2023-2024学年北师大版必修第一册 第一章　1-1　第1课时　集合的概念 课件（31张）

激趣诱思图书馆对大学生来说是非常重要的场所,它拥有浩如烟海的文献,蕴藏了各种有价值的知识、信息.图书馆是一所大学的“心脏”,作为大学生专业教育的“第二课堂”,它是高校课堂教学必不可缺的补充.如何在几百万的书籍中快速找到自己需要的书呢?其实这些书籍并不是随意摆放的,而是按照中国图书馆分类法,将所有图书分成了22个基本大类,每一大类又细分为若干个小类,哪本书属于哪一类是明确的,按照这一原则,很快就能找到所需要的书了.知识点拨一、集合的概念一般地,我们把指定的某些对象的全体称为集合,通常用大写英文字母A,B,C,…表示.集合中的每个对象叫作这个集合的元素,通常用小写英文字母a,b,c,…表示.要点笔记

1.组成集合的对象可以是数、点、图形、符号等,也可以是人或物等.2.集合的概念同平面几何中的点、线、平面等类似,只是描述性的说明.3.集合是一个整体,暗含“所有”“全部”“全体”的含义.一些对象一旦组成了集合,这个集合就是这些对象的总体.微思考是否可以借助袋子、抽屉等实物来直观地理解集合含义?提示可以.比如把某位学生在初三用过的所有课本装进一个袋子或抽屉中,可以认为袋子或抽屉是由该学生在初三用过的所有课本组成的集合,袋子或抽屉里的书是集合的元素.二、元素与集合的关系

关系语言表述符号表示读法属于元素a在集合A中a∈A元素a属于集合A不属于元素a不在集合A中a∉A元素a不属于集合A名师点析

1.a∈A与a∉A取决于元素a是否在集合A中,这两种情况中必有且只有一种成立.2.符号“∈”“∉”只能用在元素与集合之间,表示元素与集合之间的从属关系.具有方向性.微练习已知集合A中的元素x满足x-1<,则下列各式正确的是(

)

A.3∈A,且-3∉AB.3∈A,且-3∈AC.3∉A,且-3∉AD.3∉A,且-3∈A解析∵3-1=2>,∴3∉A.∵-3-1=-4<,∴-3∈A.故选D.答案D三、集合中元素的三个特性

特性含义示例确定性集合中的元素必须是确定的,即有明确的判断标准来判断给定的元素是不是属于某一集合“个子高的人”不能组成集合,“身高大于180cm的人”可以组成集合互异性一个集合中的任何两个元素都不相同,也就是说,集合中的元素没有重复“方程(x-1)2=0的所有根的集合”不能表示成{1,1},只能表示成{1}无序性集合中的所有元素不存在排列次序如{1,2,3}与{3,2,1}是同一集合名师点析

1.确定性的作用是判断一组对象能否组成集合.2.互异性的作用是警示我们做题后要检验.特别是题中含有参数(字母)时,一定要检验求出的参数是否使集合的元素满足互异性.微练习1已知集合S中的三个元素a,b,c分别是△ABC的三条边长,则△ABC一定不是(

)A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形解析由集合中元素的互异性知,a,b,c两两不相等,故△ABC一定不是等腰三角形.答案D微练习2已知a∈R,a-1和1两个元素组成了一个集合,则a应满足的条件是

.

解析根据集合中元素的互异性可知a-1≠1,即a≠2.答案a≠2四、几种常用的数集及其记法

集合意义记法自然数集全体自然数组成的集合N正整数集全体正整数组成的集合N+或N*整数集全体整数组成的集合Z有理数集全体有理数组成的集合Q实数集全体实数组成的集合R正实数集全体正实数组成的集合R+名师点析

常用数集之间的关系

微练习用符号“∈”或“∉”填空:(1)1

N+;

(2)-3

N;

(6)π

R+.答案(1)∈

(2)∉

(3)∈

(4)∉

(5)∈

(6)∈课堂篇探究学习探究一集合的概念例1给出下列各组对象:①我们班比较高的同学;②无限接近于0的数的全体;③比较小的正整数的全体;④平面上到点O的距离等于1的点的全体;⑤正三角形的全体;⑥

的近似值的全体.其中能够组成集合的有(

)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个分析判断一组对象能否组成集合,就看判断标准是否明确.解析①②③⑥不能组成集合,因为没有明确的判断标准;④⑤可以组成集合,“平面上到点O的距离等于1的点”和“正三角形”都有明确的判断标准.答案B反思感悟

一般地,确认一组对象a1,a2,a3,…,an(a1,a2,…,an均不相同)能否构成集合的过程为:变式训练

1(多选题)下列各组对象能组成集合的是(

)A.大于6的所有整数B.高中数学的所有难题C.被3除余2的所有整数D.函数y=图象上所有的点解析选项A,C,D中的元素符合集合中元素的确定性;而选项B中,“难题”没有明确标准,不符合集合中元素的确定性,不能构成集合.答案ACD探究二元素与集合的关系例2(1)下列所给关系正确的个数是(

)①π∈R;②

∉Q;③0∈Z;④|-1|∉N*.A.1 B.2C.3 D.4(2)我们在初中学习过一元二次方程及其解法.设A是方程x2-ax-5=0的解组成的集合.①0是不是集合A中的元素?②若-5∈A,求实数a的值.③若1∉A,求实数a满足的条件.(3)若集合A是由所有形如3a+b(a∈Z,b∈Z)的数组成的,判断-6+2是不是集合A中的元素.分析(1)首先判断给出的数的属性,然后根据常用数集的符号判断两者的关系.(2)①将0代入,验证方程是否成立,若方程成立,则0就是集合A中的元素;若方程不成立,则0就不是集合A中的元素;②-5是集合A中的元素,代入方程即可得到关于a的方程并求解;③1不是集合A中的元素,则代入后方程不成立,得到关于a的不等式.(3)观察元素的特征,验证所求式子是否满足特征,若满足就是集合A中的元素,若不满足就不是集合A中的元素.(1)解析根据各个数集的含义可知,①②③正确,④不正确.故选C.答案C(2)解①将x=0代入方程,得02-a×0-5=-5≠0,所以0不是集合A中的元素.②若-5∈A,则有(-5)2-(-5)a-5=0,解得a=-4.③若1∉A,则12-a×1-5≠0,解得a≠-4.(3)解是.因为-6+2=3×(-2)+×2,此时a=-2∈Z,b=2∈Z,所以-6+2是集合A中的元素.反思感悟

判断元素与集合的关系的两种方法(1)直接法:如果元素是直接给出的,那么只要判断该元素在已知集合中是否出现即可.此时应明确集合是由哪些元素组成的.(2)推理法:对于一些元素没有直接给出的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.此时应明确已知集合中的元素具有什么特征.变式训练

2(1)下列关系正确的是(

)(1)答案D探究三集合中元素的特性及其应用例3已知集合A含有三个元素a-2,2a2+5a,12,且-3∈A,求a的值.分析由-3∈A,分两种情况进行讨论,注意根据集合中元素的互异性进行检验.反思感悟

先根据集合中元素的确定性解出字母参数的所有可能取值,再根据集合中元素的互异性进行检验.互异性是元素的三个特性中最常用的一个,解答含有字母参数的元素与集合之间关系的问题时,要具有分类讨论的意识.如本例中得到a=-1或a=-

,需分类讨论检验是否满足集合中元素的互异性.延伸探究(1)本例中集合A中含有三个元素,实数a的取值是否有限制?(2)本例中集合A中能否只有一个元素呢?解(1)有限制.(2)若该集合中只有一个元素,则有a-2=2a2+5a=12.由a-2=12,解得a=14,此时2a2+5a=2×142+5×14=462≠12.所以该集合中不可能只含有一个元素.素养形成分类讨论思想的应用分类讨论是一种重要的数学思想,它适用于从整体上难以解决的数学问题.运用分类讨论来解决问题时,把问题进行科学地划分十分必要,必须遵循不重不漏和最简的原则.分类讨论思想在集合中有重要的应用,在本节中,分类讨论思想常应用于元素与集合的关系方面.典例

已知集合A中含有三个元素0,1,x.若x2∈A,求实数x的值.分析x2是集合中的元素,则它既可能是1,也可能是0,或者是x,需对其进行分类讨论.解(1)当x2=0时,得x=0,此时集合A中有两个相同的元素,舍去.(2)当x2=1时,得x=±1.若x=1,此时集合A中有两个相同的元素,舍去;若x=-1,此时集合A中有三个元素0,1,-1,符合题意.(3)当x2=x时,得x=0或x=1,由上可知都不符合题意.