高中数学第3章圆锥曲线的方程3.1.1椭圆及其标准方程训练提升新人教版选修1

3.1.1椭圆及其标准方程课后·训练提升基础巩固1.已知F1,F2为两定点,且|F1F2|=6,若动点M满足|MF1|+|MF2|=2|F1F2|,则动点M的轨迹是()A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段答案:A解析:因为|MF1|+|MF2|=2|F1F2|=12>|F1F2|,所以动点M的轨迹是椭圆.2.若方程x23a+y2a+4=1表示焦点在yA.a>0 B.a>2C.0<a<2 D.-4<a<2答案:C解析:依题意有a+4>3a>0,解得0<a<2.3.若椭圆x225+y24=1上一点P到焦点F1的距离为3,则点P到另一焦点A.6 B.7 C.8 D.9答案:B解析:根据椭圆的定义,知|PF1|+|PF2|=2a=2×5=10,因为|PF1|=3,所以|PF2|=7.4.已知椭圆x225+y2m2=1(m>0)的左焦点为F(A.9 B.4C.3 D.2答案:B解析:依题意,椭圆焦点在x轴上,且c=3,因此25-m2=9,解得m=4(m=-4舍去).5.已知椭圆的焦距是12,且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于2,则椭圆的标准方程为(A.x24+y21516=1 BC.x2+y234=1或y2+x234=1 D.x2+y21516答案:D解析:由已知得2c=12,2a=2,解得a=1,c=14,故所求椭圆的标准方程为x2+y21516=1或y2+x6.已知动点M(x,y)满足方程(x-3)2+y2A.x225+y216=C.x225+y24=答案:A解析:依题意,动点M(x,y)到两定点(3,0),(-3,0)的距离之和等于常数10,且10>6,所以其轨迹为椭圆,且2a=10,c=3,b2=16,故动点M的轨迹方程为x225+7.(多选题)已知P是椭圆x29+y24=1上一点,椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,且cos∠F1PF2=A.△PF1F2的周长为12B.△PF1F2的面积为22C.点P到x轴的距离为2D.PF1答案:BCD解析:由椭圆的方程知a=3,b=2,c=5,则|PF1|+|PF2|=6,于是△PF1F2的周长为2a+2c=6+25,故A项错误;在△PF1F2中,由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2,即20=36-2|PF1||PF2|-23|PF1||PF2|,解得|PF1|·|PF2|=6,则△PF1F2的面积S=12|PF1||PF2|·sin∠F1PF2=12×6×223=22,故B项正确;设点P到x轴的距离为d,则△PF1F2的面积S=12|F1F2|·d=12·25d=22,得d=2105,故C项正确;PF1·PF2=|PF1|·|P8.若椭圆x25-y2m=1的焦距等于2,答案:-4或-6解析:由题意可知,-m>0,得m<0.椭圆方程化为x25+y2-m=1,若焦点在x轴上,则有2c=25-(-m)=2,解得m=-4;若焦点在y轴上,则有2c=2(-m)-5=9.已知圆(x+2)2+y2=36的圆心为M,设A为圆上任一点,N(2,0),线段AN的垂直平分线交MA于点P,则动点P的轨迹是.

答案:以M,N为焦点的椭圆解析:点P在线段AN的垂直平分线上,故|PA|=|PN|,又AM是圆M的半径,所以|PM|+|PN|=|PM|+|PA|=|AM|=6>|MN|.由椭圆的定义知,点P的轨迹是以M,N为焦点的椭圆.10.求过点P(3,0)且与圆C1:x2+y2+6x-91=0相内切的动圆圆心的轨迹方程.解:圆C1的方程可化为(x+3)2+y2=100,因此圆C1的圆心为C1(-3,0),半径r=10.设动圆圆心为C,半径为R,则依题意有|CP|=R且|CC1|=10-R.于是|CC1|+|CP|=10,即动点C到两个定点C1(-3,0),P(3,0)的距离之和等于常数10,且10>|C1P|,故动圆圆心C的轨迹为以C1(-3,0),P(3,0)为焦点的椭圆.于是设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),则2a=10,c=3,故所求动圆圆心的轨迹方程为x225+能力提升1.已知两定点A(0,-2),B(0,2),点P在椭圆x212+y216=1上,且满足|AP|-|BP|=2,A.-12 B.12 C.-9 D.9答案:D解析:由题意易知A(0,-2),B(0,2)为椭圆x212+y又a=4,所以|AP|+|BP|=2×4=8.结合|AP|-|BP|=2,得|AP|=5,|BP|=3,又因为|AB|=4,所以△ABP为直角三角形,故AP·BP=(AB+BP)·BP=|BP|2.已知P为椭圆x225+y216=1上的一点,M,N分别为圆(x+3)2+y2=1和圆(x-3)2+y2=4上的点,A.5 B.7 C.13 D.15答案:B解析:由题意知椭圆的两个焦点F1,F2分别是两圆的圆心,且|PF1|+|PF2|=10,从而|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7.3.已知点M是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意一点,两个焦点分别为F1,F2,若|MF1|·|MF2|A.8 B.4 C.22 D.2答案:C解析:因为|MF1|+|MF2|=2a,所以|MF1|·|MF2|≤|MF1|+|MF2|22=a2,当且仅当|MF1|=|MF24.已知P是椭圆x24+y2=1上一点,F1,F2是其两个焦点,则∠F1PF2的最大值为(A.3π4 B.2π3 C.答案:B解析:设|PF1|=m,|PF2|=n,则m>0,n>0,且m+n=2a=4,在△F1PF2中,由余弦定理可得cos∠F1PF2=m2+n2-122mn=(m+n)2-2mn-122mn=2mn-1,因为mn≤m+5.(多选题)对于曲线C:x29-k+yA.曲线C不可能是圆B.“3<k<9”是“曲线C是椭圆”的充分不必要条件C.“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“6<k<7”的必要不充分条件D.“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“3<k<6”的充要条件答案:CD解析:当9-k=k-3,即k=6时,方程x29-k+y2k-3=1为x2+y2=3,曲线C表示圆心是(0,0),半径为3的圆,A错误;若曲线C是椭圆,则9-k>0,k-3>0,9-k≠k-3,解得3<k<9且k≠6,所以“3<k<9”是“曲线C是椭圆”的必要不充分条件,B错误;若曲线C是焦点在y轴上的椭圆,则9-k>0,k-3>0,9-k≠k-3,k-3>9-k,解得66.已知直线2x+y-4=0过椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F2,且与椭圆E在第一象限的交点为M,与y轴交于点N,F1是椭圆E的左焦点,且|MN|=|MF1答案:x25+y2解析:直线2x+y-4=0与x轴、y轴分别交于点(2,0),(0,4),因此F2(2,0),N(0,4),于是c=2,2a=|MF1|+|MF2|=|MN|+|MF2|=|NF2|=25,所以a=5,从而b2=5-4=1,故椭圆E的方程为x25+y2=7.一条线段AB的长等于10,两端点A,B分别在x轴和y轴上滑动,点M在线段AB上,且AM+4BM=0,则点M的轨迹方程是.

答案:x24解析:设M(x,y),A(a,0),B(0,b),因为|AB|=10,所以a2+b2=10,即a2因为AM+4BM=0,所以AM=4MB,所以(x-a,y)=4(-x,b-y),得x代入a2+b2=100可得25x2+25y216=100,即x故点M的轨迹方程是x24+8.已知椭圆的两焦点为F1(-1,0),F2(1,0),点P为椭圆上一点,且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|.(1)求此椭圆的方程;(2)若点P满足∠F1PF2=120°,求△PF1F2的面积.解:(1)依题意,|F1F2|=2,椭圆长轴长2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4,即a=2,b2=a2-1