最小二乘估计量的性质

1、第三节最小二乘估计虽的性质三大性质：线性特性、无偏性和最小偏差性一、线性特性的含义线性特性是指参数估计值H和|?2分别是观测值Y t或者是扰动项H的 线性组合，或者叫线性函数，也可以称之为可以用Yt或者是比来表示。1、&的线性特征证明(1) 由国的计算公式可得：? 、xy '、Xt(Yt -Y) '、 XtYt 5、*，2 =2 2XtJ - X需要指出的是，这里用到了Xt（Xt 一 X） =、 Xt -因为xt不全为零，可设bt=T，从而，加不全为零，故博=£ No这说明悔是Yt的线性组合。(2)因为Yt =& +&Xt +巴，所以有?2 =

2、 L btYt = L bt "2Xt t=i、' bt 3'' btXt , btt=圣、bt Jt这说明国是氏的线性组合。需要指出的是，这里用到了Z bt =£ = 0 以及xtxtXXt2' 为 '、XtXt btXtXt =、' xt22' Xt ' Xt X XtX ' Xt22' Xt'Xt'、Xt20、' Xt2 T2、国的线性特征证明(1)因为I?喜一舄又，所以有 区=V一仇元二：!： Yt X(£ btYt )1-二、- - Xbt Y tn

3、t t这里，令a =1Xb，则有g =£ aYt n这说明且是Yt的线性组合。(2) 因为回归模型为丫 =穴+比，所以?i ='、atYt I at " "Xt 七=at ,以 、atXt '、' at 4因为 Z at =£ 1 Xbt ) = £ 1 X£ bt =1。而 nn-(11、二 atXt = ' 一 一 X bt X t = ' X tX 二 btX t nnX -X =0所以，?1 ="寸att这说明傍是改的线性组合。至此，参数的线性特性证明完毕。问题参数估计值线性特

4、性的深层次含义是什么？要根据被解释变量、9随机扰动项和的随机性来理解。二、无偏性的含义所谓无偏性是指估计值的均值等于真实值。 在这里，无偏性是指参数估计值官和佝的期望值分别等于总体参数P1和p2。其数学上要求是E (区)=& 和 E (P2 )=色。证明：根据参数估计值的线性特征，我们推导出：I? ="£瓦巴,所以有：E 避)=E (艮a*t )=E (& )+E (£ a )=E Z .寸 E at 4 =E "广._ i. E at ，E二E ：1相似地，f?2 =E2 +£ btpt ,所以有E ?2 =E -：2 .bt

5、t = E ：2 . E btt=E 3.E bt 明=E -广一 E bt ，E=E 2三、最优性(有的书本上直接称之为最小方差性)的含义最优性是指用最小二乘法得到的参数估计值 田和件2在各种线性，无偏.估计中得到的方差最小。根据上述的定义，我们可以任意假设 用是用其他方法得到的总体参数1?2的一个线性无偏估计。因为冏具有线性特性，我们可以得到：l?2=w Ct Yt =W Ct(R +E2Xt + Ht),E 了*； = E 寸 ctY t =E t q = LXt 4= ?, CtE " ZXt，"=t二'、Ct " w CtE LXt 、CtE 明

6、=如 Ct . Ct'-2E Xt 0又因为（?2是用其他方法得到的总体参数 底的一个无偏估计，所以有E WW=2所以由上述两个结果，可以得到：1 Ct ' 3 .二 Ct X t = -2上述式子要成立，必须同时满足两个条件，即£ Ct = 0 禾日 £ Ct X t = 1现在求？2的方差：2var ?2 = var 、' CtY t=E : CtY t - E t CtY tCt Y t - E 'Ct Y t_2_ =E N （，CtE （Yt ）CtYt -、CtY= E ' Ct Yt -Y2=E Ci * C22 Ctt

7、22CiL 一|<2土2 - Ct.£ 广Ci .、C2 土 2 C1.L1C3.L3 一 广C2.L2C3 土 3 C2.L2C4 土 4 一 广 ）八C；E亨寸，"sE七七因为根据假设条件（常数方差和非自相关，即var（ R） = E （改 一 E （改）2 = E （出2 ）=矶2 和Cov（七 土）=E 1（ 4 E（t）（ % E（气）1 =E （出-0）（七 -。）I - E（ Vs） =0所以，有var （区；）=BZ Ct2 =OU2E _（Ct f ） + bt J2一.22 一 22 一. n= c- Ct btbt2；u : |bt Ct btB

8、2方差的最后一项为仲Ct -bt = 'b<t - 'bt=£i:、CtXt -1、xt1(W Ct Xt -X -1)' Xt1.CtXt 'X ' ct 1 ' xt=0这是因为£ Ct =0和Z CtXt =1因此，有 var （时（q f j +。沱 b彳艮明显，当Ct=bt时，明方差最小，此时，最小值为var （段2 ）=。沱bt2而在此时，有？2 =寸CtYt =寸btYt =弓 即两个估计值相等。因为莒的最小方差等于是的方差，即var （?2 ）芝var （胃），因此，我们说, 田在所有线性无偏估计中的方差

9、最小，且最小方差为：_ 2Q2 _2var ?2bt =2'、X同理，我们可以证明，J?在所有线性无偏估计中的方差最小， 且参数 估计值的方差为:22一？ Xt2Xt。var ?1=n 二由此，说明，最 小二乘估计 具有 BLUE（best linear unbiased estimation）性质。从而在统计学和计量经济学中得到广泛应用。第四节系数的显著性检验一、系数估计值的特性：1、根据系数估计值的线性特性，我们知道系数估计值是Yt和出的线性组合。又因为Y t和出都服从正态分布，所以，我们可以白然得到两 点：一是系数估计值是随机变量（这里是在数学上再次予以证明）；二是系数估计值服从

10、正态分布。 从而，可以用随机变量的一些数字特 征来表示。通常，我们采用的是均值与方差。系数估计值的均值是多少呢？根据系数估计值的无偏性，我们知道，E（Bi）=Ei , E （件2）=携。这说明系数估计值耳和&这两个随机变量的数学期望（均值）分别等 于总体参数（实际值）。系数估计值的方差又是多少呢?根据系数估计值的最小方差性的证明,22勺 二、' Xt2var ?i =:2var ?2 =二"、btn' Xt我们得到了其方差，即有2；u O至此，我们可以用随机变量的数学期望和方差来刻画阳1和同这两个随机变量的分布，即有： 阳服从均值为穴、方差为 槌 :，的 n&

11、#39; Xt正态分布；而（?2服从均值为口2、方差为fl的分布。用数学的语言' XtofX2'）2、可以描述为：日:N j ”=2 和f?2 ： N |舄,。可以明显看出的是，在系数的描述中，方差中含有随机扰动项的方差，其他我们可以得到。随机扰动项是总体回归模型中的误差项，无法得到，只能对其估计。二、随机误差项方差的估计因为总体回归模型为：Yt = &+E2Xt+&而样本回归模型为：Yt = ? . ?2Xt 3从形式上看，样本回归模型中的残差et可以看作随机扰动项R的估计值。进一步，残差et的方差可以作为随机扰动项 M的 方差叽2的估计值。样本回归模型为：丫

12、 =?2Xt et样本回归直线为：Y? = ? ?2Xt样本回归模型的左右两边减去样本回归直线的左右两边，可 得：Yt M? =et ,把这个式子重新安排一下，可以得到：et =Yt -Y? =（Yt _丫）-M -Y ）现在，重点要求的是et的两个部分，即（Y?丫 ）和（YtY）。这两 部分知道之后，才能求et的方差。对样本回归模型Y=J?十件2Xt+e t两边分别对t求和，再除以n, 有：Yt ='?1?2Xt et=、'、". %、?2Xt 寸 et 11_9101.Yt = '%Utennnn1 .1一1 .1 . -Z ，：2 ' Xtetn

13、nnn f 1n Y =区 + l?2 X + ，et n由前边的正规方程组，我们曾经知道，点（X,Y）在样本回归直线上，用数学的语言来讲，就有:Y -N NX ,因此,有Y? = ?2 X tY =?1?2X进而，有Y? Y =?2 Xt X ）=：?2Xt对总体回归模型1=&+1十改两边分别对t求和，再除以n,有：Yt = " Ut 4='、'Yt -1 r2Xt 二=Xtt nnnn11 - - 11 ,-' Yt =寸"：2X" nnnn;Y” 邛21z巴_监兰、Y = &邛-X疝 n所以，由寸，*二5,可得，Y =

14、 -1 -2X Yt Y =驾 Xt X 加？、-云，t、；将两部分结合起来，现在，我们可以得到：q =Yt -Y? =(丫 -Y )-(Y? -Y )Y? -Y = ?2XtYt Y =驾匕,吐-可以得到：et=（&-l?2）Xt+5-n ）,（从这个式子我们可以看出 什么呢？）至此，已经将残差与扰动项联系起来了。由此，我们可以得到：_2e：,坚":22 X" +2 2=、t 一2圣-匚% 明一2 2=圣-2-2一""山）；进一步，有:2 2E寸et2 = E 匚 '、X； 寸 明一2 圣一匚'、, Xt一2 2=v Xt2E

15、圣- '？ E X. * 2E 竣 一 ？2 X 4 S在这三项当中，有:_2=var所以，第一项为£ x；E （底一胄j =£22：u2Xt =；：uXt=E?2 - - 2= E 3 - E?2 ji第二项为:222E寸明-E '明-'、2明2 222E E寸一2=寸E E n一2、2(121= n<Tu +E n £ 牛 | 一2£ 比£ 比I 5 J nJ2_1, 22*u E ! W'、nn2= n；u -E212= n；u -一Ei：'tn212= n；L 一 E E2，'tn&

16、quot;2 .ri'-V 土七21, 21.=n；uE 1二Ei.L.L -s )nn221= n；u -；u -一E 4sn第三项为:ii2E 圣- L、Xt 气土宣=2E t bN 寸 Xt 明-J=2E也明 t为4 一寸为二=2E - bri -为叫 一 ，bE %，x=2E bN t 为4 -2EbZ 二寸 Xt=2£护疽。"xm" . Xt"2E 寸 bZt EXt2=2E (bMf + '+btXH )+(加卜2 巳 +-+bMxHt )+ 2£ E(btE(PZ X) 一.2.= 2E' btXt2Ei：

17、.二 btXs，L -公btE % EXt，2，=2' bt*E 42M M btXsE " -0= 2'，btXd 2=2；一 . I、bt Xt-2=2 二.I.2 et故有E - et=，. l，( n -1) , i. - 2 二-=(n - 2) ； i,也就是说Y=E 寸 et2 =E -(n -2)(n-2)如令2=尚，则意味着E(S2)4这说明s2是旬勺无偏估 计虽。前面，我们已经求得, CT2 h X 2 匕)(2、I? : N胃牛广和旦：N “2,三|。在留和伊2的方差中都含有未知虽 乩。这里，我们证明了 S2是吒的无偏估计虽，因此，可以用s2=H

18、作为的估计值，这样，代入得到 阳和同的(n -2)方差的估计值分别为:2 22麻=：和 s0n' *、Xt参数s =后,湖=倔,糠=拇分另u称为回归模型的标准差、 估计值附和食的标准差。知道了估计值的方差估计值，就可以对参数进行显著性检 验，也可以估计总体参数的置信区间。二 参数估计的显著性检验以上一节家庭消费支出和收入之间的关系的例子来说明，通过选取样本，我们得到了总体参数P1和札的估计值分别为国和&。通过这个估计值，我们知道了家庭消费支出和 收入的具体数虽关系。现在，需要知道的是，通过样本得到 的估计值能够正确地反映总体参数吗？这需要通过假设检 验来做出判断。1、 关于假设

19、检验假设检验指利用样本得到的信息来判断总体是否具有 某种制定的特征。例如：某药品生产线上规定，每片药片的 净重是400毫克，标准差是4毫克。今连续检查 20片药片, 平均药片重H为395.4毫克。问药片的重H是否已经偏离了 额定净重值？假设：对总体分布特征的假设假设检验：根据样本信息来判断总体分布是否具有指定 的特征，这个过程叫假设检验。就家庭消费支出而言，我们关注的是家庭消费支出与收 入之间是否真的存在回归关系，也就是说我们关注总体参数 E和氏是否不等于零。因此，我们这里的假设是对总体参数的假设，我们这里的检验是对总体参数的假设检验，我们要运用的假设检验的工具是用样本工具得到的与官和&

20、;有关的检验的工具。这就是用样本信息来推断总体。1、对总体均值的假设检验 因为我们关注的是解释变量和被解释变量之间的关系是否真实存在，因此，我们需要检验的是总体均值是否为零。对总体均值的假设检验可分三种情况：(1) 总体服从正态分布，总体 方差已知，样本大小无限制(2) 总体总体分布未知，总体 方差未知，大样本(3) 总体服从正态分布，总体 方差未知，小样本我们这里符合的是 总体服从正态分布，总体 方差未知,小样本。2、 用什么来检验？(检验工具，统计虽) 我们已经知道，参数估计值满足：'CT2 f X 2f 2、f? : N El,二 和虏：N"要尽可能利用关于胄和区的信息

21、。将Pi和伊2由正态分布转化为标准正态分布统计虽：?"l?2-"Z = : N (0 1 )和 Z = ,: N (01 )Jvar (?)Jvar ( ?2 )在这两个统计虽中，var (1?1 )和var (携)我们都不知道，原因在于T 2B未知。但我们前边已经证明s2=M是。：的无偏估计虽。因此，对于大样本情况，我们可以用d代替。(n -2)求得 var (& 件口 var ( B2 )以及 S?, S? =Js；。这样，Z = f1 - & : N (0,1)和Z = 博-'2 : N (0,1 )可以进一步转化Jvar (官)/ar

22、4;为: Z 充'":N (0,1 )养口 Z A 区 一 ”2 : N (0,1 )。从而可以利用这两个统计虽对 总体参数?1和札进行检验。（什么含义）就是说，我们可以对比如进行检验。如何检验呢？就是考察我们算出来的统计量Z=j = £是否服从0 ，矣正态分布。对于一元线性回归模型而言，我们关心的是解释变虽能否解释被解释变虽，在数学上这表现为0是否成立。因此，我们可以进行下假设: 零假设备择假设H 1 :- 0在零假设条件下，Z财牛宾=4如服从标准正态分布， 我们用, W ,S?2这个统计虽进行检验。在一般情况下，样本容虽不满足大样本条件，这时要用t统计所做的检验

23、称之为t分布检验。这时t统计H为: 七=清=指0 =金，其服从自由度为（n-2 ）的t分布。关于t分布t分布的含义是随机变虽落入一定区域的概率。给定显著性水平o和自由度(n-2 )，则t落入区间(_t*(n_2), "(n2) 内的概率为：P-t_.2(n2) : t ： t 一.2( n 一2) ： = 1 上t落在(一4( 2),"( 2)区域之外的概率为« ,也可以写作：P jt At* (n _2) =ct 此式子等价于ptt "n-2) =空和 z2?2t同<t#(n2)(即t统计虽小于临界值)，则可以认为原反之，如果计算出来的这时t统计

24、虽为：t =假设成立，即,0。21则可以认为备择假设成立，即因此，我们通常的希望是 t统计虽值大于临界值。t统计H值我们可以根据样本计算出来，而临界值可以通过查表得到。问题：t值与P值的关系是什么？相应地，我们可以对总体参数值&进行检验。过程为：零假设为：H0: - =0备择假设为：Hi : % =。计算统计虽t= JL声查t分布表，得出临界值或(2)。若 "(n2)，则拒绝零假设，接受备择假设，即认为 字三、总体参数的置信区间1、Ei的置信区间由pt宓(n 2) <t <t*(n 2)=1a，将t = 土出代入概率公式，可-S?i得：J , 、耳，上“p 一t

25、2(n - 2) ；：. t 2 (n - 2)- 1 - S?1=P r.2(n -2) S?"： ?1 - « : t：.2(n 2)S?=1 一 ：=p " ?1 一 t 2 (n 一 2) S ? ： - -1 K： - ?1 t 2 (n 2) S ? J =1 二n p 日一t#(n 2)S?+ta2(n 2)S?=1 a用概率表述为：总体参数二在区间(胄-吴(n -2) S? ), (R +t*(n -2)S§ J内的概率为1 -二。统计表述：区间 (胃-以-2) S?),(竹+t心(n -2)Sg )1包含总体参数E的概率为1 2。通常说

26、，总体参数P1的12置信区间为：(官一 (n 2) S 昌)(区 +t2(n 一2) Sg2、相似地，总体参数 ?2的1-Q置信区间为：(苗 一*2 (n 2)S® (，+“2(n 2)S )由这两个区间，可以推断总体回归线所处的区域。四、决定系数(可决系数)评价回归直线对观察值拟合的好坏，拟合优度是一个重要的指标。显然，若观测点离回归直线近，则拟合程度好，反之,则拟合程度差。测虽拟合优度的统计虽是可决系数(决定系 数)现由一个恒等式开始。Yt -丫 =(Y? -Y) (Yt -Y?)这个式子把解释变虽的总偏差 丫-丫分解成两部分：回归偏差 或者叫可解释偏差(Y?丫)和残差(Yt Y

27、t)两部分之和。可解释偏差是由样本回归直线决定的，残差则是随机的。显 然，由样本回归直线解释的部分越大，则残差越小，样本回 归直线与样本值的拟合优度就越好。而要从总体上反映样本 回归方程对所有样本点的拟合的好坏，必须求和，考虑到正 负抵消的问题，可以求平方和。总离差平方和： TSS =£ (Y -Y )回归平方和：ESS =£ (Y? -Y j2残差平万和： RSS =£ (Yt - Y?)现在推导三者之间的关系:Yt -Y = (Y? -Y) - (Yt Y；)2=、'Yt _Y=、.2(Y? _Y ) (Yt Y；)(Y? Y)2 (Yt _Y?)2

28、2(Y? _Y)(Yt _Yt)c 2o 2cc匕、Yt -Y? 2'、(W_Y)(Yt_V?)22£'Y? -丫、Yt -Y?这里有：2、(Y? -Y)(Yt -Y?)二2、?2Xt -丫 e= 2?' et 2?2'、RXt-2Y' et=0会议正规方程组)2c 2C 2所以有 z (Yt Y ) =，M -Y ) +£ (Yt -Y?)。即：总离差平方和=回归平方和+残差平方和。用公式表示为：TSS = ESS+RSS , ESS表示可以由解释变H说明的 偏差部分，RSS表示可以由残差说明的偏差部分。显然，ESS在TSS中所占的

29、比例越大，RSS所占的比例越小， 则参数估计值的显著性越强，样本回归直线与样本观测值拟 合得越好。因此，可以用 ESS在TSS中所占的比例说明回归直 线与样本观测值的拟合程度。也即总离差中可以由回归方程2、Y? -Y=2'Yt -Y说明的部分。可决系数或拟合优度可以定义为:2 ESS R =TSS可决系数的取值范围为：R2 1-0,1 1R2变化的含义是什么？四、相关分析 1、 回归分析和相关分析的区别 回归分析：性质、变虽要求 相关分析：相关关系，不是因果关系。变虽要求不同2、相关分析的分类：线性相关：直观上讲，样本点集中分布在一条直线附近。直线斜率为正，为正相关。直线斜率为负，则为

30、负相关。非线性相关：样本点分布在一条曲线周围。3、相关程度的度虽一般用相关系数表示 X和Y的相关程度。总体相关系数定义为：XY = =X!。Jvar ( X ) Jvar ( Y )总体相关系数的取值范围：总体相关系数与样本相关系数之间的关系。样本相关系数一般用rXY来表示，且定义：-xt yt_ cov X,Y _ E X-X Y-Y_ '、Xtyt由- Jvar ( X ) War ( Y ) - *(X Xj Je(Y这里有：Xt=X -三yt = Y -Y4、相关分析与回归分析的关系这里特指在一元线性回归分析和简单相关分析中的关系。这里可决系数与相关系数有如下关系：r；Y =

31、R2 ,即 r= ±VR o5、计虽回归分析的规范表达第五节 预测和预测区间关于预测预测对两种样本数据的作用。 对于时间序列数据的估计的目的是预测。对截面数据估计的目的是为了推测未知数据。预测是计虽经济学的一项主要任务。一、预测的点估计首先回顾四个方程式总体回归模型：丫 = " Ut 4总体回归直线：E(Y )=岗十舄Xt样本回归模型：丫 = ?。 ？Xt et样本回归直线：V = ?o ?M对于样本外的符合假定条件的一点Xo而言，代入总体回归模型和总体回归直线，我们可以得到：Yo =宜十凝。+改和E(Y。)=鸟邛2X0然而，由于P1和以我们并不知道，因此，无从获得Yo和E

32、 (丫。)。但是，利用样本回归直线，我们可以得到丫。的估计值Y0,即Y0=R+Hx°,求期望有：E Y0 = E ?1 ?2Xo = E ?1 E ?2Xo=-1 XoE ?2= " 3X o = E Yo这说明Y?o是E(Y° )的无偏估计虽。2O同时,E (Y° )=E (Y。)= Y。 & ,故 E (Y?0)尹Y0，这说明 Y, 不是 Y0 的 无偏估计虽。由了：十十*0可得： Y?0 = ?1?2X。E(Y° Y。)=E (E1 +凡乂0 +& )(代 +X° )=E -：1 一？-：2 W X。=E 伯&q

33、uot;)+XoE(P2 % )+E (& ) =0这说明在多次观察中，(YoY?。)平均值趋于零，从而以Y。作为Yo的估计中心是合理的。二、预测的区间估计1、E(Y。)的置信区间2、Y。的置信区间先求E(Y。)的置信区间因为E(Y。)=& +E2X0，所以E(Y。)服从正态分布。求其置信区 间的关键是求其与*的偏差的方差。var (E (丫° ) Y?0 ) = E (E (Y° )-Y° )E (E (Y° )-Y )其中，E(E(Y° ) Y?0 )=E (Y° )E (Y?0 )=0 ( Y?0 是 E (Y&

34、#176; )的无偏估计 H)所以，var(E(Y° )-Y0 )=E(E(Y° )-Y0 ),进一步可以与为 222var E Y0 -祝=E E Y° -« = E E 也-也=E Y0 - E 也= var Y0进而，22var E Yo Y0 )= E E Y°一玳)；=E 、X。一？i?>。-222_?1一 -：1?2，2Xo-=E?1一 -：1Xo2E?2- " 2XoE1?"i?22上式子中的第一项为：_ 22E ?1 一 二=EE ?1= var ?1 = n' xt上式子中的第二项为:22X

35、2._ 2Xo2E 二2 =Xo2E ?2-E ?2=Xo2var 七、 2xt上式子中的第三项为：2X0E2*"1)S)pxt将上述二项相加得到 一 2?2 1 Xo -Xvar E Yo -欢=；:一2)n v Xt因为上式中，总体方差R可以用S2来代替。从而可以得到E (Yo )-Yb的方差估计值为： 21Xo - XVar E Yo - YO = Var Y = S2(- 2)n ' xt所以，根据E(Y°)Yo的分布，给定显著性水平口，使用t/ 统计里,贝 U 有 P -ta2(n _2 )<r :、. '<02 (n _ 2 ) =1

36、 -ot即有 P Y?t*(n -2 )Jvar (YO )<E(Y° ) <Y?+t* ( n 2 Va； (YO ) =10(。I)这说明，E(Y° )的1 -。置信区间为：成-t： 2 n - 2 成ar Y ,欢 t 2 n - 2 (var 欢2、y。的置信区间相似地，我们可以得到 Y0的方差估计值为 2少21 Xo XVar Yo - Y。= S (1)n 、, xt从而Yo的1 口置信区间为：里-1：,-2 n - 2 ：Var Y。-瓦 , ?0 L 2 n - 2 (Var Y。- Y10.案例：用回归模型预测木材剩余物伊春林区位于黑龙江省东北

37、部。全区有森林面积218.9732万公顷，木材蓄积量为2.324602亿m3。森林覆盖率为 62.5%，是我国主要的木材工业基地之一。1999年伊春林区木材采伐量为 532万m3。按此速度44年之后，1999年的蓄积量将被采伐一空。所以目前 亟待调整木材采伐规划与方式，保护森林生态环境。 为缓解森林资源危机，并解决部分职工就业问题，除了做好木材的深加工外，还要充分利用木材剩余物生产林业产品，如纸浆、纸袋、纸板等。因此预测林区的年木材剩余物是安排木材剩余物加工生产的一个关键环节。下面，利用一元线性回归模型预测林区每年的木材剩余物。显然引起木材剩余物变化的关键因素是年木材采伐量。给出伊春林区16个

38、林业局1999年木材剩余物和年木材采伐量数据如表2.1 o散点图见图2.14。观测点近似服从线性关系。建立一元线性回归模型如下：yt = ：o + W xt + ut表2.1年剩余物yt和年木材采伐量xt数据林业局名ytm3xtm3乌伊岭26.1361.4东风23.4948.3新青21.9751.8红星11.5335.9五营7.1817.8上甘岭6.8017.0友好18.4355.0翠峦11.6932.7乌马河6.8017.0美溪9.6927.3大丰7.9921.5南岔12.1535.5带岭6.8017.0朗乡17.2050.0桃山9.5030.0双丰5.5213.8202.87532.003

39、025201510图2.14年剩余物yt和年木材采伐量xt散点图Dependent Variable: Y Method： Least Squares Date: 10/0M3 Time: 15:38Sample: 1 16Included observations: 16VariableCoefficientStd Error卜StatisticProbC-0.7B29291,220966 -0.6240560.5421X0.4042800.03337712 112660.0000R-sjared0.912090Mean dependent var1267938Adjusted R-squa

40、redD.9O6E60S.D. dependent6.665466S.E. of regression2 036319Akaike info criterion4.376633Sum squared resid58.05231Schwarz criterion4.473207Log likelihood33.01306F-statistic146 7166Durbin-Watson stat1.481946Prob(F-statistic)0 000000图2.15 Eviews输出结果Eviews估计结果见图2.15。建立Eviews数据文件的方法见附录1。在已建立Eviews数据文件的基础上，进行 OLS估计的操作步骤如下：打开工作文件，从主菜单上点击Quick键，选Estimate Equation功能。在出现的对话框中输入y c x。点击Ok键。立即会得到如图2.15所示的结果。下面分析Eviews输出结果。先看图 2.15的最上部分。被解释变量是 yt。估计方法是最 小二乘法。本次估计用了16对样本观测值。输出格式的中间部分给出5列。第1列给出截距项（C）和解释变量xt。第2列给出第1列相应项的回归参数估计值（1?。和局）。第3列 给出相应回归参数估计值的样本标准差（s（l?0）, s（胄）。第4列给出相应t值。第5列给出t