导数与微分的matlab求解

第7章

导数与微分的MATLAB求解编者Outline7.1导数概念7.2导数的MATLAB符号求解7.3函数的微分7.4微分中值定理7.5洛必达法则7.6泰勒公式7.7函数的单调性与曲线的凹凸性7.8函数的极值与最值7.9曲线的渐近线7.10曲率7.11方程的近似解7.12导数的数值求解7.1导数概念1.导数的定义

设函数

在点

的某个邻域内有定义，当自变量

在

处取得增量

（假设点

仍在该邻域内）时，相应的函数取得增量

；如果

与

之比当

时的极限存在，则称函数

在点

处可导，并称这个极限为函数

在点

处的导数，记为，即也可记作

或

。

将上面导数的定义式中的

换为

即可得到导函数的定义式

根据函数

在点

处的导数

的定义，导数是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等，因此

存在即

在点

处可导的充分必要条件是左、右极限

及

都存在且相等。这两个极限分别称为函数

在点

处的左导数和右导数，记作

及

，即

现在可以说，函数

在点

处可导的充分必要条件是左导数

和右导数

都存在且相等。2.导数的几何意义

函数

在点

处的导数

在几何上表示曲线

在点

处的切线的斜率，即

其中

是切线的倾角。

如果函数

在点

处的导数为无穷大，这时曲线

的割线以垂直于

轴的直线

为极限位置，即曲线

在点

处具有垂直于

轴的切线

。7.2导数的MATLAB符号求解1.函数的导数与高阶导数MATLAB符号工具箱中提供了函数diff来求取一般函数的导数以及高阶导数，该函数的调用格式如下：D=diff(fx,x,n)运行结果如图所示。

图函数导数的图形直观表示2.隐函数的导数

方程

表示一个函数，因为当自变量

在

内取值时，变量

有确定的值与之对应。例如，当

时，

；当

时，

，等等，这样的函数称为隐函数。

一般的，如果变量

和

满足一个方程

，在一定条件下，当

取某区间内的任一值时，相应的总有满足这方程的唯一的

值存在，那么就说方程

在该区间内确定了一个隐函数。

隐函数求导的一般采用如下步骤：方程两边同时对

求导，这里应注意

；整理求得

的表达式，即为隐函数的导数。3.由参数方程所确定的函数的导数

若已知参数方程

，则

可以由如下递推公式求出：7.3函数的微分微分的定义

设函数

在某区间内有定义，

及

在该区间内，如果增量可表示为

其中

是不依赖于

的常数，那么称函数

在点

是可微的，而

叫做函数

在点

相应于自变量增量

的微分，记作

，即

下面讨论函数可微的条件。设函数

在点

可微，则由

两边同时除以

，得

于是，当

时，由上式就可得到

因此，如果函数

在点

可微，则

在点

也一定可导（即

存在），且

反之，如果

在点

可导，即

存在，根据极限与无穷小的关系，上式可写成

其中

，由此又有

因

，且

不依赖于

，故

所以函数

在点

也是可微的。

通常把自变量

的增量

称为自变量的微分，记作

，即

。于是，函数

的微分又可记作

从而有

，这就是说，函数的微分

与自变量的微分

之商等于该函数的导数。因此，导数也叫做“微商”。2.微分的几何意义

在直角坐标系中，函数

的图形是一条曲线。对于某一固定的

值，曲线上有一个确定点

，当自变量

有微小增量

时，就得到曲线上另一点

，由图可知：

过点

作曲线的切线

，它的倾角为

，则

即

。

微分的几何意义7.4微分中值定理1.罗尔定理

为更好地理解罗尔定理，先介绍费马引理：设函数

在点

的某邻域

内有定义，并且在

处可导，如果对任意的

，有那么

。

介绍罗尔定理，如果函数

满足：在闭区间

上连续；在开区间

内可导；在区间端点处的函数值相等，即

。那么在

内至少有一点

，使得

。罗尔定理的直观演示如图所示。

图

罗尔定理图形直观表示

2.拉格朗日中值定理

罗尔定理中

这个条件是相当特殊的，它使罗尔定理的应用受到限制。如果把

这个条件取消，但仍保留其余两个条件，并相应的改变结论，那么就得到微分学中十分重要的拉格朗日中值定理。

如果函数

满足：在闭区间

上连续；在开区间

内可导；那么在

内至少有一点

，使得

成立。

关于拉格朗日中值定理的证明此处从略，这里仅介绍该定理的几何意义，如图所示。由于上式可以改写为且

为弦

的斜率，而

为曲线在点

处的切线的斜率。因此拉格朗日中值定理的几何意义是：如果连续曲线

的弧

上除端点外处处具有不垂直于

轴的切线，那么该弧上至少有一点

，使曲线在

点处的切线平行于弦

。而且易知，罗尔定理是拉格朗日中值定理的一种特殊情形。

拉格朗日中值定理图形直观表示3.柯西中值定理

前面已经指出，如果连续曲线弧

上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线，那么这段弧上至少有一点

，使曲线在点

处的切线平行于弦

。设

由参数方程表示，如图所示。其中

为参数，那么曲线上点

处的切线的斜率为弦

的斜率为

假定点

对应于参数

，那么曲线上点

处的切线平行于弦

，可表示为

柯西中值定理图形直观表示7.5洛必达法则1.型洛必达法则如果当

时，两个函数

与

都区域零或趋于无穷大，那么极限可能存在，也可能不存在。通常把这种极限叫做未定式，并分别简记为

或

。关于未定式极限我们通常使用洛必达法（L'Hospital）则求解，本小节先介绍

和

时的

型未定式的求解方法。这里不加证明的给出如下两个定理：设函数

与

满足：当

时，函数

与

都趋于无穷大；在点

的某去心邻域内，

与

都存在且

；

存在（或为无穷大），那么2.型洛必达法则

下面我们着重介绍

型的洛必达法则，事实上，这种形式的洛必达法则在实际中用的

较多，而且

型也可以由

型变换得到，关于该种类型的洛必达法则同样有以下两个定理：

设函数

与

满足：当

时，函数

与

都趋于零；在点

的某去心邻域内，

与

都存在且

；

存在（或为无穷大），那么7.6泰勒公式

泰勒（Taylor）中值定理：如果函数

在含有

的某个开区间

内具有直到

阶的导数，则对任一

，有

其中这里

是

与

之间的某个值。

多项式

称为函数

按

的幂展开的

次泰勒多项式，上述公式称为

按

的幂展开的带有拉格朗日型余项的

阶泰勒公式，而

称为拉格朗日型余项。7.7函数的单调性与曲线的凹凸性函数单调性的判定法

设函数

在

上连续，在

内可导，在

上任取两点

，应用拉格朗日中值定理，得到由于

，因此，如果在

内导数

保持正号，即

，那么也有

。于是

即表明函数

在

上单调增加。同理，如果在

内导数

保持负号，即

，那么也有

。于是

，即

，表明函数

在

上单调减少。

归纳以上讨论，即得以下定理：设函数

在

上连续，在

内可导，如果在

内

，那么函数

在

上单调增加；如果在

内

，那么函数

在

上单调减少。2.曲线的凹凸性与拐点

我们从几何上可以看到，在有的曲线弧上，如果任取两点，则联结这两点间的弦总位于这两点间的弧段的上方，而有的曲线弧，则正好相反。曲线的这种性质就是曲线的凹凸性。因此曲线的凹凸性可以用联结曲线弧上任意两点的弦的中点与曲线弧上相应点（即具有相同横坐标的点）的位置关系来描述，下面给出曲线凹凸性的定义。

设

在区间

上连续，如果对

上任意两点

，恒有那么称

在

上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有那么称

在

上的图形是（向上）凸的（或凸弧）。

如果函数

在区间

内具有二阶导数，那么可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性，这就是下面的曲线凹凸性的判定定理。这里仅就

为闭区间的情形来叙述曲线凹凸性的判定定理，当

不是闭区间时，定理类同。

设

在区间

上连续，在

内具有一阶和二阶导数，那么若在

内

，则

在

上的图形是凹的；若在

内

，则

在

上的图形是凸的。

一般的，设

在区间

上连续，

是

的内点，如果曲线

在经过点

时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点

为曲线的拐点。7.8函数的极值与最值1.函数的极值及其求法

设函数

在点

的某邻域

内有定义，如果对于去心邻域

内的任一

，有那么就称

是函数

的一个极大值（或极小值）。

函数的极大值与极小值统称为函数的极值，使函数取得极值的点称为极值点。下面给出可导函数取得极值的必要条件和充分条件：必要条件：设函数

在点

处可导，且在

处取得极值，那么

。第一充分条件：设函数

在点

处连续，且在

的某去心邻域

内可导，若

时，

，而在

时，

，则

在点

处取得极大值；若

时，

，而在

时，

，则

在点

处取得极小值；若

时，

的符号保持不变，则

在

处没有极值。

第二充分条件：设函数

在点

处具有二阶导数，且

，

，那么当

时，函数

在

处取得极大值；当

时，函数

在

处取得极小值。2.最大值最小值问题

在求函数的最大值（或最小值）时，特别值得指出的是下述情：

在一个区间（有限或无限、开或闭）内可导且只有一个驻点，并且这个驻点

是函数

的极值点，那么，当

是极大值时，

就是

在该区间上的最大值；当

是极小值时，

就是

在该区间上的最小值。7.9曲线的渐近线

如果存在直线

，使得当

时，曲线

上的动点

到直线

的距离

，则称

为曲线

的渐近线。

渐近线通常有以下三种：水平渐近线：如果函数

的定义域是无限区间，且

，其中

为常数，则直线

为曲线

的水平渐近线；垂直渐近线：如果存在常数

，使得

，则称直线

为曲线

的垂直渐近线；斜渐近线：如果

成立，则称

是曲线

的斜渐近线，可以证明：

7.10曲率1.弧微分

函数

在区间

内具有连续导数。在曲线

上取固定点

作为度量弧长的基点（如图所示），并规定依

增大的方向作为曲线的正向。对曲线上任一点

，规定有向弧段

的值

（简称为弧

）如下：

的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段

的方向与曲线的正向一致时

，相反时

。显然，弧

与

存在函数关系

，而且

为

的单调增加函数。而且我们可以求得

这就是弧微分公式。

图

弧微分求解示意图2.曲