2023江苏高考数学试题及答案

2024江苏高考数学试题及答案启用前

2024年一般高等学校招生全国统一考试（江苏卷）

数学

本试卷分第I卷（填空题）和第II卷（解答题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．留意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，仔细核对条形码上的准考证号、姓名，并将条形码粘贴在指定位置上．

2.选择题答案使用2B

铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号；非选择

题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清晰．

3.请根据题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．

4.保持卡面清洁，不折叠，不破损．

5.作选考题时，考生根据题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．参考公式:样本数据1x,2x,

,nx的标准差

s=

其中x为样本平均数

柱体体积公式

VSh=

其中S为底面积，h为高

一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．1.()cos6fxxπω??

=-

??

?

的最小正周期为

5

π

，其中0ω>，则ω=▲．2．一个骰子连续投2次，点数和为4的概率▲．3.

11i

i

+-表示为abi+(),abR∈，则ab+==▲．4.A={()}2

137xxx-的一条切线，则实数b＝▲．9在平面直角坐标系xOy中，设三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0)，点P（0，p）在线段AO上的一点（异于端点），设a,b,c,p均为非零实数，直线BP,CP分别与边AC,AB交于点E、F，某同学已正确求得OE的方程：11110xybcpa????

-+-=?

?????

，请你完成直线OF的方程：（▲）110xypa??

+-=

???

.10．将全体正整数排成一个三角形数阵：

123456789101112131415

．．．．．．．

根据以上排列的规律，数阵中第n行（n≥3）从左向右的第3个数为▲．

11.已知,,xyzR+

∈，满意230xyz-+=，则2

yxz

的最小值是▲．

12.在平面直角坐标系xOy中，设椭圆22

22xyab

+=1(ab>>0)的焦距为2c，以点O为圆心，a为

半径作圆M，若过点P2,0ac??

???

所作圆M的两条切线相互垂直，则该椭圆的离心率为e=

▲．

13．满意条件的三角形ABC的面积的最大值是▲．

14.设函数()331fxaxx=-+（x∈R），若对于任意1,1x∈-，都有()fx≥0成立，则实数a=▲．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边做两个锐角

α,β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的

横坐标分别为

10．（Ⅰ）求tan(αβ+)的值；（Ⅱ）求2αβ+的值．

16．如图，在四周体ABCD中，CB=CD,AD⊥BD，点E、F分

别是AB、BD的中点，求证：（Ⅰ）直线EF∥平面ACD；

（Ⅱ）平面EFC⊥平面BCD．

17．如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶

点A、B及CD的中点P处，已知AB=20km,CB=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形ABCD的区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处建筑一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO,BO,OP，设排污管道的总长为ykm．

（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：

①设∠BAO=θ(rad)，将y表示成θ的函数关系式；②设OPx=(km)，将y表示成x的函数关系式．

（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．

18．设平面直角坐标系xoy中，设二次函数()()2

2fxxxbxR=++∈的图象与两坐标轴有三个

交点，经过这三个交点的圆记为C．（Ⅰ）求实数b的取值范围；（Ⅱ）求圆C的方程；

（Ⅲ）问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论．

19.（Ⅰ）设12,,

,naaa是各项均不为零的等差数列（4n≥）

，且公差0d≠，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的挨次）是等比数列：①当n=4时，求

1

ad

的数值；②求n的全部可能值；（Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列

12,,

,nbbb，其中任意三项（按原来挨次）都不能组成等比数列．

20.若()1

13

xpfx-=，()2

223

xpfx-=?，12,,xRpp∈为常数，函数f(x)定义为：对每个给定的

实数x，()()()()()()

()112212,,fxfxfxfxfxfxfx≤??=?

>??（Ⅰ）求()()1fxfx=对全部实数x成立的充要条件（用12,pp表示）；

（Ⅱ）设,ab为两实数，满意ab+>

??

解得22x()gx在区间[)1,0-上单调递增，因此()()ma14ngxg=-=，从而a≤4，综上a＝4

二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

15．本小题考查三角函数的定义、两角和的正切、二倍角的正切公式．

解：由已知条件及三角函数的定义可知，cosαβ=

=，由于α,β为锐角，所以sin

α

β=因此1tan7,tan2

αβ==（Ⅰ）tan(αβ+)=

tantan31tantanαβ

αβ

+=--

（Ⅱ）2

2tan4tan21tan3βββ=

=-，所以()tantan2tan211tantan2αβ

αβαβ

++==--∵,αβ为锐角，∴3022παβ，y是θ的增函数，所

以当θ=

6

π

时，min10y=+P位于线段AB的中垂线上，且距离AB边

km处。18．本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．解：（Ⅰ）令x＝0，得抛物线与y轴交点是（0，b）；

令()220fxxxb=++=，由题意b≠0且Δ＞0，解得b＜1且b≠0．（Ⅱ）设所求圆的一般方程为2

x20yDxEyF++++=

令y＝0得20xDxF++=这与2

2xxb++＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b．令x＝0得2yEy+＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝―b―1．所以圆C的方程为222(1)0xyxbyb++-++=.（Ⅲ）圆C必过定点（0，1）和（－2，1）．

证明如下：将（0，1）代入圆C的方程，得左边＝02

＋12

＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右边＝0，所以圆C必过定点（0，1）．同理可证圆C必过定点（－2，1）．

19.本小题主要考查等差数列、等比数列的有关学问，考查运用分类争论的思想方法进行探究分析及论证的力量，满分16分。解：首先证明一个“基本领实”：

一个等差数列中，若有连续三项成等比数列，则这个数列的公差d0=0事实上，设这个数列中的连续三项a-d0,a,d+d0成等比数列，则a2=(d-d0)(a+d0)由此得d0=0

（1）(i)当n=4时,由于数列的公差d≠0,故由“基本领实”推知，删去的项只可能为a2或a3

①若删去2a，则由a1,a3,a4成等比数列，得(a1+2d)2=a1(a1+3d)因d≠0，故由上式得a1=－4d，即

d

a1

=－4，此时数列为－4d,－3d,－2d,－d，满意题设。②若删去a3，则由a1,a2,a4成等比数列，得(a1+d)2=a1(a1+3d)

因d≠0，故由上式得a1=d，即d

a1

=1，此时数列为d,2d,3d,4d，满意题设。综上可知，

d

a1

的值为－4或1。(ii)若n≥6，则从满意题设的数列a1,a2,……,an中删去一项后得到的数列，必有原数列中的连续三项，从而这三项既成等差数列又成等比数列，故由“基本领实”知，数列a1,a2,……,an的公差必为0，这与题设冲突，所以满意题设的数列的项数n≤5，又因题设n≥4，故n=4或5.

当n=4时，由（i）中的争论知存在满意题设的数列。

当n=5时，若存在满意题设的数列a1,a2,a3,a4,a5，则由“基本领实”知，删去的项只能是a3，从而a1,a2,a4,a5成等比数列，故

(a1+d)2=a1(a1+3d)

及

(a1+3d)2=(a1+d)(a1+4d)

分别化简上述两个等式，得a1d=d2及a1d=－5d,故d=0，冲突。因此，不存在满意题设的项数为5的等差数列。综上可知，n只能为4.

（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d′的n项等差数列b1,b1+d′,……，b1+(n-1)d′(b1d′≠0)，其中三项b1+m1d′,b1+m2d′,b1+m3d′成等比数列，这里0≤m1.

（1）当12pp-32log>时.()11

1113,,3,,xp

pxxpbfxxap--?∈?=?∈??，()2323log222log223,,3

,,xppxxpbfxxap-+-+?∈?=?∈??

当1,xpb∈，()

()

213log2102331,ppfxfx--=故()()2fxfx==23log2

3

px-+

由于()()fafb=，所以231

log23

3pabp-+-=，所以123log2,bppa-=-+即

123log2abpp+=++

当21,xpp∈时，令()()12fxfx=，则231log233xppx

-+-=，所以123log2

2

ppx+-=

，

当1232log2,

2ppxp+-??∈????

时，()()12fxfx≥，所以()()2fxfx==23log2

3xp-+1231log2,2ppxp+-??

∈????

时，()()12fxfx≤，所以()()1fxfx==13px-

()fx在区间,ab上的单调增区间的长度和12312log2

2

ppbpp+--+

-

=123log2222

ppabba

bb+++--

=-=

（2）当21pp-32log>时.()11

1113,,3,,xp

pxxpbfxxap--?∈?=?∈??，()2323log222log223,,3,,xppxxpbfxxap-+-+?∈?=?∈??

当2,xpb∈，

()

()

213log2102331,ppfxfx--=>=由于()()120,0fxfx>>，所以()()12fxfx>，故()()2fxfx==23log2

3xp-+

当1,xap