第九章矩阵位移法

第九章矩阵位移法第1页，课件共76页，创作于2023年2月Chap9矩阵位移法9-1概述9-2局部坐标系下单元刚度矩阵9-3整体坐标系下单元刚度矩阵9-4结构的整体刚度矩阵9-5等效结点荷载9-6矩阵位移法计算举例第2页，课件共76页，创作于2023年2月§9-1概述

基本概念，基本思路。

矩阵位移法就是以位移法为理论基础，以矩阵为表现形式，以计算机为运算工具的一种结构内力分析方法。

第3页，课件共76页，创作于2023年2月1、基本思路首先将结构离散成为有限个独立的单元，进行单元分析，建立单元杆端力与单元杆端位移之间的关系式——单元刚度方程；然后利用结构的变形连续条件和平衡条件将各单元组合成整体，进行整体分析，建立结点力与结点位移之间的关系式——整体刚度方程；最后求得结构的位移和内力。

第4页，课件共76页，创作于2023年2月2、基本概念结构的离散化，是把结构假想地划分成若干个相互分离的有限个独立杆件，其中每个独立的杆件称为单元，用字母e表示，单元与单元之间用结点连接。用这样离散化的单元集合体来代替原结构，其目的是为了将问题简化，以便于进行单元分析。通常用①，②，…表示单元编号，用1，2，…表示结点编号。第5页，课件共76页，创作于2023年2月2、基本概念局部坐标系，也称为单元坐标系，在杆单元中，局部坐标系轴与杆轴重合，坐标原点放在单元的某一端1点（始端）上，从1端指向单元另一端2端（终端）的方向为轴正向，自轴顺时针旋转的方向为轴正向，用符号表示单元坐标系，其中字母的上面都划上一横线作为局部坐标系的标志。局部坐标系用来描述单元的变形和杆端力。每个单元都有各自独立的局部坐标系，方向一般不同。第6页，课件共76页，创作于2023年2月2、基本概念整体坐标系，不随单元方向变化而变化，用来描述结构整体的变形和受力。在一个结构中，整体坐标系只有唯一的一个，用符号xoy表示。杆端力。作用在单元两端的力称为杆端力，在平面杆件结构中，一般情况下，单元每端有三个杆端力分量，即轴力、剪力、弯矩。单元e的杆端力向量表示如下：

第7页，课件共76页，创作于2023年2月2、基本概念

杆端力向量中的元素就是传统意义上的内力，即分别为单元始端截面的轴力、剪力、弯矩和终端截面的轴力、剪力、弯矩，只是正负号规定不尽相同。前面章节中内力的符号规定是轴力以拉力为正，剪力以绕杆端截面顺时针转为正，弯矩以下侧受拉为正；而杆端力向量中轴力、剪力以与单元坐标的方向一致为正，弯矩以绕杆端截面顺时针转为正。第8页，课件共76页，创作于2023年2月2、基本概念杆端位移，指单元在杆端力作用下会产生变形，该变形会使单元产生位移，单元两端点的位移。在平面杆件结构中，一般情况下，单元每端有三个位移分量，即轴向位移、竖向位移和转角。杆端位移的符号均规定与坐标轴的正向一致时为正，其中转角以顺时针方向为正，单元杆端位移向量表示如下：

第9页，课件共76页，创作于2023年2月§9-2局部坐标系下单元刚度矩阵

局部坐标系下的刚度方程推导，刚度矩阵的性质

第10页，课件共76页，创作于2023年2月1、一般单元的刚度方程

本书所讨论的问题仅限于线性变形体系的范畴，不必考虑轴向变形和弯曲变形的相互影响，故可以应用叠加原理。

设单元杆端位移分量是已知的根据胡克定律得：

…（9-1）第11页，课件共76页，创作于2023年2月1、一般单元的刚度方程

根据转角位移方程得：式(9-1)、(9-2)即为局部坐标系下平面刚架一般单元的单元刚度方程，写成矩阵形式则有:

…（9-2）第12页，课件共76页，创作于2023年2月1、一般单元的刚度方程

式(9-1)、(9-2)即为局部坐标系下平面刚架一般单元的单元刚度方程，写成矩阵形式则有:

…（9-3）第13页，课件共76页，创作于2023年2月1、一般单元的刚度方程

令：则，式(9-3)可简写成：即为一般单元的刚度方程。其中称为局部坐标系中的单元刚度矩阵。

…（9-4）

…（9-5）第14页，课件共76页，创作于2023年2月2、一般单元刚度矩阵的性质

（1）单元刚度系数的意义

单元刚度矩阵中的每个元素称为单元刚度系数，其物理意义表示由于单位杆端位移引起的杆端力。第i行第j列元素代表当第j个杆端位移分量等于1（其他位移分量为零）时引起的第i个杆端力分量的值。行数=杆端力向量分量数，列数=杆端位移列向量分量数。（2）对称性：单元刚度矩阵是一个对称矩阵。（反力互等）（3）奇异性：单元刚度矩阵是一个奇异矩阵。（行列式为零）

第15页，课件共76页，创作于2023年2月3、特殊单元的刚度矩阵（1）平面桁架单元刚度矩阵

杆件两端仅有轴向力，杆件只产生拉压变形其中：第16页，课件共76页，创作于2023年2月3、特殊单元的刚度矩阵（2）连续梁单元刚度矩阵

若不计轴向变形，连续梁每个结点既无水平位移，也无竖向位移。

其中：第17页，课件共76页，创作于2023年2月3、特殊单元的刚度矩阵

由此可看出：特殊单元是一般单元的一种特殊情况，因而特殊单元的单元刚度矩阵可由一般单元的单元刚度矩阵删除与零杆端位移对应的行和列得到。

第18页，课件共76页，创作于2023年2月§9-3整体坐标系下单元刚度矩阵

整体坐标系下的刚度刚度方程推导，刚度矩阵的性质，单元坐标转换矩阵

第19页，课件共76页，创作于2023年2月1、单元坐标转换矩阵

第20页，课件共76页，创作于2023年2月1、单元坐标转换矩阵

第21页，课件共76页，创作于2023年2月1、单元坐标转换矩阵

可简写成：其中：称为单元坐标变换矩阵T

T为一正交矩阵，则：第22页，课件共76页，创作于2023年2月2、整体坐标系中的单元刚度矩阵

代入即为单元e在整体坐标中的单元刚度方程

两边同时左乘

其中为整体坐标系的单元刚度矩阵，和同阶，且具有类似的性质。第23页，课件共76页，创作于2023年2月§9-4结构的整体刚度矩阵

作用在结构上的荷载与结构的结点位移，也存在一一对应的关系，即为结构的整体刚度方程。结构的整体刚度方程反映了结点荷载和结构位移之间的关系，其实质就是位移法的基本方程。求解方法一种是传统位移法，另一种是直接刚度法。

第24页，课件共76页，创作于2023年2月1、连续梁的整体刚度矩阵

（1）传统位移法图(a)所示连续梁，利用位移法求解，其基本体系如图(b)所示。基本未知量为结点转角△1、△2、△3，即组成整体结构的结点位移向量△：

与结点转角△1、△2、△3对应的结点力是附加约束的力偶F1、F2、F3，即组成整体结构的结点力向量F：第25页，课件共76页，创作于2023年2月1、连续梁的整体刚度矩阵

△1引起的结点力矩

△3引起的结点力矩△2引起的结点力矩

↓↓↓↓↓称为整体刚度矩阵整体刚度方程第26页，课件共76页，创作于2023年2月1、连续梁的整体刚度矩阵

（2）直接刚度法（单元集成法）结点总码

单元局部码

单元①、②的单元刚度方程

第27页，课件共76页，创作于2023年2月1、连续梁的整体刚度矩阵

变形协调条件

各单元对F的贡献单元①：

单元②：

称为单元①的贡献矩阵

称为单元①的贡献矩阵

第28页，课件共76页，创作于2023年2月1、连续梁的整体刚度矩阵

平衡条件对于结点1：对于结点2：对于结点3：整体刚度矩阵等于各单元贡献矩阵之和，即：

即为结构的整体刚度方程

第29页，课件共76页，创作于2023年2月1、连续梁的整体刚度矩阵

则连续梁整体刚度方程为：

该结果与传统位移法所得相同直接刚度法求整体刚度矩阵的步骤可表示为：

第30页，课件共76页，创作于2023年2月1、连续梁的整体刚度矩阵

（3）利用单元定位向量由求

是由的元素加上零元素重新排列而成的矩阵。①列出单元的结点位移分量的局部码和结点总码之间的对应关系

定义由单元的结点位移总码组成的向量称为单元定位向量，记为

第31页，课件共76页，创作于2023年2月1、连续梁的整体刚度矩阵

②列出单元刚度矩阵和单元贡献矩阵中元素的排列方式。对号入座第32页，课件共76页，创作于2023年2月1、连续梁的整体刚度矩阵

（4）利用直接刚度法求整体单元刚度的具体实施方案“边定位”“边累加”第33页，课件共76页，创作于2023年2月1、连续梁的整体刚度矩阵

（5）整体刚度矩阵的性质整体刚度矩阵系数的物理意义K中元素kij称为整体刚度系数，表示当第j个结点位移分量△j=1，其他结点位移分量为零时，所产生的第i个结点力Fi。对称方阵奇异性矩阵由于事先已经考虑了支承边界条件，结构不再可能发生刚体位移，因此不再是一个奇异矩阵，这时根据整体刚度方程在已知杆端力时可求解相对应的结点位移。

第34页，课件共76页，创作于2023年2月1、连续梁的整体刚度矩阵

例9-1试求图(a)所示连续梁的整体刚度矩阵。

【解】：（1）结点位移分量和总码。如图(b)所示，此连续梁有三个结点位移分量，即转角△1、△2、△3，其总码分别为1、2、3，则整体刚度矩阵为一个3×3矩阵。其单元编码、结点总码如图(c)所示。第35页，课件共76页，创作于2023年2月1、连续梁的整体刚度矩阵

（2）各单元的定位向量。单元①、②、③的定位向量分别为：（3）整体刚度矩阵单元集成过程。根据直接刚度法的具体实施方案，按照单元①、②、③的次序进行边定位边叠加，可得整体刚度矩阵，其具体步骤如下。

第36页，课件共76页，创作于2023年2月1、连续梁的整体刚度矩阵

单元①：

单元②：

第37页，课件共76页，创作于2023年2月1、连续梁的整体刚度矩阵

单元③：

即为整体刚度矩阵K

即为整体刚度矩阵K

第38页，课件共76页，创作于2023年2月2、刚架的整体刚度矩阵

刚架的整体分析与连续梁相比，基本思路相同，仍然可以采用直接刚度法，“边定位”“边叠加”。但相比连续梁来讲，情况复杂一些，主要表现在：①刚架中每个结点位移分量增加到三个：角位移和两个方向的线位移；②各杆方向不尽相同，在整体分析中采用整体坐标系，故要进行坐标变换；③一般情况下要考虑刚架各杆的轴向变形，而忽略杆件轴线变形的情况则作为特例来处理，本章中将不再赘述，请参考其他书籍；④刚架中除了刚结点，还要考虑铰结点等其他情况。

第39页，课件共76页，创作于2023年2月2、刚架的整体刚度矩阵（1）结构位移分量的统一编码——总码

位移分量编号的原则是：①在平面刚架体系的单元中，一个结点一般包含三个分量，每一个结点的位移分量编号按水平位移、竖向位移、转角的顺序进行编制，然后按结点顺序依次进行编号。②对于有些结点由于存在支座约束，未知的结点位移将不足三个，此时已知为零的支座结点位移分量不作为基本未知量，仅对未知位移分量按顺序进行编号，已知为零的位移分量编号为0。③对于铰结点或组合结点，结点的未知位移总数目将超过三个，因而，对于同一个结点必须采用不同的结点编码，用来区分不同的杆端位移；对于不同结点编码的结点位移分量，若具有相同的杆端位移分量，则采用相同的结点位移分量编码。

第40页，课件共76页，创作于2023年2月2、刚架的整体刚度矩阵例9-2刚架的单元编码如图(a)（b）所示，试对其进行结点和结点位移分量编码。

(a)第41页，课件共76页，创作于2023年2月2、刚架的整体刚度矩阵(b)第42页，课件共76页，创作于2023年2月2、刚架的整体刚度矩阵（2）单元定位向量

单元①：

单元②：

第43页，课件共76页，创作于2023年2月2.刚架的整体刚度矩阵（2）单元定位向量

单元③：

单元④：

第44页，课件共76页，创作于2023年2月2、刚架的整体刚度矩阵（3）整体刚度矩阵的集成

与连续梁基本相同的，仍然是在利用直接刚度法求整体单元刚度，“边定位”“边累加”的办法，其不同之处在于，在整体刚度矩阵集成之前，要将局部坐标系下的单元刚度矩阵转换为整体坐标系下的单元刚度矩阵。

第45页，课件共76页，创作于2023年2月2、刚架的整体刚度矩阵例9-3试计算如图(a)所示平面刚架的整体刚度矩阵。设各杆均为矩形截面，截面尺寸相同，抗弯刚度为EI，抗拉刚度为EA。【解】：（1）对图(a)所示刚架进行单元、结点和位移分量编码，如(b)所示。由式(9-3)求局部坐标系的各单元刚度矩阵。

(a)(b)第46页，课件共76页，创作于2023年2月2、刚架的整体刚度矩阵【解】：单元①、②：第47页，课件共76页，创作于2023年2月2、刚架的整体刚度矩阵【解】：（2）由式(9-19)求整体坐标系下各单元刚度矩阵。单元①：

则：

第48页，课件共76页，创作于2023年2月2、刚架的整体刚度矩阵【解】：（2）由式(9-19)求整体坐标系下各单元刚度矩阵。单元②：

则：

第49页，课件共76页，创作于2023年2月2、刚架的整体刚度矩阵【解】：（3）各单元的定位向量。第50页，课件共76页，创作于2023年2月2、刚架的整体刚度矩阵【解】：（4）整体刚度矩阵单元集成过程。单元①：

第51页，课件共76页，创作于2023年2月2、刚架的整体刚度矩阵【解】：（4）整体刚度矩阵单元集成过程。单元②：

即为整体刚度矩阵K

第52页，课件共76页，创作于2023年2月§9-5等效结点荷载

等效结点荷载概念，等效结点荷载转换，综合结点荷载

第53页，课件共76页，创作于2023年2月1、等效结点荷载的概念

荷载按其作用位置不同，可以分为结点荷载和非结点荷载。而在采用矩阵位移法进行分析时，往往是以只承受结点荷载为前提的。但在实际工程中，结构大多受到非结点荷载的作用，这样就需对非结点荷载进行处理，将其转换为等效结点荷载，然后才能按结点荷载建立的方程求解。

目的：非结点荷载

结点载荷原则：非结点荷载作用下结点的位移与处理后的结点载荷作用下相同。同样，原荷载与等效结点荷载P在位移法基本体系中产生相同的结点约束反力，即：

第54页，课件共76页，创作于2023年2月2、位移法基本方程

设基本结构只有荷载单独作用下，结点位移为零，此时在基本结构中引起的结点约束力，记为FP；基本结构只有结点位移单独作用下，荷载为零，此时在基本结构中引起的结点约束力为F。

位移法基本方程第55页，课件共76页，创作于2023年2月3、等效结点荷载的转换

可归纳为四个步骤（1）在单元两端加上六个附加约束，成为两端固定梁，求出给定荷载作用下六个固端约束力，它们组成固端约束反力向量。其中固端约束反力方向与整体坐标一致为正。表9-8中给出了常见荷载所引起的固端约束反力。（2）将各附加约束上的约束反力反号作用在结构的结点上，也就是将反号就得到局部坐标系下单元等效结点荷载，即：（3）利用坐标转换公式，得到整体坐标系下的，即：（4）依次将每个单元的等效结点荷载中的元素按照单元定位向量“边定位边累加”的办法，最终得到整个结构的等效结点荷载P。第56页，课件共76页，创作于2023年2月4、综合结点荷载若结构既受到非结点荷载作用，又受到结点荷载作用，则结构总的结点荷载向量称为综合结点荷载向量。将等效结点荷载与原结点荷载叠加可得综合结点荷载。例9-4刚架的单元编码、结点编码、节点位移分量总码如下图所示，试写出该平面刚架的综合结点荷载向量。分析：该刚架既受到非结点荷载作用，又受到结点荷载作用，因而，可先求出刚架在非结点荷载作用下的等效结点荷载，再与原结点的实际荷载相叠加，就得到了综合结点荷载。

第57页，课件共76页，创作于2023年2月4、综合结点荷载【解】：（1）求非结点荷载作用下的等效结点荷载。①求局部坐标系的单元等效荷载。

单元①：

单元②：

第58页，课件共76页，创作于2023年2月4、综合结点荷载②求整体坐标系下的单元等效结点荷载。

单元①：

单元②：

第59页，课件共76页，创作于2023年2月4、综合结点荷载③计算等效结点荷载。

单元①：

单元②：

即为等效结点荷载

第60页，课件共76页，创作于2023年2月4、综合结点荷载刚架仅仅在1结点受到一个顺时针力偶，因而其原结构的结点荷载为：

（2）综合结点荷载。综合结点荷载为：

第61页，课件共76页，创作于2023年2月§9-6矩阵位移法计算举例

第62页，课件共76页，创作于2023年2月计算步骤可归纳如下：（1）结构离散化，将结构的结点、单元、结点位移进行编码，选择结构整体坐标系和各单元局部坐标系。（2）形成局部坐标系下的各单元刚度矩阵。（3）根据坐标变换公式，计算整体坐标系下的单元刚度矩阵。（4）应用直接刚度法，集成结构整体刚度矩阵K。（5）计算等效结点荷载P。（6）求解整体刚度方程，解得结点位移△。（7）计算局部坐标系下的各单元的杆端力，并绘制结构的内力图。第63页，课件共76页，创作于2023年2月例9-6计算图(a)所示刚架杆端力并