2022年高考押题预测卷03【上海专用】-数学（全解全析）

2022年高考原创押题预测卷03【上海专用】

数学•全解全析

1.{0,2}

【解析】

【分析】

根据集合交集的定义计算.

【详解】

由已知Ac8={0,2}.

故答案为：{0,2}.

2.120

【解析】

【分析】

直接用二项式定理求解即可.

【详解】

由二项式定理得一”3,

令1（）-2r=4,故r=3,因此C；o=12O.

故答案为：120.

3.40

【解析】

【分析】

设4师％），2（和为），8询％），••由0a°，为））,分别过％6,…岛，作抛物线的准线的垂线,垂足分别为

…M。，利用抛物线的定义可得占+々+$+…+%=20,从而可求得结果.

【详解】

设耳（4,%），2。,为），£（孙为），“由。（/，为）），分别过几鸟,吕,…,修,作抛物线的准线的垂线,垂足分别为

。用，。3「必，

•••片、6、8、…、儿是抛物线），=8x上不同的点，点尸（2,0）,准线为x=-2,

+

|FP\|+1FP21+,•,1=（%+2）+（x,+2）+（x3+2）H---1-（xl0+2）=^+x2+x,+...+xl（）+20.

•••丽+巫+…+孤=6,

二.X]+工2+工3+…+%0=2°,

/.|FA|+1R|d--1-|尸阂=%+々+&+…+Ro+20=20+20=40.

故答案为：40.

3

4.-##1.5

2

【解析】

【分析】

先求数列｛4｝的前〃项和s“，当”=1时，5,=1;当“22时，数列｛4｝为等比数列，根据等比数列求和公

式求解，然后求S,极限.

【详解】

-1-1,〃=1

”,所以s.h

当〃=1时，，=1；当〃22时，s=1+—,43所以

33

limS=lim

M—>00n〃一>8

3

故答案为：—

5.4

【解析】

【分析】

由题意可得"1)=3,由此可求得实数机的值，进而可得〃x)=bg2(x+l)+2,即可得解.

【详解】

由于函数/(x)=log2(x+M+2的反函数的图象经过点(3,1),

则/(l)=log2(l+〃?)+2=3,解得加=1,

，函数/(x)=log2(x+l)+2,

.•.*3)=log2(3+l)+2=4.

故答案为：4.

6.25

【解析】

【分析】

根据x>0,>'>0,且3+1=1,由4x+y=（4x+y）[3+']=17+生+土，利用基本不等式求解.

X>\xy）xy

【详解】

41

因为x>0,y>0,且一+―=1,

xy

所以4x+y=（4x+y）仕+，]=17+”+&17+2叵互=25,

（x”xN\xy

4V4x

当且仅当上=一，即x=y=5时，等号成立，

xy

所以4x+y的最小值为25,

故答案为：25

【解析】

【分析】

先判断双曲线的焦点在x轴上，即可求出“=应，再设出双曲线的方程，即可写出双曲线渐近线的方程，最

后由点到直线的距离公式即可求出b的值即可.

【详解】

有双曲线一个顶点为4夜,0）,可知焦点在x轴上，则〃

22

故双曲线可设为、-2=1,则渐近线云土&y=0,

又悍"°L[,解得〃=2,则双曲线的方程为《=1.

22

故答案为：二-£=1.

22

8.-##1.5

2

【解析】

【分析】

根据三棱锥。-8MN的正视图确定M,N,Q的位置，从而得到其俯视图为等腰三角形，再计算面积；

【详解】

由题意得：点M为A。的中点，点。为GR中点，点N与片重合,

,其俯视图为三角形BMW，，如图所示

.„1n3a一3

222

、3

故答案为：—

9.y=±(x-l)

【解析】

【分析】

设直线方程并联立抛物线方程，得到根与系数的关系式，利用得到相应等式，结合根与系数的关

系式化简，即可求得答案.

【详解】

由题意可知产（1,0）,且化工0，

故设直线/的方程为y=&（x-i）,

联立抛物线V=4x可得：k2x2-(2k2+4)x+k2=0,

△=16二+16>0,

设「（占,,）,。（々,必），则于’（2-再,％）,。'（3,一%），

44

旦玉+占=2+—,y+必=攵(入］+W-2)=%,

由于PQ'LPQ,故J+)、T,

2—(Xj+x2)k

4

I

就T,解得々=±1,

K

故直线/的方程为y=±（x-i）,

故答案为：y=±（x-l）

10.30

【解析】

【分析】

根据题意，结合递推关系式与归纳推理，分别求出数列前20项，即可求解.

【详解】

根据题意，易知4=±3,/=0或±6,%=±3或*,%=°、±6或±12,

%=±3、妙或±15,4=°、±6、±12或±18,以此类推，

须=土3、助、±15、±21、±27、±33、±39>...±54,

%。=0、±6、±12、±18、±24、±30、±36、...±60.

故k+%L=3，|4+生+生+%L=6，.+4+/+%+%+⑷向产加

以此类推，得何+生^---na19+«2o|,nil1-30.

故答案为：30.

【点睛】

归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数

目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法.

H.

【解析】

【分析】

设线段4综上到原点距离等于5的点为p（x,y）,可得p（3,4）,根据已知条件可得A、4，&、生，L中必

有一点在P（3,4）的左侧，一点在P（3,4）的右侧，再由片，P2,LP“,L是中点，可得出6,LP“，L

的极限即为P（3,4）,即可求解.

【详解】

由（|0阕-5川0闵-5）<0可知|例|和|。因一个大于5一个小于5,

设线段4为上到原点距离等于5的点为P（x,y）,由历了=5,且言=台|可得x=3,y=4,

所以线段4综上到原点距离等于5的点为尸（3,4）,

若（|。4,|-54041-5）＜0则其、耳应在点P（3,4）的两侧,

所以第一次应取AM，

若（网|-5乂|。叫-5）＜0,依次下去则A、/4、。,L中必有一点在尸（3,4）的左侧,一点在尸（3,4）的

右侧，

因为《，P2,LPn,L是中点，

所以4，P2,LP“,L的极限为P（3,4）,

所以!吧|4刃=|40=近，

故答案为：五.

12.36

【解析】

【分析】

由题可得2"为数列｛q｝的2"一+”项，且利用分组求和可得Sy=41+2n+'-2,通过计算即得.

【详解】

由题意，对于数列｛%｝的项2"，其前面的项1，3,5,2"-leA,共有2"一项，2,22,23,-,2"€B,共

有"项，所以2"为数列｛%｝的2"T+”项，

且Szf,,=［（2xl-l）+（2x2—1）+…+（2x2'i—川+（2+2?+…+2"）=4"T+2”*-2.

可算得+6=38（项），&=64，31150,

因为%?=63,〃=61,=59,所以$=1086,S36=1023,S35=962,

因此所求〃的最小值为36.

故答案为：36.

13.D

【解析】

【分析】

化简函数解析式得/（x）=2sin（2x-J根据其值域［-2,1］,可得2,局=2公r+4

2k兀——<2/??——<2k7r——^kGZ),求解出对应的范围，代入即可得机的范围.

662

【详解】

由/(x)=2sinx(sinx+Gcosx)-1化简得〃x)=2sin(2x-a

因为其值域为［-2』，不妨设2〃-看=2就+菅，2^-^<2w-^<2^-^(^eZ),

即〃=左乃+7，％万一544左左一着(左eZ),贝I］得。W〃一，?i4'^.

故选：D.

14.D

【解析】

【分析】

根据直线的斜率分两种情况，直线/的斜率不存在时求出直线/的方程，即可判断出答案；直线/的斜率存在

时，由点斜式设出直线/的方程，根据直线和圆有公共点的条件：圆心到直线的距离小于或等于半径，列出

不等式求出斜率人的范围，可得倾斜角的范围.

【详解】

解：①当直线/的斜率不存在时，直线/的方程是x=-G，

此时直线/与圆相离，没有公共点，不满足题意；

②当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为y+l=k(x+G),

即履-y+6k-1=0,

•・•直线/和圆有公共点，

・•・圆心到直线的距离小于或等于半径，则,,1,

解得喷灰6,

7T

・・•直线/的倾斜角的取值范围是0,y,

故选：D.

15.C

【解析】

【分析】

根据线面垂直的判定定理与性质定理及充分条件、必要条件即可判断.

【详解】

因为POJ_a,所以PO_La,且PODOA=O

则。4_1404_1平面/>040“_1上4,

所以“直线直线Q4”是"直线〃，直线PA的充要条件”，

故选：C

16.B

【解析】

【分析】

建立平面直角坐标系，由坐标法表示出14A月+4/+4,方+儿区后+4通|，并利用列举法求得最大值.

【详解】

以A为原点，AD为*轴建立如图所示平面直角坐标系，

正六边形的边长为2,所以：

R通而+4而+%荏+4通]

—k(1,—6)+4卜,—白)+4(4,0)+4^3,5/3j+^；

=*4,)+卜4)+(44,0)+(34,6%)+(4,j

—

=|(4+3A,+44+34+&，-■'/3A,+■^3AJ)+)]

=J(4+3A,+4A,+3A4+4)+卜>754—V3A,+>/3/14+-s/3/tj)

=44片+12后+16后+121+4屋+2(644+444-244+1244+644+124%+444+644)

=小4+12+16+12+4+2(644+44/-244+1244+644+1244+444+644)

—《48+4(344+244-44++64乙+3%44+344)

令i=344+244—44+244++644+34儿+344，下用例举法求得t的所有可能取值.

44444t

1111124

1111-116

111-110

11-111-8

1-11110

-1111122

-1-1111-2

-11-111-2

-111-11-2

-1111-110

1-1-111-8

1-11-11-12

1-111-1-8

11-1-11-8

11-11-1-8

111-1-14

-1-1-111-2

-1-11-11-14

-1-111-1-14

-11-1-11-2

-11-11-1-6

-111-1-1-2

1-1-1-114

1-1-11-1-8

1-11-1-1-8

11-1-1-14

-1-1-1-111()

-1-1-11-1-6

-1-11-1-1-14

-11-1-1-16

1-1-1-1-116

-1-1-1-1-118

由表格数据可知f的最大值为24,

所以AZ耳+%入。+4(AZj+4A£+4A司的最大值为j48+4x24=12.

故选：B

【解析】

【分析】

(I)由题意先计算△ACO的面积，然后代入三棱锥体积公式计算即可；(2)由题意可判断直线AC与C0

所成的角就是异面直线AC与所成的角，分别计算G。、A。，利用余弦定理计算cosNAG。，即可得

答案.

(1)

由题意得

SAAs=gxS*=；x(gxABxAC卜;x(gx2x2)=l

112

所以三棱锥G-AC。的体积％.A8=]XS△皿XCG=]X1X2=].

即所求G-48三棱锥的体积为|.

(2)

连接4。，由题意得BC=JAB。+AC?=2叵，AD=；BC=®,且AC〃AG，

所以直线AG与CQ所成的角就是异面直线AC与CtD所成的角.

22

在AAG。中，AG=2,CtD=ylcC-+CD=.2+—=限,AQ=Jw+AD?=瓜,

A.C-+C.D2-\D2V6

由余弦定理得cosNAG。=

2x4C[XCQ6

因为NACQe((U),所以N4CQ=arccos逅.

6

因此所求异面直线AC与G。所成角的大小为arccos^.

6

jr}7T

18.(1)最小正周期为万；单调递减区间为k7v-—,k7r+—(keZ)；(2)2G.

【解析】

【分析】

(1)整理得/(x)=2cos(2x+。可得其最小正周期及单调递减区间；⑵由/(A)=-6可得A=。，

设8c边上的高为/2,所以有，R?=L6csinA=〃=且儿，由余弦定理可知：a2=b2+c2-2bccosA,得出

228

be416,最后可得〃最大值.

【详解】

解：(1)/(x)=Gcos2x+2sin(芳+x)sin(乃一x)

=>/3cos2x-2cosxsinx

=>/3cos2x-sin2x

=2cosl2x+—I.

24

/(X)的最小正周期为：7=0="；

IT

当2k兀<2x+—<2k兀+兀(keZ)时，

6

TTS乃

即当hr-土WxV、r+3(氏eZ)时，函数〃x)单调递减，

1212

jr57r

所以函数/(X)单调递减区间为：k7t--,k7T+z—(keZ).

(2)因为f(A)=,所以

…兀5471

/.2AH———,A=—

663

设8。边上的高为〃，所以有‘Hz='besinA=>力=—,

228

由余弦定理可知：a2=b2+c2-2bccosA,

/.16=Z?2+c2-be,•/b2+c2>2bc,

:.beM16(当用仅当b=c时，取等号)，所以7/=正儿426,

8

因此8c边上的高的最大值2K.

19.(1)是，理由见解析;

(2)[-l,+<x))；

<53一

⑶/不,

\o2_

【解析】

【分析】

（1）根据题意，得到2cos［_x°-1］=-2cos（x。-］）,利用三角恒等变换化简，得6cos而=0,得到存在与

满足/（-%）=-/（X。）,即可作出判断:

（2）利用“X）为"M类函数"，得出4'+4-，-2M2'+2-'）-6=0,令f=2'+2一、（r22）,得到方程

r-2加-8=0在［2,W）有解可保证"X）为"M类函数”，分离参数即可求解；

log（X2-2）wc\,x>3

（3）由/（x）=S八?）为其定义域上的“M类函数”，得到存在存在实数%,满足

-2,x<3

=-/（/）,根据分段函数的解析式，结合函数单调性，分类讨论即可求解.

(1)

由题意，函数/'（X）在定义域内存在实数%,满足〃-%）=-./■（%）,

可得2cos|-X。g|Jcos-xu

化简整理，得Geos%=0,解得玉）=5,

所以存在％=5满足/（-与）=-/（X0）

所以函数/（x）=2cos是“M类函数”;

⑵

当/(x)=4"-"2"'-3时,f(-x)=-f(x)

可化为4,+4-、-2机(2*+2-*)-6=0,

令r=2,+2-，。22）,贝!］4*+4-x=t2-2,

所以方程产-2W/-8=0在［2,4w）有解可保证/（%）是“M类函数”,

即2m=个=在［2,转））有解可保证"X）是类函数”，

设g（f）=r-：在［2,内）为单调递增函数，

所以当t=2时，g(r)取得最小值为g(2)=2-g=-2

即2m>-2,解得/nN-l.

所以实数加的取值范围为卜1,以)；

(3)

由J-2fwc>0在(3,+<»)上恒成立，

转化为2根vx在(3,-Ko)上恒成立，即2m<3

所以〃叱匕

2

log(X2-2nvc),x>3

因为/(幻=八o)为其定义域上的“M类函数”，

-2,x<3

所以存在实数%使得/(-%)=-/Uo)，

当%>3时，则-%<-3,所以-2=-log2,o-2皿O),所以>一2叫=4,

4

即2机=%—-在(3,)有解可保证f(x)是“M类函数”

xo

4

设〃(与)=%---在(3,+oo)为单调递增函数，

xo

45SS

/?(x)>/?(3)=3--=-,即2机〉：，解得加>工；

03336

当-3</<3时，-3<-x0<3,此时-2=2,不成立；

当天<3时，贝卜%>3,所以1082*2()+2〃％)=2,所以々J+2加叫)=4,

4

即2机=-A-o+—在(Y0,-3)清解可保证"X)是““类函数”

入0

4

设。(10)二-式0+—在(-00,-3)为单调递减函数，

尤0

4555

^(x0)>//(-3)=3--=-,即2口>；,解得机>工.

3336

(53-

综上所述，实数机的取值范围为.

【点睛】

解决本题的关键准确理解函数的新定义类函数”的含义，然后将问题转化为有解问题，结合函数的单调

性即可求解.

22

20.(1)W1；

43

⑵6

(3)存在，st=a2

【解析】

【分析】

(1)由题意可得乃=2K，求出6=再将点(一1,的坐标代入椭圆方程中可求出/,从而可求

得椭圆方程，

(2)由题意设直线PQ为x=，*y+G,设P区,y),。小,%),将x=，”y+G代入椭圆方程中消去工，利用根

与系数的关系，从而可表示出可。，2=^><6]必-%|=#+%)2一4二%，再把前面的式子代入化简可求

得其最大值，

(3)由题意设直线PQ为x=:致+/,设「。"),。(%,当)，将直线方程代入椭圆方程中消去x,利用根与系

数的关系，由/PS7=NQ5T,得限+乜=0,y,(x2-s)+y2(x,-s)=0,结合前面的式子化简即可得结果

(1)

由题意得26=26,得b=6，

所以椭圆方程为二+$=1,

a23

313

因为点(一1，：)在椭圆上，所以《+；=1，得/=4,

2a-4

所以椭圆方程为£+反=1

43

(2)

由题意设直线PQ为x=my+G，设「(而,)1),。(々，必)，

Z+£=1

由143,得(3，"2+4)丁+6岛沙-3=0,

x=my+>j3

所以>0,y+%=，M%=--,

♦J3m*+4；3m+4

：2

所以%改=；x用,_必|=Y>J(yl+y2)-4yly2

I108/12

.V]/(3m2+4)2+3疗+4

14W+48

2V(3加+4)2

)I3m2+1

\[(3/+1)+3]2

.I3m2+1

V(3m2+l)2+6(3w2+l)+9

i

>g

\(3〃「+l)4---3---1-6

=6

2、(3加+1).3+6

当且仅当3川+1=丁',即m=±如时取等号，

34+13

所以^OPQ面积的最大值为G

(3)

由题意设直线尸。为“叼+f,设尸(片,%),。(%,%)，

工X

a2h2~,得(〃机2+/»2+2机力2丫+从--4%2=。，

x=my+t

b2t2-a2h2

所以♦>0,x+必=一b2m2+a2'""2h2m2+a

因为NPST=NQS7,

所以Zps+%s=0,

所以工+3^=0,

所以y(*2-s)+y2(xt-5)=0,

y(my2+f)+%("?M+f)-s(y+%)=0,

所以2阳跖+“-$)(%+%)=0，

所以2mz>2[产一。2T(”$)]=0,

所以厂—4—f(f—s)=0,得st=a?,

所以x轴上是存在点S(s,0)使得NPST=NQST恒成立，止匕时4=合

21.（1）证明见解析

〃+1+-~~-,n=2k+l,keZ2几,q=l

4

(2)当4=0时,；当,=0时，S"=<20-q")

tn八一_1

n+—,〃=2k,KGZ

4、i-q

⑶对任意〃N2,〃WN,/是正整数，理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）由题干条件得到的=2<7+（>2,故可说明数列｛4｝不可能是常数列；（2）分9=0,/声0与f=0,q手。

两种情况进行求解；（3）先求出4=4,4=24,故猜想对任意〃22,〃eN,瓦是正整数，对

22，ZZS1

""=而二！（"-N）平方后整理为Y=”+2,代入a31中，消去⑸,得到

4a：

关于"的式子，再进行整理得到=2b.（b；i+1）,故可类推出结果.

（1）

证明：a2=qal+-=2q+^,因为q>l,，20,所以4=2q+：>2,故当〃>1时，数列｛《,｝不可能是常数

q