第07章-方差分析与试验设计

应用统计学

第七章方差分析与试验设计

AnalysisofVarianceand

ExperimentalDesignChap07-1《应用统计学》2005－2006学年第一学期本章学习目标通过本章的学习，你应该能够:

识别何种场合适合使用方差分析理解方差分析的原理掌握单因素方差分析的步骤，并对结果做出合理的解释理解多重比较的意义掌握双因素方差分析的步骤，并对结果做出合理的解释掌握试验设计的基本原理和方法2应用统计学》2005－2006学年第一学期第7章方差分析与试验设计7.1方差分析引论7.2单因素方差分析7.3方差分析中的多重比较7.4双因素方差分析7.5试验设计初步3应用统计学》2005－2006学年第一学期7.1方差分析引论7.1.1方差分析及其有关术语7.1.2方差分析的基本思想和原理7.1.3方差分析中的基本假定7.1.4问题的一般提法4应用统计学》2005－2006学年第一学期什么是方差分析?检验多个总体均值是否相等通过分析数据的误差判断各总体均值是否相等研究分类型自变量对数值型因变量的影响一个或多个定类尺度的自变量两个或多个(k个)处理水平或分类一个定距或定比尺度的因变量有单因素方差分析和双因素方差分析单因素方差分析：涉及一个定类的自变量双因素方差分析：涉及两个定类的自变量5应用统计学》2005－2006学年第一学期什么是方差分析?(例题分析)消费者对四个行业的投诉次数行业观测值零售业旅游业航空公司家电制造业12345675766494034534468392945565131492134404451657758【例】为了对几个行业的服务质量进行评价，消费者协会在四个行业分别抽取了不同的企业作为样本。最近一年中消费者对总共23家企业投诉的次数如下表6应用统计学》2005－2006学年第一学期什么是方差分析?(例题分析)分析四个行业之间的服务质量是否有显著差异，也就是要判断“行业”对“投诉次数”是否有显著影响作出这种判断最终被归结为检验这四个行业被投诉次数的均值是否相等若它们的均值相等，则意味着“行业”对投诉次数是没有影响的，即它们之间的服务质量没有显著差异；若均值不全相等，则意味着“行业”对投诉次数是有影响的，它们之间的服务质量有显著差异7应用统计学》2005－2006学年第一学期方差分析中的有关术语因素或因子(factor)所要检验的对象要分析行业对投诉次数是否有影响，行业是要检验的因素或因子水平或处理(treatment)因子的不同表现零售业、旅游业、航空公司、家电制造业就是因子的水平观察值在每个因素水平下得到的样本数据每个行业被投诉的次数就是观察值8应用统计学》2005－2006学年第一学期方差分析中的有关术语试验这里只涉及一个因素，因此称为单因素四水平的试验总体因素的每一个水平可以看作是一个总体比如零售业、旅游业、航空公司、家电制造业可以看作是四个总体样本数据被投诉次数可以看作是从这四个总体中抽取的样本数据9应用统计学》2005－2006学年第一学期方差分析的基本思想和原理

(图形分析)零售业旅游业航空公司家电制造10应用统计学》2005－2006学年第一学期从散点图上可以看出不同行业被投诉的次数是有明显差异的同一个行业，不同企业被投诉的次数也明显不同家电制造被投诉的次数较高，航空公司被投诉的次数较低行业与被投诉次数之间有一定的关系如果行业与被投诉次数之间没有关系，那么它们被投诉的次数应该差不多相同，在散点图上所呈现的模式也就应该很接近方差分析的基本思想和原理

(图形分析)11应用统计学》2005－2006学年第一学期仅从散点图上观察还不能提供充分的证据证明不同行业被投诉的次数之间有显著差异这种差异也可能是由于抽样的随机性所造成的需要有更准确的方法来检验这种差异是否显著，也就是进行方差分析所以叫方差分析，因为虽然我们感兴趣的是均值，但在判断均值之间是否有差异时则需要借助于方差这个名字也表示：它是通过对数据误差来源的分析判断不同总体的均值是否相等。因此，进行方差分析时，需要考察数据误差的来源方差分析的基本思想和原理12应用统计学》2005－2006学年第一学期比较两类误差，以检验均值是否相等比较的基础是方差比如果系统(处理)误差明显地不同于随机误差，则均值就是不相等的；反之，均值就是相等的误差是由各部分的误差占总误差的比例来测度的方差分析的基本思想和原理13应用统计学》2005－2006学年第一学期方差分析的基本思想和原理

(两类误差)随机误差因素的同一水平(总体)下，样本各观察值之间的差异比如，同一行业下不同企业被投诉次数是不同的这种差异可以看成是随机因素的影响，称为随机误差

系统误差因素的不同水平(不同总体)下，各观察值之间的差异比如，不同行业之间的被投诉次数之间的差异这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能是由于行业本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素造成的，称为系统误差14应用统计学》2005－2006学年第一学期方差分析的基本思想和原理

(两类方差)数据的误差用平方和(sumofsquares)表示，称为方差组内方差(withingroups)因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差比如，零售业被投诉次数的方差组内方差只包含随机误差组间方差(betweengroups)因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差比如，四个行业被投诉次数之间的方差组间方差既包括随机误差，也包括系统误差15应用统计学》2005－2006学年第一学期方差分析的基本思想和原理

(方差的比较)若不同行业对投诉次数没有影响，则组间误差中只包含随机误差，没有系统误差。这时，组间误差与组内误差经过平均后的数值就应该很接近，它们的比值就会接近1若不同行业对投诉次数有影响，在组间误差中除了包含随机误差外，还会包含有系统误差，这时组间误差平均后的数值就会大于组内误差平均后的数值，它们之间的比值就会大于1当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在着显著差异，也就是自变量对因变量有影响判断行业对投诉次数是否有显著影响，实际上也就是检验被投诉次数的差异主要是由于什么原因所引起的。如果这种差异主要是系统误差，说明不同行业对投诉次数有显著影响16应用统计学》2005－2006学年第一学期方差分析的基本假定每个总体都应服从正态分布对于因素的每一个水平，其观察值是来自服从正态分布总体的简单随机样本比如，每个行业被投诉的次数必需服从正态分布各个总体的方差必须相同各组观察数据是从具有相同方差的总体中抽取的比如，四个行业被投诉次数的方差都相等观察值是独立的比如，每个行业被投诉的次数与其他行业被投诉的次数独立17应用统计学》2005－2006学年第一学期方差分析中的基本假定在上述假定条件下，判断行业对投诉次数是否有显著影响，实际上也就是检验具有同方差的四个正态总体的均值是否相等如果四个总体的均值相等，可以期望四个样本的均值也会很接近四个样本的均值越接近，推断四个总体均值相等的证据也就越充分样本均值越不同，推断总体均值不同的证据就越充分

18应用统计学》2005－2006学年第一学期问题的一般提法设因素有k个水平，每个水平的均值分别用

1,

2,,

k

表示要检验k个水平(总体)的均值是否相等，需要提出如下假设：

H0：

1

2…

k

H1：

1,

2,，

k

不全相等设

1为零售业被投诉次数的均值，

2为旅游业被投诉次数的均值，3为航空公司被投诉次数的均值，

4为家电制造业被投诉次数的均值，提出的假设为H0：

1

2

3

4

H1：

1,

2,

3,

4

不全相等19应用统计学》2005－2006学年第一学期7.2单因素方差分析7.2.1数据结构7.2.2分析步骤7.2.3关系强度的测量7.2.4用Excel进行方差分析20应用统计学》2005－2006学年第一学期单因素方差分析的数据结构观察值(j)因素

i

水平1

水平2

…水平k12::n

x11

x21

…xk1x12

x22

…xk2::::::::x1n

x2n

…xkn21应用统计学》2005－2006学年第一学期单因素方差分析的假设原假设所有总体的均值相等也就是说,因素中的不同水平没有造成显著的差异（notreatmenteffect）

备择假设至少有一个总体的均值不相等

也就是说,因素中的不同水平造成显著的差异（thereisatreatmenteffect）备择假设并不表示所有的总体均值都不相等(某些总体均值可能是相等的)22应用统计学》2005－2006学年第一学期单因素方差分析

所有总体的均值相等:原假设为真的情形

(NoTreatmentEffect)23应用统计学》2005－2006学年第一学期单因素方差分析

至少有一个总体的均值不相等:原假设不真的情形(TreatmentEffectispresent)或24应用统计学》2005－2006学年第一学期观察值之间差异的分解观察值之间存在着差异，差异可以分为两个部分:SST表示总离差平方和（SumofSquaresforTotal）SSA表示水平项离差平方和（SumofSquaresforFactorA）SSE表示误差项离差平方和（SumofSquaresforError）SST=SSA+SSE25应用统计学》2005－2006学年第一学期观察值之间差异的分解SST总离差平方和=所有观测值与总均值的离差平方和，反映了离差平方和的总体情况SSE误差项离差平方和=各水平内观察值与各水平均值的离差平方和之和，反映的是各水平内部的差异情况SSA水平项离差平方和=各水平均值与总均值的离差平方和，反映的是各水平间的差异情况SST=SSA+SSE26应用统计学》2005－2006学年第一学期观察值之间差异的分解因素A造成的差异(SSA)随机抽样造成的差异(SSE)总离差平方和(SST)还称为:SumofSquaresWithinSumofSquaresErrorSumofSquaresUnexplainedWithinGroupsVariation还称为:SumofSquaresBetweenSumofSquaresAmongSumofSquaresExplainedAmongGroupsVariation=+27应用统计学》2005－2006学年第一学期总离差平方和其中:

SST=总离差平方和 k=总体的个数(因素水平的个数)

ni=第i个总体中观测值的个数

xij=第i个总体的第j个观测值 x=总均值(所有观测值的算术平均数)SST=SSA+SSE28应用统计学》2005－2006学年第一学期总离差平方和29应用统计学》2005－2006学年第一学期水平项离差平方和其中:

SSA=水平项离差平方和 k=总体的个数(因素水平的个数)

ni=第i个总体中观测值的个数 xi=第i个总体（水平）的均值 x=总均值(所有观测值的算术平均数)SST=SSA+SSE30应用统计学》2005－2006学年第一学期水平项离差平方和31应用统计学》2005－2006学年第一学期水平项离差平方和反映的是各水平间的差异情况平均平方MSA=SSA/自由度32应用统计学》2005－2006学年第一学期误差项离差平方和其中:

SSE=误差项离差平方和 k=总体的个数(因素水平的个数)

ni=第i个总体中观测值的个数 xi=第i个总体（水平）的均值

xij=第i个总体的第j个观测值SST=SSA+SSE33应用统计学》2005－2006学年第一学期误差项离差平方和34应用统计学》2005－2006学年第一学期误差项离差平方和反映的是各水平内部的差异情况，然后把各水平差异情况加总求得平均平方MSE=SSE/自由度35应用统计学》2005－2006学年第一学期单因素方差分析表方差来源自由度df离差平方和SS平均平方MS组间SSAMSA=组内n-kSSEMSE=总差异n-1SST=SSA+SSEk-1MSAMSEF值k=总体的个数(因素水平的个数)n=全部观测值的个数SSAk-1SSEn-kF=36应用统计学》2005－2006学年第一学期检验的统计量(F分布与拒绝域)如果均值相等，F=MSA/MSE

1a

F分布F

(k-1,n-k)0拒绝H0不能拒绝H0F37应用统计学》2005－2006学年第一学期关系强度的测量

拒绝原假设表明因素(自变量)与观测值之间有关系组间平方和(SSA)度量了自变量(行业)对因变量(投诉次数)的影响效应只要组间平方和SSA不等于0，就表明两个变量之间有关系(只是是否显著的问题)当组间平方和比组内平方和(SSE)大，而且大到一定程度时，就意味着两个变量之间的关系显著，大得越多，表明它们之间的关系就越强。反之，就意味着两个变量之间的关系不显著，小得越多，表明它们之间的关系就越弱38应用统计学》2005－2006学年第一学期关系强度的测量

变量间关系的强度用自变量平方和(SSA)及残差平方和(SSE)占总平方和(SST)的比例大小来反映自变量平方和占总平方和的比例记为R2,即其平方根R就可以用来测量两个变量之间的关系强度

39应用统计学》2005－2006学年第一学期用Excel进行方差分析EXCEL:工具|数据分析|方差分析:单因素方差分析40应用统计学》2005－2006学年第一学期用Excel进行方差分析（输出结果）41应用统计学》2005－2006学年第一学期7.3方差分析中的多重比较7.3.1多重比较的目的7.3.2多重比较的方法42应用统计学》2005－2006学年第一学期方差分析中的多重比较通过对总体均值之间的配对比较来进一步检验到底哪些均值之间存在差异可采用Fisher提出的最小显著差异方法，简写为LSDLSD方法是对检验两个总体均值是否相等的t检验方法的总体方差估计加以修正(用MSE来代替)而得到的43应用统计学》2005－2006学年第一学期方差分析中的多重比较

(步骤)提出假设H0:mi=

mj

(第i个总体的均值等于第j个总体的均值)H1:mi

mj

(第i个总体的均值不等于第j个总体的均值)计算检验的统计量:

计算LSD决策：若，拒绝H0；

若，不能拒绝H044应用统计学》2005－2006学年第一学期方差分析中的多重比较

(例题分析)第1步：提出假设检验1：检验2：检验3：检验4：检验5：检验6：45应用统计学》2005－2006学年第一学期方差分析中的多重比较

(例题分析)第2步：计算检验统计量检验1：检验2：检验3：检验4：检验5：检验6：46应用统计学》2005－2006学年第一学期方差分析中的多重比较

(例题分析)第3步：计算LSD检验1：检验2：检验3：检验4：检验5：检验6：47应用统计学》2005－2006学年第一学期方差分析中的多重比较

(例题分析)第4步：作出决策零售业与旅游业均值之间没有显著差异

零售业与航空公司均值之间没有显著差异

零售业与家电业均值之间没有显著差异

旅游业与航空业均值之间没有显著差异旅游业与家电业均值之间没有显著差异航空公司与家电业均值有显著差异48应用统计学》2005－2006学年第一学期7.4双因素方差分析7.4.1双因素方差分析及其类型7.4.2无交互作用的双因素方差分析7.4.3有交互作用的双因素方差分析49应用统计学》2005－2006学年第一学期双因素方差分析分析两个因素(行因素Row和列因素Column)对试验结果的影响如果两个因素对试验结果的影响是相互独立的，分别判断行因素和列因素对试验数据的影响，这时的双因素方差分析称为无交互作用的双因素方差分析或无重复双因素方差分析(Two-factorwithoutreplication)如果除了行因素和列因素对试验数据的单独影响外，两个因素的结合还会对结果产生一种新的影响，这时的双因素方差分析称为有交互作用的双因素方差分析或可重复双因素方差分析(Two-factorwithreplication)50应用统计学》2005－2006学年第一学期无交互作用的双因素方差分析(数据结构)观察值列因素xi•

列1

列2

…列r行因素行1行2::行k

x11

x12

…x1r

x21

x22

…x2r::::::::

xk1

xk2

…

xkrx1•x2•::

xk•x•jx•1

x•2

…x•rx51应用统计学》2005－2006学年第一学期无交互作用的双因素方差分析

(提出假设)提出假设对行因素提出的假设为H0：m1=m2=…=mi=…=

mk(mi为第i个水平的均值)H1：mi

(i=1,2,…,k)

不全相等对列因素提出的假设为H0：m1=m2=…=

mj=…=

mr(mj为第j个水平的均值)H1：

mj

(j=1,2,…,r)

不全相等52应用统计学》2005－2006学年第一学期无交互作用的双因素方差分析

（差异的分解）SST总离差平方和SSR行因素造成的差异SSC列因素造成的差异SSE随机抽样造成的差异自由度:k–1r–1n–k–r+1n-1SST=SSR+SSC+SSE53应用统计学》2005－2006学年第一学期无交互作用的双因素方差分析

（差异的分解）总离差平方和:行因素的离差平方和:列因素的离差平方和:误差项离差平方和:54应用统计学》2005－2006学年第一学期其中:k=行因素水平的个数r=列因素水平的个数n=全部观测值的个数55应用统计学》2005－2006学年第一学期无交互作用的双因素方差分析

（平均平方的计算）56应用统计学》2005－2006学年第一学期无交互作用的双因素方差分析

（F检验统计量）H0:μR1=μR2=μR3

=

•••H1:μRi

不全相等H0:μC1=μC2=μC3

=

•••H1:μCi

不全相等如果FR>F

拒绝H0如果FC>F

拒绝H057应用统计学》2005－2006学年第一学期无交互作用的双因素方差分析

（方差分析表）差异源离差平方和SS自由度df平均平方MSF值行因素SSRk–1MSR

=SSR

/(k–1)MSR

MSE列因素SSCr–1MSC=SSC

/(r–1)MSC

MSE误差SSEn–k–r+1MSE=SSE/(n–k–r+1)总计SSTn–158应用统计学》2005－2006学年第一学期无交互作用的双因素方差分析

(例题分析)不同品牌的彩电在各地区的销售量数据品牌因素地区因素地区1地区2地区3地区4地区5品牌1品牌2品牌3品牌4365345358288350368323280343363353298340330343260323333308298【例】有4个品牌的彩电在5个地区销售，为分析彩电的品牌(品牌因素)和销售地区(地区因素)对销售量是否有影响，对每种品牌在各地区的销售量取得以下数据。试分析品牌和销售地区对彩电的销售量是否有显著影响？(=0.05)

59应用统计学》2005－2006学年第一学期无交互作用的双因素方差分析

(例题分析)

结论：

FR＝18.10777>F

＝3.4903，拒绝原假设H0，说明彩电的品牌对销售量有显著影响

FC＝2.100846<F

＝3.2592，不能拒绝原假设H0，说明销售地区对彩电的销售量没有显著影响60应用统计学》2005－2006学年第一学期无交互作用的双因素方差分析

(关系强度的测量)行平方和(行SS)度量了品牌这个自变量对因变量(销售量)的影响效应列平方和(列SS)度量了地区这个自变量对因变量(销售量)的影响效应这两个平方和加在一起则度量了两个自变量对因变量的联合效应联合效应与总平方和的比值定义为R2其平方根R反映了这两个自变量合起来与因变量之间的关系强度61应用统计学》2005－2006学年第一学期无交互作用的双因素方差分析

(关系强度的测量)例题分析品牌因素和地区因素合起来总共解释了销售量差异的83.94%其他因素(残差变量)只解释了销售量差异的16.06%R=0.9162，表明品牌和地区两个因素合起来与销售量之间有较强的关系62应用统计学》2005－2006学年第一学期有交互作用的双因素方差分析

（差异的分解）SST总离差平方和SSR行因素造成的差异SSC列因素造成的差异SSRC交互作用造成的差异SSE随机抽样造成的差异自由度：k–1r–1(k–1)(r–1)kr(m-1)n-1SST=SSR+SSC+SSRC+SSE63应用统计学》2005－2006学年第一学期有交互作用的双因素方差分析

（差异的分解）总离差平方和:行因素的离差平方和:列因素的离差平方和:64应用统计学》2005－2006学年第一学期有交互作用的双因素方差分析

（差异的分解）交互作用的离差平方和:误差项的离差平方和:65应用统计学》2005－2006学年第一学期有交互作用的双因素方差分析

（平均平方的计算）66应用统计学》2005－2006学年第一学期有交互作用的双因素方差分析

（F检验统计量）H0:μR1=μR2=μR3

=

•••H1:μRi

不全相等H0:μC1=μC2=μC3

=

•••H1:μCi

不全相等如果FR>F

拒绝H0如果FC>F

拒绝H0H0:行因素和列因素无交互作用

H1:行因素和列因素存在交互作用如果FRC>F

拒绝H067应用统计学》2005－2006学年第一学期有交互作用的双因素方差分析

（方差分析表）差异源离差平方和SS自由度df平均平方MSF值行因素SSRk–1MSR

=SSR

/(k–1)MSR

MSE列因素SSCr–1MSC=SSC

/(r–1)MSC

MSE交互作用SSRC(k-1)(r-1)MSRC=SSRC

/(k-1)(r–1)MSRC

MSE误差SSEkr(m-1)MSE=SSE/kr(m-1)总计SSTn–168应用统计学》2005－2006学年第一学期有交互作用的双因素方差分析

(例题分析)【例】城市道路交通管理部门为研究不同的路段和不同的时间段对行车时间的影响，让一名交通警察分别在两个路段和高峰期与非高峰期亲自驾车进行试验，通过试验取得共获得20个行车时间(分钟)的数据，如下表。试分析路段、时段以及路段和时段的交互作用对行车时间的影响。69应用统计学》2005－2006学年第一学期有交互作用的双因素方差分析

(例题分析)

结论：

FR＝44.0633>F

＝4.494，拒绝原假设H0，说明时段对行车时间有显著影响

FC＝23.4051>F

＝4.494，拒绝原假设H0，说明路段对行车时间也有显著影响FRC＝0.01266<F

＝4.494，不能拒绝原假设H0，没有证据表明时段和路段的交互作用对行车时间有显著影响。70应用统计学》2005－2006学年第一学期交互作用的示意图无交互作用:12列因素的水平1列因素的水平3列因素的水平2行因素的水平12列因素的水平1列因素的水平3列因素的水平2行因素的水平因变量因变量有交互作用71应用统计学》2005－2006学年第一学期7.5试验设计初步7.5.1完全随机化设计7.5.2随机化区组设计7.5.3因子设计72应用统计学》2005－2006学年第一学期完全随机化设计

(completelyrandomizeddesign)“处理”被随机地指派给试验单元的一种设计“处理”是指可控制的因素的各个水平“试验单元(experimentunit)”是接受“处理”的对象或实体在试验性研究中，感兴趣的变量是明确规定的，因此，研究中的一个或多个因素可以被控制，使得数据可以按照因素如何影响变量来获取对完全随机化设计的数据采用单因素方差分析73应用统计学》2005－2006学年第一学期完全随机化设计

(例题分析)【例】