第02章评价规模有效和技术有效的C2R模型

第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型DataEnvelopmentanalysis(DEA)东北农业大学工程学院王吉权2.1第一个DEA模型C2R2.2具有非阿基米德无穷小的C2R模型2.3两阶段法12九月20232第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型

假设有n个具有可比性部门或单位(称为决策单元，简记为DMU)，每个DMU都有m种类型的“输入”(或称“投入”，表示DMU对“资源”的耗费量，例如m种生产要素的投入)，以及s种类型的“输出”(或称“产出”，表示当消耗了“资源”之后，表明“成效”的量，例如产品的数量、质量、经济效益等)。这n个DMU的投入数据和产出数据(data)由表2-1给出，其中(i=1,2,…,m;r=1,2,…,s;j=1,2,…,)12九月202332.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型

xij=DMU-j对第i种投入的数量，xij>0

yrj=DMU-j对第r种产出的数量，yrj>0

vi=对第i种投入的一种度量(或表示重要性的“权”)

ur=对第r种产出的一种度量(或表示重要性的“权”)

xij和yrj为已知数据，它是根据历史的资料或预测得到的。vi、ur为变量。12九月202342.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型表2-112九月202352.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型决策单元12…nv11→x11x12…x1nv22→x21x22…x2n⁞⁞⁞⁞⁞⁞vmm→xm1xm2…xmny11y12…y1n→1u1y21y22…y2n→2u2⁞⁞⁞⁞⁞⁞ys1ys2…ysn→sus为方便，记xj=(x1j,x2j,…,xmj)T，j=1,2,…,n

yj=(y1j,y2j,…,ysj)T，j=1,2,…,n

x=(x1,x2,…,xn)T，为m

n矩阵

y=(y1,y2,…,yn)T，为s

n矩阵于是，表2-1可以简化为表2-2和表2-3，其中

v=(v1,v2,…,vm)T

u=(u1,u2,…,us)T我们称为参考集。12九月202362.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型表2-212九月202372.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型决策单元12…nv1⁞m→⁞→x1x2…xny1y2…yn→⁞→1⁞su表2-312九月202382.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型决策单元12…nv1⁞m→⁞→→⁞→1⁞su

现在建立评价决策单元DMU-j0的C2R模型()。为了书写方便，记x0=xj0,y0=yj0因为v=(v1,v2,…,vm)T0，v

0表示对m项投入重要性的权系数，u=(u1,u2,…,us)T0，u

0表示对s项产出重要性的权系数，此时，在权v和u之下，化为具有一个投入一个产出的场合，由表2-4表示。因此，以单位投入产出计算效率，每个决策单元的效率评价指数为(这里，xj>0，u0，v

0，因此vTxj>0)。12九月202392.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型表2-412九月2023102.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型决策单元12…j0…n1vTx1vTx2…vTx0…vTxnuTy1uTy2…uTx0…uTyn1

不失一般性，我们总可以假设

若对DMU-j0进行相对有效性评价(即相对于参考集T中的所有DMU进行相对有效性评价)，是以v和u为变量，以12九月2023112.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型

为约束，以求DMU-j0的效率指数最大为目标构成以下的最优化模型(其中(C2R)I中的I表示输入(input)模型)12九月2023122.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型

上述最优化模型是一个分式形式的优化模型，使用C2—变换(它是在数学规划领域由Charnes和Cooper首先处理分式规划的方法，随后被人们称为C2—变换)

于是，模型(C2R)I的目标函数变为12九月2023132.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型约束变为即并且，由得到一个新的约束

此时模型(C2R)I化为等价的模型12九月2023142.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型

注意，并不是一个真正的线性规划，因为中要求变量。12九月2023152.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型

记的约束集合12九月2023162.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型

考虑线性规划其中hj0为的最优值。记的约束集合为12九月2023172.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型可知，对于

(

,

)

R，由

Tx0=1，故必有

0；又由于

存在可行解，使得目标函数值

Ty0>0。因此的最优解

0、

0满足

0Ty0>0，即的最优解必满足

0。由此可知的最优解

0、

0必满足12九月2023182.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型又由于，所以与是等价的。

由模型(C2R)I可知，hj0是在满足的前提下，追求DMU-j0对应的效率hj0的最大值hj0，因此hj0是相对于n个决策单元的相对效率值(简称效率指数)。不难看出，的最优值满足12九月2023192.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型而且，最大值hj0的取得是以v,u为变量，因此(C2R)I中的最优解v0、u0

(相应的，在中

0=t0v0，

0=t0u0，t0=1/(v0tx0))是DMU-j0对最为有利的权系数(也可看做是一种对投入产出各项的一种“度量”，类似于线性规划中的“影子价格”)。有如下定义。

定义2.1若(C2R)I的最优解v0、u0

，使得效率指数则称DMU-j0为弱DEA有效。12九月2023202.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型

定义2.2若(C2R)I的最优解v0、u0

，满足(效率指数)并且v0>0,u0>0则称DMU-j0为DEA有效。

由于(C2R)I模型与线性规划等价，利用线性规划，有下面的等价定义。12九月2023212.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型

定义2.3若(C2R)I的最优解

0、

0

，使得效率指数则称DMU-j0为弱DEA有效。

定义2.4若存在最优解

0、

0，满足(效率指数)并且

0>0,

0>0则称DMU-j0为DEA有效。

由DEA有效和弱DEA有效的定义知DEA有效弱DEA有效12九月2023222.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型效率指数的经济含义

现在取一个特例，m=1，s=1，即具有一个投入和一个产出的情况(见表2-5)。表2-5决策单元12…j0…nm=1→x1x2…x0…xny1y2…y0…yn→s=112九月2023232.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型(a)任取DMU-j0，由可以得到于是(C2R)模型为12九月2023242.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型它等价于12九月2023252.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型不难看出12九月2023262.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型在生产理论中生产率=产出/投入

在(C2R)I模型，由效率指数可知效率指数hj为DMU-j0的自身生产率与n个决策单元的最大生产率之比，因此hj是相对生产率。(b)若j0

满足12九月2023272.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型由(a)，若DMU-j0的效率指数即DMU-j0为DEA有效；反之，若效率指数为1，则

因此，当DMU-j0为DEA有效时，即hj0=1，它表明DEA有效的DMU-j0的相对效率指数hj0是n个决策单元中生产率的最大者(不难看出：在m=1，s=1时，DEA有效12九月2023282.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型与弱DEA有效是等价的)。见图2-1。xyx0y0ODMU-j0DMU-1DMU-n图2-112九月2023292.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型

以下的例子说明，DEA有效性的定义是有工程技术方面的背景的。

例2.1考虑上煤经过燃烧产生一定热量的某种燃烧装置。燃烧装置的效率用燃烧比Er来刻画Er=yr/yR其中

yR=燃烧给定数量为x的煤(x>0)所能产生的最大热量(即所产生热量的“理想值”)12九月2023302.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型

yr=燃烧给定数量为x的煤(x>0)所能产生的热量(即所产生热量的实测值)显然有0<Er1，现在利用(C2R)I模型有12九月2023312.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型由(a)上式表明效率指数即燃烧比。

对于线性规划模型，人们在研究线性规划的性质时(特别是它的经济特性时)，都会习惯性地研究它的对偶问题。对于DEA模型

也不例外。称为原规划。由12九月2023322.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型

化为标准形式的原问题，为12九月2023332.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型

相应的矩阵形式为12九月2023342.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型

于是的对偶规划为12九月2023352.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型即12九月2023362.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型如果引进正、负偏差变量s+

Es，s+0，s-

Em，s-0，则成为(为方便，仍记为)12九月2023372.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型有如下性质：

性质2.1和都存在可行解。

实际上，令其中，并且再令12九月2023382.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型不难看出，满足因此，为的可行解，再令，以及(j=1,2,…,n)12九月2023392.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型显然，为的可行解。

性质2.2线性规划和都存在最优解，分别为,和，并且有

实际上，由性质1，和都存在可行解。再由线性规划存在性定理，和都存在最优解，并且二者的最优值相等。12九月2023402.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型

性质2.3若线性规划的任意最优解

0=(

10,…,

n0)T，都满足(即)，则线性规划存在最优解

0,

0，满足

0>0,

0>0

实际上，它由线性规划的互补松驰定理得到。12九月2023412.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型

性质2.3若线性规划的任意最优解

0=(

10,…,

n0)T，都满足(即)，则线性规划存在最优解

0,

0，满足

0>0,

0>0

实际上，它由线性规划的互补松驰定理得到。12九月2023422.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型由性质2.3，可以得到利用DEA模型判断DMU-j0为弱DEA有效和DEA有效时的等价定义2.5和2.6。

定义2.5若

0,

j0，j=1,…,n，为的最优解并且hj0=

0=1，则称DMU-j0为弱DEA有效。

定义2.6若的任意了优解

0,

j0，j=1,…,n，，都满足12九月2023432.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型

(即)，则称DMU-j0为DEA有效。

性质2.4(效率指数与量纲无关性)决策单元的效率指数hj0与各项投入数据和产出数据的量纲选取无关。

实际上，设采取新量纲后的投入、产出数据由表2-1变为表2-6，其中

i>0,i=1,2,…,m

r>0,r=1,2,…,s12九月2023442.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型表2-6决策单元12…nv11→

1x11

1x12…

1x1nv22→

2x21

2x22…

2x2n⁞⁞⁞⁞⁞⁞vmm→

mxm1

mxm2…

mxmn

1y11

1y12…

1y1n→1u1

2y21

2y22…

2y2n→2u2⁞⁞⁞⁞⁞⁞

sys1

sys2…

sysn→sus12九月2023452.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型于是量纲变化后的DEA模型为由12九月2023462.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型故上述线性规划即为即12九月2023472.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型12九月2023482.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型性质2.5决策单元的效率指数与每个决策单元所对应的投入和产出的同倍增长无关。即由表2-7所给出的投入、产出数据与表2-1给出的数据进行效率评价时，不影响决策单元的(弱)DEA有效性，其中

j>0,j=1,2,…,m12九月2023492.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型表2-7决策单元12…nv1⁞m→⁞→

1x1

2x2…

nxn

1y1

2y2…

nyn→⁞→1⁞su12九月2023502.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型

实际上，表2-7对应的DEA模型为即12九月2023512.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型

以下两个例子和来说明DEA模型C2R的几何意义。12九月2023522.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型例2.2考虑由表2-8给出的投入、产出数据的例子，其中n=3,m=2,s=1。表2-8决策单元1231→269m=2→663213→s=112九月2023532.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型

由性质2.5(将产出都变为1)知，它等价于表2-9给出的数据。表2-9决策单元1231→163m=2→361111→1=s12九月2023542.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型使用对偶线性规划，有

集合T1由图2-2所示，其中12九月2023552.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型图2-2DMU-1DMU-3DMU-2T1Ox1x265432112345612九月2023562.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型集合T2由图2-3所示，其中12九月2023572.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型图2-3DMU-1DMU-3DMU-2T2Ox1x265432112345612九月2023582.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型集合T3由图2-4所示，其中12九月2023592.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型图2-4DMU-1DMU-3DMU-2T3Ox1x265432112345612九月2023602.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型取j0=2，有(x10,x20)=(x12,x22)=(6,6)，此时，可写为12九月2023612.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型即由图2-4可知，h2=

0=1/3，故DMU-2不为弱DEA有效。

例2.3考虑上表2-10给出的投入、产出数据的例子，其中n=4,m=2,s=1.12九月2023622.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型表2-10

类似于例2-2，知集合T3由图2-5所示，其中决策单元12341→1631m=2→36161111→1=s12九月2023632.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型图2-5DMU-1DMU-3DMU-2T3Ox1x2654321123456DMU-412九月2023642.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型由图2-4所示，DMU-1、DMU-3为DEA有效；DMU-2不为弱DEA有效率对于DMU-4，不难看出的最优解为

0=1，

0=(1,0,0,0)T

但却有12九月2023652.1第一个DEA模型C2R第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型因此DMU-4仅为弱DEA有效，其中12九月2023662.2具有非阿基米德无穷小的C2R模型第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型考虑DEA模型C2R12九月2023672.2具有非阿基米德无穷小的C2R模型第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型12九月2023682.2具有非阿基米德无穷小的C2R模型第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型由定义2.4，使用判断DMU-j0的DEA有效性时，需要判断是否存在最优解

0、

0满足

0>0,

0>0,hj0=

0Ty0=1如果使用判断DMU-j0是否为DEA有效时，由定义2.6知，需要判断的任意了优解

0,

j0,j=1,2,…,n,

都满足可见，无论是使用规划，还是使用对偶规划，都是不很容易的。12九月2023692.2具有非阿基米德无穷小的C2R模型第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型早在1952年Charnes和Cooper研究使用单纯形法求线性规划的最优解时，在“退化”情况下可能出现“循环”现象。他们引进了非阿基米德无穷小

的概念；同样在线性规划中，遇到求初始可行解的困难时，引进了“大-M法”。当他们在研究DEA时，也使用非阿基米德无穷小

的概念。在实数范围内，熟知“对任意

>0，都存在

′>0，有

′<

′′。也就是说，对任意

′>0，都有

′

′′。因此可以认为非阿基米德无穷小

>0是一个比任何正数都小的正数。Charnes和Cooper是借助非阿基米德无穷小的概念方法，给出了判断决策单元是否为12九月2023702.2具有非阿基米德无穷小的C2R模型第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型DEA有效性的DEA模型。由它可以引导出“两阶段方法”。

令

>0是一个非阿基米德无穷小量，考虑人有非阿基米德无穷小量

的DEA模型12九月2023712.2具有非阿基米德无穷小的C2R模型第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型其中线性规划的对偶规划为12九月2023722.2具有非阿基米德无穷小的C2R模型第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型

现在用评价DMU-j0的DEA有效性。设

0,

0=(

10,…,

n0)T,为的最优解。的最优值具有类似于“复数”的形式：

-

，其中数

表示DMU-j0的效率指数，表示m项投入由x0减少到

0x0之外，某些投入面还需减少总和；表示产出不足的总和，即

表示上述两项之和。

首先证明一个引理。这里的证明利用魏权龄教授1975年研究数学规划稳定性时曾使用技巧。12九月2023732.2具有非阿基米德无穷小的C2R模型第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型

引理2.1假设对任意x

R均有dTx0，其中(不失一般性)R={x|Ax=b,x0}考虑线性规划问题若(P1)的最优解集合R*

，则存在，对任意

(0,

)，线性规划问题12九月2023742.2具有非阿基米德无穷小的C2R模型第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型的最优解x(顶点)也是下面线性规划的最优解也就是说，(P3)是在(P1)的最优解集合R*上求dTx的最大值，此时存在很小的正数，当时，可以用一个线性规划(P2)得到的(P3)最优解。12九月2023752.2具有非阿基米德无穷小的C2R模型第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型

证明设约束集合R的极点(基础可行解)全体为(k1)将

中的点按(P1)中的目标cTx值，由大到小进行分类。设集合

1,

2,…,

k

，，满足(i)；

(ii)对任意x

i和y

i，有cTx=cTy，；(iii)若，

由线性规划的最优解可以在R的极点达到，由(i)~(iii)知12九月2023762.2具有非阿基米德无穷小的C2R模型第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型

k

R*(1)令其中因此，对任意

，以及任意，有12九月2023772.2具有非阿基米德无穷小的C2R模型第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型(i)当存在y

\

k，且dTy>0时，有12九月2023782.2具有非阿基米德无穷小的C2R模型第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型(ii)当对任意y

\

k，都有dTy=0时，有因此，对任意，以及任意，都有故当时，线性规划(P2)的最优解(极点)，满足

。于是有12九月2023792.2具有非阿基米德无穷小的C2R模型第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型由式(1)知，，故有再由式(2)和式(3)知，式(3)取等号。注意到cTx在R*为常数，故有12九月2023802.2具有非阿基米德无穷小的C2R模型第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型即得证。12九月2023812.2具有非阿基米德无穷小的C2R模型第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型

现在有三个线性规划。第一个线性规划是评价DMU-j0的DEA模型，它对应于引理2.1中的问题(P1)12九月2023822.2具有非阿基米德无穷小的C2R模型第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型

由定义2.5和定义2.6可知，若的最优值

0=1，则DMU-j0为弱DEA有效；若的最优值为1，并且

的任意最优解都有，即等价地则DMU-j0为DEA有效。

第二个线性规划是具有非阿基米德无穷小

的C2R模型——对应于引理2.1中的问题(P2)12九月2023832.2具有非阿基米德无穷小的C2R模型第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型

第三个线性规划是在的最优解集合上(即在

的约束条件基础上，加上约束条件

=

0，其中

012九月2023842.2具有非阿基米德无穷小的C2R模型第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型为的最优值)，求的最大值——对应于引理2.1中的问题(P3)12九月2023852.2具有非阿基米德无穷小的C2R模型第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型Charnes和Cooper的具有非阿基米德无穷小

的C2R模型是在推广的实数域中，将

看作是一个比任何正数都小的正数，对求解。实际上，由引理2.1知，存在一个正实数，当时，的最优解

0,是在的最优解集合上，使得目标取得最大值的最优解。因此，若，即的所有最优解满足等式12九月2023862.2具有非阿基米德无穷小的C2R模型第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型

定理2.1考虑具有非阿基米德无穷小

的DEA模型12九月2023872.2具有非阿基米德无穷小的C2R模型第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型

设

0，

j0，j=1,2,…,n,为的最优解，则(i)若

0<0，则DMU-j0不为弱DEA有效；(ii)若

0=1，

，则DMU-j0为DEA有效；(iii)若

0=1，

，则DMU-j0仅为弱DEA有效。

注意，定理2.1

(i),(ii),(iii)中的条件不仅为判别的充分条件，也是必要条件。12九月2023882.2具有非阿基米德无穷小的C2R模型第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型

例2.4考虑具有4个决策单元、2个输入和1个输出的例子，相应的输入和输出数据由表2-11给出。以下均取=10-5。表2-11决策单元12341→1334m=2→31321121→1=s12九月2023892.2具有非阿基米德无穷小的C2R模型第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型

评价DMU-1所对应的线性规划为利用单纯形法求解，最优解为

0=1,

0=(1,0,0,0)T,因此DMU-1为DEA有效。12九月2023902.2具有非阿基米德无穷小的C2R模型第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型类似地，对DMU-2，DMU-3进行评价，知它们都为DEA有效。

评价DMU-4所对应的线性规划为12九月2023912.2具有非阿基米德无穷小的C2R模型第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型利用单纯形法求解，最优解为因此，DMU-4不为弱DEA有效。

利用具有非阿基米德无穷小的DEA模型可以证明在参考集中至少存在一个决策单元j*，它是DEA有效的(见定理2.2)。这也是为什么说，决策单元进行评价时的有效性是相对有效性的评价。12九月2023922.2具有非阿基米德无穷小的C2R模型第2章评价规模有效和技术有效的C2R模型

引理2.2若，并且满足则DMU-j*为弱DEA有效。特别地，若，则DMU-j*为DEA有效。

证明由式(4)及知，。令12