点时，ABi丄平面CiDF.2.3.2平面与平面垂直的判定

课前自主学习，基稳才能楼高预习课本P67〜69,思考并完成以下问题1.二面角的定义、表示分别是怎样的？2.二面角的平面角的定义、范围分别是怎样的？3.面面垂直是怎样定义的？4.面面垂直的判疋疋理的内容是什么？［新知初探］1.二面角⑴定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角(如图).直线AB叫做二面角的棱，半平面a和B叫做二面角的面.记法：a-AB-B,在a,B内，分别取点P,Q时，可记作P-AB-Q;当棱记为I时，可记作a-l-6或P-I-Q.(2)二面角的平面角：①定义：在二面角 a-l-6的棱I上任取一点0,如图所示，以点0为垂足，在半平面a和6内分别作垂直于棱I的射线0A和0B,则射线0A和0B构成的/A0B构成的/A0B叫做二面角的平面角.②直二面角：平面角是直角的二面角.［点睛］二面角的平面角的定义是两条二面角B的取值范围是0°< 180°.射线”的夹角，不是两条直线的夹角，因此,2.平面与平面垂直(1)面面垂直的定义①定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.②画法:

记作：a丄3(2)两平面垂直的判定定理：文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.图形语言：如图.符号语言：AB丄3ABA3=B,AB?a?a丄3［点睛］定理的关键词是“过另一面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线.［小试身手］TOC\o"1-5"\h\z判断下列命题是否正确.(正确的打错误的打“X” )若I丄a,则过I有无数个平面与a垂直( )两垂直的平面的二面角的平面角大小为 90°( )答案：⑴V(2)V.在二面角al-3的棱I上任选一点0,若/AOB是二面角a-l-3的平面角，则必须具有的条件是( )A0丄BO,AO?a,BO?3AO丄I,BO丄IAB丄I,AO?a,BO?3D.AO丄I,BO丄I,且AO?a,BO?3答案：D.对于直线m,n和平面a,3,能得出a丄3的一组条件是( )A.m±n, m〃a, nII 3 B. m丄n, aA3=m,n? 3C.mln, n丄3 m? a D. mIn, m±a,n丄3解析：选CA与D中a也可与3平行，B中不一定a丄3故选C.ABCDABCD为菱形，/ABC=120°,E,F是BE丄平面ABCD，DF丄平面ABCD，BE题型一［典例］如图，四边形平面ABCD同一侧的两点，=2DF,AE丄EC.证明：平面AEC丄平面AFC.［证明］如图，连接BD，设BDAAC于点G,连接EG,FG,EF.在菱形ABCD中，不妨设GB=1.由/ABC=120°，可得AG=GC=■3.由BE丄平面ABCD,AB=BC,可知AE=EC.又AE丄EC,所以EG=■3，且EG丄AC.在Rt△EBG中，可得BE=2,故DF=说在Rt△FDG中，可得在直角梯形BDFE中，由BD=2,BE=2,DF可得EF=乎.从而EG2+FG2=EF2,所以EG丄FG.又ACAFG=G,所以EG丄平面AFC.因为EG?平面AEC，所以平面AEC丄平面AFC.证明平面与平面垂直的方法：利用定义：证明二面角的平面角为直角；利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直.根据面面垂直的定义判定两平面垂直，实质上是把问题转化成了求二面角的平面角，通常情况下利用判定定理要比定义简单些，这也是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只要转证线面垂直，其关键与难点是在其中一个平面内寻找一直线与另一平面垂直.［活学活用］1.如图，已知PA丄矩形ABCD所在的平面，则图中互相垂直的平面有( )

A.1对 B.2对C.3对 D.5对解析：选D•/DA丄AB,DA丄PA,二DA丄平面PAB.同理BC丄平面PAB,又AB丄平面PAD,•••DC丄平面PAD,•••平面PAD丄平面AC,平面PAB丄平面AC面PAD,•••DC丄平面PAD,•••平面PAB，平面PAB丄平面PAD，平面PDC丄平面PAD，共5对.如图，四边形ABCD是边长为a的菱形，是PA的中点，求证：平面BDE丄平面ABCD.证明：连接AC,设ACABD=0,连接0E.因为0为AC中点，E为PA的中点，所以E0是厶PAC的中位线,所以E0//PC.因为PC丄平面ABCD,所以E0丄平面ABCD.又因为E0?平面BDE,所以平面BDE丄平面ABCD..面角的求法［典例］ ⑴如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中：二面角D'-AB-D的大小为 . 再二面角A'-AB-D的大小为 .A(2)如图，已知Rt△ABC，斜边BC?a,点A?a,A0丄a,0为垂足，/AB0=30°,/AC0=45°，求面角A-BC-0的大小.［解析］ ⑴①在正方体ABCD-A'B'C'D'中,AB丄平面AD所以AB丄AD',AB丄AD,因此/D'AD为二面角D'AB-D的平面角.在Rt△D'DA中，/D'AD=45°，所以二面角D'AB-D的大小为45°.②因为AB丄平面AD,所以AB丄AD,AB丄AA',因此/A'AD为二面角A'AB-D的平面角，又/A'AD=90°，所以二面角A'AB-D的大小为90°.［答案］①45° ②90⑵解：如图，在平面a内，过O作OD丄BC,垂足为点D，连接AD,设CO=a.•/AO丄a,BC?a,•AO丄BC.又AOAOD=O,「.BC丄平面AOD.

而AD?平面AOD,•••AD丄BC,「./ADO是二面角A-BC-0的平面角.由AO丄a,OB?aOC?a,知AO丄OB,AO丄OC.•••/ABO=30°，/ACO=45°,CO=a,•-AO=a,AC=2a,AB=2a.在Rt△ABC中，/BAC=90°,•BC=AC2+AB2=6a,AD=ABAC

BC2a逗a=AD=ABAC

BC2a逗a=瘀

，6a 3a.在Rt△AOD中,sin/ADO=AOAD23 2.Va•••/ADO=60°，即二面角A-BC-O的大小是60定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线.垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线，这两条射线(交线)所成的角，即为二面角的平面角.(3)垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，这是最常用也是最有效的一种方法.［活学活用］如图，把等腰直角三角形ABC沿斜边如图，把等腰直角三角形ABC沿斜边AB旋转至△ABD的位置,使CD=AC.⑴求证：平面ABD丄平面ABC.⑵求二面角C-BD-A的余弦值.解：(1)证明：取AB的中点O,连接OD,•••△ABD是等腰直角三角形，连接OC,同理得CO丄AB,•DO丄连接OC,同理得CO丄AB,且COn^AC,•••AD=AC」DO=CO—AC.2•/CD=AC,「.DO2+CO2=CD2,•△CDO为等腰直角三角形，DO丄CO,又ABACO=O,「.DO丄平面ABC.又•••DO?平面ABD，•平面ABD丄平面ABC.

⑵取BD的中点E，连接CE,OE.•/△BCD为等边三角形，•••CE丄BD.又•••△BOD为等腰直角三角形，•OE丄BD.•••/OEC为二面角C-BD-A的平面角.由⑴可证得OC丄平面ABD,•OCXOE.•△COE为直角三角形.设BC=1,贝UCE=~23,OE=1,•cos/OEC=°f詔，即二面角C-BD-A的余弦值为爭3題型三［典例］如图，在矩形ABCD中，AB=.2,BC=2,E为BC的中点，把△ABE和厶CDE分别沿AE,DE折起，使点B与点C重合于点P.(1)求证：平面PDE丄平面PAD;⑵求二面角P-AD-E的大小.［解］(1)证明：由AB丄BE,得AP丄PE,同理，DP丄PE.又•••APnDP=P,.・.PE丄平面PAD.又PE?平面PDE,•平面PDE丄平面PAD.⑵如图所示，取AD的中点F，连接PF,EF，贝UPF丄AD,EF丄AD,•/PFE就是二面角P-AD-E的平面角.又PE丄平面PAD,•PE丄PF.•/EF=AB= 2,PF= 22-1=1,•cos/PFE=EF="22.面角P-AD-E的大小为45折叠问题，即由平面图形经过折叠成为立体图形，在立体图形中解决有关问题.解题过程中，一定要抓住折叠前后的变量与不变量.

［活学活用］1如图所示，在矩形ABCD中，已知AB=2AD,E是AD的中点，沿BE将厶ABE折起A'BE丄平面BCDE.至厶A'BE的位置，使A'C=AA'BE丄平面BCDE.1TAB=2AD,E是AD的中点,连接A'M,A1TAB=2AD,E是AD的中点,•••AB=AE,即卩A'B=A'E.•••A'N丄BE.tA'C=A'D,•A'M丄CD.在四边形BCDE中，CD丄MN,又•••MNnA'M=M,•CD丄平面A'MN,•CD丄A'N.1tDE//BC且DE=2BC,「.BE必与CD相交.又•••A'N丄BE,A'N丄CD,•A'N丄平面BCDE.又•••A'N?平面A'BE，•平面A'BE丄平面BCDE.课后层级训练.步歩提升随力课后层级训练.步歩提升随力层级一学业水平达标1.从空间一点P向二面角a-l-B的两个面a,3分别作垂线PE,PF,E,F为垂足，若EPF=60°,则二面角a-l-3的平面角的大小是（ ）A.60°B.120°C.60°或120°D.不确定解析：选C若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°;若点P在二面角外，则.面角的平面角为60°2.如果直线l,m与平面a,3,丫满足：3ny=l,l//a,m?a和m丄Y那么必有（)A.a丄丫且1丄mB.a丄丫且m/3C.m/3且l丄mD.a/3且a丄丫解析：选AB错，有可能m与3相交；C错，有可能m与3相交；D错，有可能a与

3.已知直线a,b与平面a,3,Y下列能使a丄B成立的条件是（ ）A.a丄y3丄y B.ad3=a,b丄a,b?3C.a//3a//a D.a//a,a丄3解析：选D由a//a,知a内必有直线l与a平行.而a丄3,I丄3,-a丄34•如图，四边形ABCD中，AD//BC,AD=AB,/BCD=45°,/BAD=90°,将厶ABD沿BD折起，使平面ABD丄平面BCD,构成几何体A-BCDABD沿BD折起，使平面列结论正确的是（ ）A.平面ABD丄平面ABCB.平面ADC丄平面BDCC.平面ABC丄平面BDCD.平面ADC丄平面ABC解析：选D由已知得BA丄AD,CD丄BD,ABD,又平面ABD丄平面BCD,•••CDABD,从而CD丄AB,故AB丄平面ADC.又AB?平面ABC,又AB?平面ABC,•平面ABC丄平面ADC.5.在正方体ABCD-AiBiCiDi中,截面AiBD与底面ABCD所成二面角Ai-BD-A的正切值为（ ）bFC.2解析：选CD.3C.2解析：选CD.3如图所示，连接AC交BD于点O,连接AiO,O为BD中点,•••AiD=AiB,•••在厶AiBD中,AiO丄BD.又•••在正方形ABCD中，AC丄BD,•/AiOA为二面角Ai-BD-A的平面角.设AAi=i,则AO=-^.•tan/AiOA=；=.2.26.如果规定：x=y,y=z,贝Ux=z,叫作x,y,z关于相等关系具有传递性，那么空间三个平面a,3,丫关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是 .

解析：由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性.答案：平行7.在正方体ABCD-AiBiCiDi中，E是CC,的中点，则平面EBD与平面AAiCiC的位置关系是 .（填“垂直”“不垂直”其中的一个 ）解：如图，在正方体中，CCi丄平面ABCD,•••CCi丄BD.又AC丄BD,CCiAAC=C,•BD丄平面AAiCiC.又BD?平面EBD,•平面EBD丄平面AAiCiC.答案：垂直8.若P是厶ABC所在平面外一点，而△PBC和厶ABC都是边长为2的正三角形，PA=Q6,那么二面角P-BC-A的大小为 .解析：如图，取BC的中点0,连接OA,OP,则/POA为二面角P-BC-A的平面角，OP=0A=3,PA=,6,所以△P0A为直角三角形，/P0A=90°.答案：909.如图，在圆锥P0中，AB是O0的直径，C是AB上的点，D为AC的中点.证明:平面P0D丄平面PAC.证明：如图，连接0C，因为0A=0C，D是AC的中点，所以AC丄0D.又P0丄底面ABC，AC?底面ABC，所以AC丄P0.因为0D，P0是平面P0D内的两条相交直线，所以AC丄平面P0D.又AC?平面PAC，所以平面P0D丄平面PAC.10.如图所示，在△ABC中，AB丄BC，SA丄平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA=AB，SB=BC，求二面角E-BD-C的大小.解：•/E为SC中点，且SB=BC，•BE丄SC.又DE丄SC，BEnDE=E，•SC丄平面BDE，•BD丄SC.

又SA丄平面ABC，可得SA丄BD.又sensa=s,•••BD丄平面SAC，从而BD丄AC,BD丄DE,•••/EDC为二面角E-BD-C的平面角.设SA=AB=1.在厶ABC中，TAB丄BC,•SB=BC=2,AC=,3,「.SC=2.在Rt△SAC中，/DCS=30•••/EDC=60°，即二面角E-BD-C为60°.层级二应试能力达标1.（浙江咼考）设a,3是两个不同的平面， l,m是两条不同的直线，且 I?a,m?TOC\o"1-5"\h\z3（ ）A.若I丄3,y a丄3 B.若a丄3贝U I丄mC.若I// 3,贝U a// 3 D.若 a// 3 贝y I//m解析：选A I丄3I?a,•a丄3面面垂直的判定定理），故A正确.2.一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系为（)A.相等B.互补C•相等或互补D.不确定TOC\o"1-5"\h\z解析：选D反例：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是CD,C1D1的中点，二面角D-AA1-E与二面角B1-AB-D的两个半平面就是分别对应垂直的，但是这两个二面角既不相等，也不互补，故选 D.3.如图，在梯形ABCD中，AD//BC,/ABC=90°,AD:BC:AB=2:3:4,E,F分别是AB,CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折.给出四个结论：①DF丄BC;②BD丄FC;③平面DBF丄平面BFC;④平面DCF丄平面BFC.在翻折的过程中，可能成立的结论是 （ ）B.②③AB.②③C.②④DC.②④解析：选B对于①，因为BC//AD,AD与DF相交不垂直，所以BC与DF不垂直，故①不可能成立；对于②，如图，设点 D的在平面BCF上的射影为点P,当BP丄CF时，有BD丄FC，而AD:BC:AB=2:3:4可使条件满足，故②可能成立；对于③，当点P落在BF上时，DP?平面BDF，从而平面BDF丄平面BCF，故③可能成立；对于④，因为点 D的射影不可

4.如图，在四面体P-ABC中，AB=AC,PB=PC,D,E,F分别是棱AB,BC,CA的中点，则下列结论中不一定成立的是 （ ）BC//平面PDFDF丄平面PAEC.平面PDF丄平面PAE解析：选D因为D,F分别为AB,解析：选D因为D,F分别为AB,AC的中点，则DF ABC的中位线，则BC//DF，依据线面平行的判定定理，可知 BC/平面PDF,A成立•又E为BC的中点，且PB=PC,AB=AC,贝UBC丄PE,BC丄AE，依据线面垂直的判定定理，可知 BC丄平面PAE.因为BC//DF，所以DF丄平面PAE,B成立.又DF?平面PDF，则平面PDF丄平面PAE,C成立.要使平面PDF丄平面ABC，已知AE丄DF，则必须有AE丄PD或AE丄PF，由条件知此垂直关系不一定成立，故选 D.5.正四棱锥的侧棱长为23,侧棱与底面所成角为60°,则该四棱锥的高为解析：如图，过点S作SO丄平面ABCD，连接0C,则/SCO=60X23=3.•••S0=sinX23=3.答案：36.如图，二面角a-l-B的大小是60°,线段AB?a,B€l,AB与I所成的角为30°,则AB与平面B所成的角的正弦值是 .解析：如图，作AO丄B于O,AC丄l于C,连接OB,OC,则OC丄l.设AB与丄l.设AB与B所成的角为0,则/ABO=0,由图得sin0=AO_ACAO

AB_ABAC=sin30°sin603答案:7.已知正方形ABCD的边长为2,ACABD_O.将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC_a，得到三棱锥A-BCD，如图.⑴当a_2时，求证：AO丄平面BCD.⑵当二面角A-BD-C的大小为120。时，求二面角A-BC-D的正切值.解：（1）证明：在厶AOC中，AC=a=2,AO=CO=2.•••AC2=AO2+CO2,「.AO丄CO.•/AO丄BD,BDACO=O,•AO丄平面BCD.(2)折叠后，BD丄AO,BD丄CO,：/AOC是二面角A-BD-C的平面角，即/AOC=120°.在厶AOC中，AO=CO=2,•-AC=、J6.如图，过点A作CO的垂线交线段CO的延长线于点H.•/BD丄CO,BD丄AO,COAAO=O,•BD丄平面AOC.•/AH?平面AOC,•BD丄AH.又•••CO丄AH,COABD=O,：AH丄平面BCD.•AH丄BC.过点A作AK丄BC,垂足为K,连接HK.•/AKAAH=A,•BC丄平面AHK.•/HK?平面AHK,•BC丄HK.•/AKH为二面角A-BC-D的平面角.心AHO中，AH=于,OH记•CH•CH=CO+OH=T=竽.在Rt△CKH中，HK=~22CH=2.在Rt△AHK中，tan/AKH在Rt△AHK中，tan/AKHHK=3=亍2面角A-BC-D的正切值为8.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，/=90

AD//BC,AB=BC=1,AD=2,PA丄底面ABCD,PD与底面成45°角，点E是PD的中占I八、、•⑴求证：BE丄PD.⑵求二面角P-CD-A的余弦值.解：（1）证明：连接AE.•/PA丄底面ABCD,•••/PDA是PD与底面ABCD所成的角，•••/PDA=45°.•••PA=DA.又•••点E是PD的中点，•AE丄PD.•/PA丄底面ABCD,AB?底面ABCD,•PA丄AB.•••/BAD=90°,•BA丄DA.又•••PAAAD=A,•BA丄平面PDA.又•••PD?平面PDA,•BA丄PD.又•••BAAAE=A,•PD丄平面ABE.•/BE?平面ABE,•BE丄PD.⑵连接AC.在直角梯形ABCD中，AB=BC=1,AD=2,AC=CD=,2.tAC2+CD2=AD2,•AC丄CD.又•••PA丄底面ABCD,CD?底面ABCD,•PA丄CD.•/ACAPA=A,•CD丄平面PAC.又•••PC?平面PAC,•PC丄CD,•••/PCA为二面角P-CD-A的平面角.在Rt△PCA中，PC=PA2+AC2=22+22=6.•cos/PCA=AC_返=逅PC=6=3.•所求的二面角的余弦值为2.3.3&2.3.4 直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质课前口主学月「基稳才能樓高课前口主学月「基稳才能樓高直线与平面垂直的性质定理是什么?2.面面垂直的性质定理是什么?［［新知初探］1.直线与平面垂直的性质定理(1)文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.(2)图形语言:(3)(3)符号语言:(4)作用：线面垂直？线线平行；作平行线.［点睛］(1)直线与平面垂直的性质定理给出了判定两条直线平行的另一种方法.(2)定理揭示了空间中 “平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行关系转化的依据.平面与平面垂直的性质定理文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.图形语言：(3)符号语言:a丄0adAIa?a(4)作用：①面面垂直？线面垂直;

②作面的垂线.［点睛］对面面垂直的性质定理的理解定理的实质是由面面垂直得线面垂直，故可用来证明线面垂直.已知面面垂直时，可以利用此定理转化为线面垂直，再转化为线线垂直.［小试身手］TOC\o"1-5"\h\z1.若a,b表示直线，a表示平面，下列命题中正确的个数为 ( )①a丄a,b//a?a丄b;②a丄a,a丄b?b//a;③a//a,a丄b?b丄a;④a丄a,b±a?a//b.A.1 B.2 C.3 D.0解析：选B由线面垂直的性质知①、④正确.②中 b可能满足b?a,故②错误；③中b可能与a相交(不垂直)，也可能平行，故③不正确.2.两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线与另一个平面 ( )A.垂直 B.平行C.斜交 D.以上都有可能答案：D3.平面a丄平面B,aA3=l,n?B,n丄I,直线m丄a,则直线m与n的位置关系是解析：由题意知n丄a,而m丄a,•••m/n.答案：平行线面垂直性质定理的应用课堂讲练设计*举—能通类趣［典例］如图，已知正方体A!C.求证：AiC丄BiDi.M,N分别为B1D1与C1D上的点，且证：MN//AQ［证明］⑴如图，连接A1C1.CC1丄平面A1b1c1D1,B1D1?平面A1B1C1D1,-CC1丄Bq1.•••四边形A1B1C1D1是正方形，A1C1丄B1D1.^又-CC1AA1C1=C1,

•••BiDi丄平面AiCiC.又TAiC?平面AiCiC,：B1D1丄AiC.⑵如图，连接BiA,ADi.tBiCi綊AD,•四边形ADCiBi为平行四边形，CiD//ABi.•••MN丄CiD,•MN丄ABi.又TMN_LBiDi,ABiABiDi=Bi,MN丄平面ABiDi.由⑴知AiC丄BiDi.同理可得AiC丄ABi.又TABiABiDi=Bi,AiC丄平面ABiDi.AiC/MN.若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行， 可考虑利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直，证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质.直线与平面垂直的其他性质：如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任一条直线垂直.若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.若I丄a于A,AP丄I,贝UAP?a垂直于同一条直线的两个平面平行.如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面.［活学活用］如图所示，在正方体ABCD-AiBiCiDi中，M是AB上一点，N是AiC的中点，MN丄平面AiDC.求证：(i)MN//ADi;(2)M是AB的中点.证明：⑴T四边形ADDiAi为正方形，•ADi丄AiD.又tCD丄平面ADDiAi,^cd丄ADi.tAiDACD=D,•ADi丄平面AiDC.又tMN丄平面AiDC,•MN//ADi.

⑵连接ON，在△AiDC中，AiO=OD,AiN=NC,1 i•••on綊2Cd綊2AB.•••ON//AM.又•••MN//OA,•四边形AMNO为平行四边形.•••ON=AM.11•••on=‘AB,：am=2AB.rra面面垂直性质定理的应用［典例］已知P是厶ABC所在平面外的一点，且PA丄平面ABC面PACrra面面垂直性质定理的应用［典例］已知P是厶ABC所在平面外的一点，且PA丄平面ABC面PAC丄平面PBC，求证：BC丄AC.［证明］如图，在平面PAC内作AD丄PC于点D,•平面PAC丄平面PBC,AD?平面PAC，且AD丄PC,AD丄平面PBC,又BC?平面PBC,•AD丄BC.•/PA丄平面ABC,BC?平面ABC,•PA丄BC,•/ADnPA=A,：BC丄平面PAC,又AC?平面PAC,•BC丄AC.若所给题目中有面面垂直的条件，一般要利用面面垂直的性质定理将其转化为线面垂直、线线垂直.应用面面垂直的性质定理，注意三点： ①两个平面垂直是前提条件； ②直线必须在其中一个平面内； ③直线必须垂直于它们的交线.［活学活用］如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是边长为a的菱形，且/DAB=60°侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD的中点，求证：BG丄平面PAD;⑵求证：AD丄PB.证明：(1)如图，在菱形ABCD中,连接BD,由已知/DAB=60•••△ABD为正三角形,•/G是AD的中点，连接BD,由已知/DAB=60•••△ABD为正三角形,•/G是AD的中点，•BG丄AD.•••平面PAD丄平面ABCD,且平面PADn平面ABCD=AD,•BG丄平面PAD.⑵如图，连接PG.•PG丄AD,由(1)知BG丄AD.又•••PGnBG=G.aAD丄平面PBG.而PB?平面PBG,•AD丄PB.垂直关系的综合应用［典例］如图，在△BCD中，/BCD=90°,BC=CD=1,AB丄平面BCD,/ADB=60°,E,F分别是AC,AD上的动点，且40<床1).(1)求证：无论入为何值，总有平面BEF丄平面ABC.⑵当入为何值时，平面BEF丄平面ACD?［解］(1)证明：IAB丄平面BCD,CD⑵当入为何值时，平面BEF丄平面ACD?•AB丄CD.•/CD丄BC,ABnBC=B,「.CD丄平面ABC.AEAF又一AC=AF=e"，•无论入为何值，恒有EF//CD,•EF丄平面ABC.又•••EF?平面BEF,•无论入为何值，总有平面BEF丄平面ABC.(2)由(1)知•无论入为何值，总有平面BEF丄平面ABC.•••平面BEF丄平面ACD，平面BEFn平面ACD=EF,•BE丄平面ACD.又•••AC?平面ACD,•BE丄AC.BC=CD=1,ZBCD=ZABD=90°，/ADB=60•BD= 2,「.AB=2tan60°=6,•AC=AB2+BC2= 7.由Rt△AEBsRt△ABC，得AB 证明：CD丄平面Ai 证明：CD丄平面AiOC; 当平面A1BE丄平面BCDE时，四棱锥A1-BCDE的体积为36.2，求a的值.解：(1)证明：在图(1)中，因为AB=BC=^AD=a，E是AD的中点，/BAD=亍，所以BE丄AC.即在图(2)中，BE丄A1O，BE丄0C，从而BE丄平面A1OC.又CD/BE，所以CD丄平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE丄平面BCDE，且平面A1BEn平面BCDE=BE，又由⑴可得A1O丄BE，所以A1O丄平面BCDE.即A1O是四棱锥A1-BCDE的高.AE=AE=6 —AE_7，.=AC=故当｝=6时，平面BEF丄平面ACD.(1)空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的.它们之间的转化关系如下：线线垂直判定定理线面垂直定义1”并审■击 判定定理线面垂直性质定理面面垂直(2)空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等.还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题.［活学活用］n 1(陕西高考)如图(1)，在直角梯形ABCD中，AD//BC,/BAD=寸，AB=BC=?AD=a,E是AD的中点，0是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到图(2)中厶AiBE的位置，得到四棱锥Ai-BCDE.

由图⑴知，AiO=~22AB^22a，平行四边形BCDE的面积S=BCAB=a2,从而四棱锥Ai-BCDE的体积为V=isAiO= a2疔a=詐.由fa—362,得a=6.课后层级训练.步歩提升随力课后层级训练.步歩提升随力层级一学业水平达标TOC\o"1-5"\h\z1.设I是直线，a，B是两个不同的平面（ ）A.若I//a, I//B, Ua//B B.若I//a,I丄B,贝U a丄 BC.若a丄B, I丄a,贝VI丄B D.若a丄B,I//a,贝V I丄B解析：选B对于选项A，两平面可能平行也可能相交；对于选项C,直线I可能在B内也可能平行于B;对于选项D,直线I可能在B内或平行于B或与B相交..已知平面a,B和直线m,I,则下列命题中正确的是（ ）若a丄B,aAB=m,I丄m,贝UI丄B若aAB=m,I?a,I丄m,贝yI丄BC.若a丄B,I?a,贝VI丄BD.若a丄B,aAB=m,I?a,I丄m,贝VI丄B解析：选D选项A缺少了条件：I?a；选项B缺少了条件：a丄B；选项C缺少了条件：aAB=m,I丄m；选项D具备了面面垂直的性质定理的全条件..在四棱柱ABCD-AiB1C1D1中，已知平面AAiCiC丄平面ABCD,且AB=BC,AD=CD,贝UBD与CCi( )B.共面AB.共面C.垂直 D.不垂直解析：选C如图所示,在四边形ABCD中，•/AB=BC,AD=CD.aBD丄AC.•••平面AAiCiC丄平面ABCD,平面AAiCiCA平面ABCD=AC,BD?平面ABCD,aBD丄平面AAiCiC.又CCi?平面AAiCiC,aBD丄CCi,故选C.4.如图，设平面aA平面B=PQ,EG丄平面a,FH丄平面a,垂足分别为G,H.为使PQ丄GH,则需增加的一个条件是（ ）EF丄平面aEF丄平面BC.PQ丄GE

D.PQ丄FH解析：选B因为EG丄平面a,PQ?平面a,所以EG丄PQ.若EF丄平面3,则由PQ?平面3得EF丄PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ丄平面EFHG，所以PQ丄GH，故选B.5.设m,n是两条不同的直线， a,3,丫是三个不同的平面，给出如下命题:①若aA3=m,n?a,n丄m,贝Un丄3；①若②若肚y贝②若肚y贝Ua//3；③若m±3, m?a,贝Um//a；④若其中正确命题的个数为（ ）解析：选B根据平面与平面垂直的性质知①正确；②中,a, 3可能平行，也可能相交，不正确；③中,a丄3m±解析：选B根据平面与平面垂直的性质知①正确；②中,a, 3可能平行，也可能相交，不正确；③中,a丄3m±3m?a时，只可能有m/a,正确；④中,m与3的位置关系可能是m//3或m?3或m与3相交，不正确.综上，可知正确命题的个数为6.如图，平面ABC丄平面ABD，/ACB=90°,CA=CB,△ABD是正三角形，0为AB中点，则图中直角三角形的个数为解析：•/CA=CB,0为AB的中点，•••CO丄AB.又平面ABC又平面ABC丄平面ABD，交线为AB,•CO丄平面ABD.•/OD?平面ABD,•CO丄OD,•△COD•/OD?平面ABD,•CO丄OD,•△COD为直角三角形.所以图中的直角三角形有△AOC,△COB,△ABC,^AOD,△BOD,△COD共6个.答案：67.如图，直二面角a-l-3点A€a,AC丄l,C为垂足，B€3BD丄l,为垂足，若AB=2,AC=BD=1,贝UCD的长为 .解析：如图，连接BC,•••二角面a-l-3为直二面角,AC?a,且AC丄l,•AC丄3又BC?3•AC丄BC,222•BC2=AB2—AC2=3,又BD丄CD,•CD=BC2—BD2=2.答案：-28.已知m,n是直线，a,3,y是平面，给出下列说法若a丄3,aA3=m,n丄m,贝Un丄a或n丄3若a//3,aAy=m,3门Y=n，贝Um//n；若m不垂直于a,则m不可能垂直于a内的无数条直线;若aA3=m,n//m且n?a,n?3贝Un//a且n//3其中正确的说法序号是 （注：把你认为正确的说法的序号都填上 ）.解析：①错，垂直于交线，不一定垂直平面；②对；③错，凡是平面内垂直于 m的射影的直线，m都与它们垂直；④对.答案：②④如图：三棱锥P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，/90°,^PAC是直角三角形，/PAC=90。，/ACP=30°，平面面ABC.求证：平面PAB丄平面PBC.证明：•••平面PAC丄平面ABC，平面PACA平面ABC=AC,PA丄AC,•PA丄平面ABC.又BC?平面ABC,：PA丄BC.又•••AB丄BC,ABAPA=A,AB?平面PAB,PA?平面PAB,•••BC丄平面PAB.又BC?平面PBC,•••平面PAB丄平面PBC.如图，边长为2的正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，AD与CE的交点为M,AC丄BC,且AC=BC.⑴求证：AM丄平面EBC；（2）求直线EC与平面ABE所成角正弦值.解：（1）证明：•••平面ACDE丄平面ABC，平面ACDEA平面ABC=AC,BC丄AC,•BC丄平面ACDE.又AM?平面ACDE,•BC丄AM.•••四边形ACDE是正方形，•AM丄CE.又BCACE=C,•AM丄平面EBC.⑵取AB的中点F，连接CF,EF.•/EA丄AC,平面ACDE丄平面ABC，平面ACDEA平面ABC=AC,•EA丄平面ABC,•EA丄CF.又AC=BC,：CF丄AB.•/EAAAB=A,•••CF丄平面AEB,•••/CEF即为直线EC与平面ABE所成的角.在Rt△CFE中，CF=2,FE=6,/ V2並tan/CEF二蔦层级二应试能力达标在圆柱的一个底面上任取一点 （该点不在底面圆周上），过该点作另一个底面的垂线,则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是 （ ）A.相交 B.平行C•异面 D•相交或平行解析：选B•••圆柱的母线垂直于圆柱的底面，所作的垂线也垂直于底面，由线面垂直的性质定理可知，二者平行.（安徽咼考）已知m,n是两条不同直线， a,B是两个不同平面，则下列命题正确的是（）A.若a,B垂直于同一平面，则 a与B平行B.若m,n平行于同一平面，则m与n平行C.若a,B不平行，则在a内不存在与B平行的直线D.若m,n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面解析：选DA项，a,B可能相交，故错误； B项，直线m,n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误； C项，若m?a,aA3=n,m//n，贝Um//伏故错误；D项，假设m,n垂直于同一平面，则必有m//n,所以原命题正确，故D项正确.TOC\o"1-5"\h\z设m,n是两条不同的直线， a,3是两个不同的平面.下列命题中正确的是 （ ）A.若a丄 3, m? a, n? 3贝Um±nB.若a// 3 m? a, n? 3贝Um/nC.若m±n, m? a,n? 3,贝U a丄 3D.若m丄a, m/ n,n/ 3,贝U a丄 3B中m,n可能为异面直线；C解析：选B中m,n可能为异面直线；C中m应与3中两条相交直线垂直时结论才成立.4.在三棱锥P-ABC中，平面PAC丄平面ABC,/PCA=90°,△ABC是边长为4的正三角形,PC=4,M是AB边上的一动点，贝UPM的最小值为（ ）A.W3B.W7C.4诵D4石P解析：选B连接CM,则由题意PC丄平面ABC,可得PC丄 /刃rCM,

所以PM=PC2+CM2,要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM丄AB时CM有最小值，此时有CM=4^2?=23，所以PM的最小值为5.如图，若边长为4和3与边长为4和2的两个矩形所在的平面互相垂直，贝yCOSa:COS3=解析：由题意，两个矩形的对角线长分别为 5,25，所以COSa=—5_-V25+427.5-,cos3=2^^，所以cosa:cos3= :27.29 296.经过平面a外一点和平面a内一点与平面a垂直的平面有个.解析：设面外的点为A,6.经过平面a外一点和平面a内一点与平面a垂直的平面有个.解析：设面外的点为A,面内的点为B,过点A作面a的垂线I,若点B恰为垂足，则所有过AB的平面均与a垂直，此时有无数个平面与a垂直；若点B不是垂足，则I与点B确定唯一平面B满足a丄3.答案：1或无数7.如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的菱形，/BCD=i20°平面PCD丄平面ABCD,PC=a,PD=2a,E为PA的中点.求证：平面EDB丄平面ABCD.证明：设ACABD=O,连接E0,贝UEO//PC.TPC=CD=a,PD=\.'2a,•PC2+CD2=PD2,•••PC丄CD.•••平面PCD丄平面ABCD，平面PCD门平面ABCD=CD,•PC丄平面ABCD,•EO丄平面ABCD.又EO?平面EDB,故有平面EDB丄平面ABCD.8.如图所示，在斜三棱柱 AiBiCi-ABC中，底面是等腰三角形,AC,D是BC的中点，侧面BBiCiC丄底面ABC.(1)求证：AD丄CCi；⑵过侧面BBiCiC的对角线BCi的平面交侧棱于点M，若AM=MAi,求证：截面MBCi丄侧面BBiCiC;

（3）若截面MBCi丄平面BBiCiC，则AM=MAi吗？请叙述你的判断理由.解：（1）证明：TAB=AC,D是BC的中点，•••AD丄BC.•••底面ABC丄平面BBiCiC，底面ABC门平面BBiCiC=BC,AD丄平面BBiCiC.又CCi?平面BBiCiC,•AD丄CCi.⑵证明：延长BiAi与BM交于点N，连接CiN.•/AM=MAi,-NAi=AiBi.-AiCi=AiN=AiBi,CiN丄BiCi,•CiN丄侧面BBiCiC•截面MBCi丄侧面BBiCiC;⑶结论正确.证明如下：过M作ME丄BCi于点E,连接DE.•••截面MBCi丄侧面BBiCiC,ME丄侧面BBiCiC.又AD丄侧面BBiCiC,ME//AD,•M,E,D,A四点共面.•••MA//侧面BBiCiC,AM//DE.•四边形AMED是平方四边形，又AM//CCi,^DE//CCi.1TBD=CD,•DE=_CCi,2i iAM=£CCi=2AAi.AM=MAi.…滋■■卜阶段质量检测（二）苴規、平面之网轲伐置关余（时间i20分钟满分i50分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）i.（广东高考）若直线li和12是异面直线，li在平面a内，12在平面B内，I是平面a与平面B的交线，则下列命题正确的是（ ）I与li,I2都不相交I与li,I2都相交C.I至多与Ii,5中的一条相交D.l至少与1l,12中的一条相交解析：选D由直线ll和12是异面直线可知11与12不平行，故11,12中至少有一条与I相交.2.已知PA丄矩形ABCD，则下列结论中不正确的是（ ）交.2.已知PA丄矩形ABCD，则下列结论中不正确的是（ ）A.PB丄BC B.PD丄CDC.PD丄BDD.PA丄BD解析：选C如图所示，由于PA丄平面ABCD，且底面ABCD为矩形，所以PA丄BD（即D正确）,BC丄PA,BC丄BA，而PAAAB=A，所以BC丄平面PAB，所以BC丄PB（即卩A正确）.同理PD丄CD（即B正确）,PD与BD不垂直，所以C不正确.3.如图，在直三棱柱ABC-AiBiCi中，D为AiBi的中点,=BBi=2,AC=25，则异面直线BD与AC所成的角为（A.30° B.45°C.60° D.90°解析：选C如图，取BiCi的中点E，连接BE,DE，则AC//A1C1//DE，则/BDE即为异面直线BD与AC所成的角.由条件可BD=DE=EB=術，所以/BDE=60°,故选C.4.如图所示，ABCD-AiBiCiDi是长方体，0是BiDi的中点，直线AiC交平面ABiDi于点M，则下列结论正确的是（ ）A,M,0三点共线A,M,O,Ai不共面A,M,C,O不共面B,Bi,O,M共面解析：选A连