第六节：重积分的应用_第1页
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文档简介

第四节重积分的应用一、问题的提出二、曲面的面积三、质心四、转动惯量五、引力六、小结定积分元素法的一般步骤：一、元素法这个方法通常叫做元素法．应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力等．把定积分的元素法推广到二重积分的应用中.若要计算的某个量U对于xoy面上的闭区域D具有可加性，（1）设想将D

分成n

个小区域，并任取其中一小区域

d

。

（2）将相应于小区域d

的部分量

U

近似表达为

（3）同样，也可将元素法推广到三重积分中。即当闭区域D

分成许多小闭区域时，所求量U相应地分成许多部分量，且U

等于部分量之和。已知的重积分应用二重积分（1）曲顶柱体的体积

（2）平面薄片的质量三重积分（1）空间立体的质量（3）平面区域的面积（2）空间立体的体积二、曲面的面积卫星１设曲面S的方程为：１设曲面S的方程为：曲面

S

的面积元素曲面

S

的面积计算公式由元素法３．设曲面的方程为：曲面面积公式为：２．设曲面的方程为：曲面面积公式为：同理可得（3）计算面积元素（4）计算二重积分（1）确定曲面S

的方程（2）确定S

在xoy

面上的投影区域求曲面S面积的步骤卫星实例解答解解方程组得两曲面的交线为在平面上的投影域为解解三、质心（又称重心）质点系对y

轴的静力矩质点系对x

轴的静力矩问题：如何求该平面薄片的质心坐标？因为因为问题：如何求该平面薄片的质心坐标？当薄片是均匀时，质心称为形心.问题：如何求该平面薄片的质心坐标？问题：如何求该空间立体的质心坐标？类似于平面的情形，利用元素法可得表示的质量。解解四、转动惯量一个质点对某条轴的转动惯量等于它的质量与它到该轴距离的平方的乘积。问题：如何求该薄片对x轴和y轴的转动惯量？利用元素法问题：如何求该立体对三个坐标轴的转动惯量？类似于平面的情形，利用元素法同理),,(zyx解解例5：求密度为

的均匀球体对于过球心的一条轴

l的转动惯量。取球心在坐标原点，z

轴与l

轴重合并设球的半径为

a,则解例6：求密度为1

的均匀半圆盘对直线y=x

的转动惯量。利用元素法在圆盘内任取一小区域d

，五、引力利用定积分可以解决平面上一个细棒对细棒之外一个质点的引力问题。问题：如何求一空间立体对外一质点的引力？（1）空间两质点间的引力问题：如何求该空间立体对外一质点的引力？),,(000zyx),,(zyx),,(0

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